中考数学专项复习训练：实数（原卷版）

清单12实数

（2个考点梳理+11种题型解读+提升训练）

【知识导图】

概念：无限不循环小数叫做无理数.

任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

而无理数是无限不循环小数小数.

无有理数与无理数的区别:

理有理数可以化成分数，无瞰?不能化成分数.

【考试题型1】判断无理数

数一般的无限不循环小数，如：1.41421234【考试题型2】估算无理数

【考试题型3】无理数整数部分或小数部分有关的计算

看似循环而实际不循环的小数，如

常见的无理数类型0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.

有特定意义的数，如：n

实开方开不尽的数.如：V3

数

概念：有理数和无理数统称为实数.

按属性分类【考试题型4】实数的分类

分类【考试题型5】比较实数的大小

按符号分类

【考试题型6】与实数有关的计算

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法【考试题型7】与实数运算有关的新定义问题

【考试题型8】程序设计与实数运算

实数和数轴上的点的对应关系一对应

【考试题型9】与实数运算有关的规律探究题

先算乘方，再算乘除，最后算加减【考试题型10】实数与数轴

运算顺序有括号先算括号里面的，再算括号外面的;先算小括【考试题型11】实数运算的实际应用

号，再算中括号，最后算大括号.

【知识清单】

考点一无理数

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.

【扩展】有理数与无理数的区别：

1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.而无理数是无限不循环小数小数.

2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数.

常见的无理数类型：

1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234“•••

2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002•••（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.

3）有特定意义的数，如：Ji

4）开方开不尽的数.如：V3,V5.

【考试题型1］判断无理数

1.（2023上•吉林长春•八年级统考期末）在下列实数中，无理数是（）

A.0B.7C.V2D.-6

4

nn-rr

2.（2023上•湖南张家界•八年级统考期末）在实数一亍，W，0,V27,与，3.1415,0.2121121112...

中，无理数的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2023上•吉林长春•八年级统考期末）在实数5、3.1415、it、V196,遍、2.123122312223……（1和

3之间的2逐次加1个）中，无理数的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考试题型2】估算无理数

1.（2023下•江苏淮安•八年级统考期末）用的值介于下列哪两个整数之间（）

A.30,35B.35,40C.40,45D.45,50

2.（2023下•河南开封•八年级统考期末）如图，数轴上表示遮一1的点应在（）

ABCDE_

-2-101~

A.线段4B上B.线段BC上C.线段CD上D.线段DE上

3.（2023下•重庆梁平•八年级统考期末）估计3+V1U的值应在（)

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

4.（2023下•山东烟台•八年级统考期末）整数a,满足V^<a<V12，则。=

5.（2023下•江苏泰州•八年级统考期末）若爪<2V3<m+1,且加为整数，则加的值为

【考试题型3】无理数整数部分或小数部分有关的计算

1.（2023下•河北保定•八年级统考期末）m,n分别是6—遮的整数部分和小数部分，贝归小一层的值为

)

A.3B.3-V5C.5D.6V5-5

2.（2023下•山东荷泽•八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题.

2

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上后;这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

V3+1

2=2x（--l）=2X®1）=

V3+1-（V3+l）x（V3-l）-（V3）32-I2—'，一,

以上这种化简的步骤叫作分母有理化.

2

（D化简南行.

1

(2)已知丁F的整数部分为Q,小数部分为b,求次+按的值.

、/2—V3

3.(2023•江苏•八年级假期作业)材料1：2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是

2.5—2得来的，类比来看，尤是无理数，而1<e<2,所以企的整数部分是1,于是可用四一1来表示

鱼的小数部分.

材料2：若10—|V^=a+bVL则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a,b要满足a=10,b=-|.

根据以上材料，完成下列问题:

(1)后的整数部分是，小数部分是；

(2)3+6也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+K<6,求a+b的算术平方根.

4.(2023上•山东枣庄•八年级统考期末)已知。的平方根是±5,b的立方根是一2,c是的整数部分;

(1)直接写出a、b、c的值；

(2)若x是#泛的小数部分，求x(W2+3)的算术平方根.

考点二实数

实数的概念：有理数和无理数统称为实数.

实数的分类：

1.按属性分类:2.按符号分类

亚整数J正整数

俾数Jo有理鼠正分数

声理负整数

MIiEi无理数

或数1分数［正分数

1负分敷实效•06整数

院理数j■正无理数供有理数｛负分数

1•负无理数I负实数｛负无理数

实数和数轴上的点的对应关系(重点)：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一

个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.

实数大小比较的方法(常用)：1)平方法2)根号法3)求差法

运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

【考试题型4】实数的分类

1.(2022上•河北石家庄•八年级统考期末)把下列各数写入相应的集合内：—|j,3+Vl可—而|,9.i晚

,0.22,V-125,273.

(1)有理数集合：｛…｝

(2)正实数集合：｛…｝

（3）无理数集合：｛…｝

（4）负实数集合：｛...｝

2.（2023上•广东佛山•八年级校考期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：

①一25；②夸；③0；（4）p⑤-8；@10%；（8）-1.12121112...；⑨2；⑩一0.345.

负分数集合：｛____________________

整数集合：［...）;

正有理数集合：｛____________________

无理数集合：｛___________________

3.（2023上•河南南阳•八年级统考阶段练习）把下列各数填在相应的集合内：y,V7,—8,次，0.5,

【考试题型5】比较实数的大小

1.（2023下•贵州黔南•八年级统考期末）下列实数中，比而大的数是（）

A.1B.V3C.2D.V6

2.（2023下•江苏苏州•八年级统考期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴

的距离与头顶到下巴的距离之比为有匕下列各数中最接近于亨的是（）

A.|B.|C.|D.|

5N54

3.（2021上•山东荷泽•八年级统考阶段练习）若a=g,b=\-6\,c=V65,则下列关系正确的是

（）.

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

4.（2022上•江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期末）实数一四，-1,0,3中，最小的数是.

5.（2023上•河南周口•八年级校考期末）比较大小：4.1危.（填“>”“〈”或“=”）

【考试题型6］与实数有关的计算

1.（2023上•吉林长春•八年级统考期末）计算：|1-V3|+V27.

2.（2021下•湖北武汉•七年级统考期中）计算：

（1）|V2-V3|+2V2；

⑵-OJI一口.

3.（2022下•广东广州•七年级统考期末）计算：V25++|V2-V3|+V2.

4.（2022下•湖南长沙•七年级长沙麓山国际实验学校校考期末）计算：（―1产22+低—3xJ1+

11—V31.

5.（2023上•四川成都•八年级统考期末）计算：

（l）V3-27+|2-V3|-V9+（|）2

【考试题型7］与实数运算有关的新定义问题

1.（2021上•北京•七年级校考期中）现规定一种新运算：0*6=^，如：16*2=71石=4,则25*2-125*3

2.（2022上•陕西咸阳•八年级统考期中）现定义一个新运算“※汽规定对于任意实数x,乃都有=

4%+y+\!xy+1,贝!J7X9的值为.

3.（2023上•四川达州•八年级四川省渠县中学校考期末）对于任意实数服b,规定两种运算：表示十

+。2的算术平方根，表示（a+1）x（6—1）的立方根，按照上述规则计算（5X12）+1☆（—8）］的结果

为—,

4.（2023上•四川宜宾•八年级统考期末）对于“新运算”。与#有：a0b=（a+b）（a—b）,a#b=

（a+6）2,贝!|4#（一2。3）=.

5.（2023上•浙江湖州•八年级统考期末）定义：对于任意实数a,b,关于☆的一种运算如下

a^b=b-2a,例如5V-10=-•如（-3）加=5-（-6）=11.

（1）若2^X<5,求无的取值范围；

（2）已知关于x的方程2（2%—1）=%+7的解满足根☆久<5,求加的取值范围.

6.（2023・广东广州•统考二模）定义：不大于实数x的最大整数称为％的整数部分，记作［%］,例如［3.6］

=3,［-V3］=-2,按此规定，若［书］=—1,则x的取值范围为（）

1135

A.-<%<1B.-<%<1C.D.1<%<-

7.（2023上•甘肃酒泉•八年级统考期末）若。※力=|血—加一（迎+力），贝心※？的值为（）

A.4B.2V3C.-4D.-2V3

【考试题型8】程序设计与实数运算

1.有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（）

是有理数

A.V3B.9C.3D.2V3

2.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x为64时，输出y的值是（)

I输入工匕「I取立方根禺理数输出？|

是有理数

A.4B.V4C.V3D.V2

3.（2020上•浙江温州•七年级统考期末）有一个数值转换器，流程如下:

当输入X的值为64时，输出y的值是（）

A.2B.2V2C.V2D.V2

【考试题型9】与实数运算有关的规律探究题

1.（2022下•湖北武汉•八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）若的=1+*1+1全，=1+51+专1，«3

=1+3+万，。4=1+至+瓦・・・，则+口？++…+与。2022的值为（）

第20222022

A.20211B-2023砺C2022—D.2022—

2.（2022上•江苏淮安•八年级统考期末）已知：1=13；3+5=23；7+9+11=323；413+15+17+

19=43；…请你仔细观察上述式子特点，写出381+383+385+…+419=.

3.（2022下•山东滨州•八年级统考期末）观察下列各式：

Jl+*+3=l+击,]1+»专=1+小小+专++=1+击，……

请利用你所发现的规律，计算+Jl+++t+小+»++……+其结

果为.

4.（2021上•湖南张家界•八年级统考期末）观察下列等式：

①3-2鱼=（V2-1）2,

②5—2通=（V3—V2）2,

@7-2V12=（V4-V3）2,

请你根据以上规律，写出第5个等式—.

【考试题型10］实数与数轴

1.（2022•广东深圳•深圳中学校考一模）如图，已知正方形的面积为5,点N在数轴上，且表示的

数为1.现以点/为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在/的右侧），则点E表示

的数为（）

2.（2021上•广东深圳•八年级统考期末）实数°、6在数轴上所对应的点如图所示，贝力仃-6|+|a+V^+/

的值—.

ab

—------------------1——►

'V30V3

3.（2022上•重庆•八年级重庆南开中学校考期末）实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简：

J（a_6）2_y（b_l）3=.

-1-------J:-1------->

a0b

4.（2021・江苏盐城・统考中考真题）如图，点4是数轴上表示实数a的点.

-101

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的鱼的点P;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较血和a的大小，并说明理由.

5.（2021上•江苏连云港•八年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点4沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,

点4表示一VL设点B所表示的数为小.

-----A•-!,-----,-B---,----,1---,--->

-2-10123

（1）求—1]的值；

（2）在数轴上还有C、。两点分别表示实数c和d,且有|2c+d|与历7互为相反数，求2c—3d的平方

根.

【考试题型111实数运算的实际应用

1.（2022下•江西上饶•七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中H8两正方形区域的面积

（1）48两正方形的边长各是多少？

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：1,414,旧〜1.732）.

2.如图1,有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形.

（1）拼成的正方形的面积是一，边长是」

（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能,

在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由.

图1图2

3.定义：若a+6=2,则称。与6是关于1的平衡数.

（1）①3与一是关于1的平衡数；②4-x与一是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）.

（2）若a=2x?-3（N+x）-4,b=2x-[3x-（4x+x2）-2],判断a与6是否是关于1的平衡数，并说明

理由.

4（2022下•北京•七年级北京八十中校考期中）“说不完的鱼”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下

列问题.

（1）直到底有多大？

下面是小欣探索好的近似值的过程，请补充完整：

我们知道面积是2的正方形边长是鱼，且鱼>1.4.设鱼=1.4+久，画出如下示意图.

由面积公式，可得/+=2.

因为工值很小，所以必更小，略去/,得方程,解得x=（保留到0.001）,即鱼=.

（2）怎样画出声？请一起参与小敏探索画企过程.

现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1）,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分

割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

小敏同学的做法是：设新正方形的边长为％（x>0）.依题意，割补前后图形的面积相等，有人=2,解得

X=把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形.

r1丁1

ii1i

ii1i

rin1rnTn

।ii1ii1i

।ii1ii1i

rin1r~\Tn

iii1ii1i

11iii1ii1i

/rinnr~n-~rn

11iiiiiiii

/iiiiiiii

图⑴图⑵图(3)图(4)

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3）,请把它们分割后拼接成一个新的正方

形.要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，

不要求写分析过程.

【提升练习】

I.（2022•山东枣庄•统考中考真题）实数-2023的绝对值是（）

A.2023B.-2023c-^―D.一盛

2023

2.（2022・重庆•统考中考真题）估计回一4的值在（）

A.6到7之间B.5到6之间C.4到5之间D.3至U4之间

3.（2022•山东潍坊・中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与

头顶到下巴的距离之比约为亨，下列估算正确的是（）

A.0<-<|B.C.1D.—>1

25522，22

4.（2022•湖南常德・统考中考真题）在V3,-V8,兀，2022这五个数中无理数的个数为（