人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业3：6 2 3-6 2 4 第1课时 组合及组合数的定义练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1,2,3组成两位数的不同方法数D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数〖答案〗AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(3,10)种 B．Ceq\o\al(3,10)种C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)种 D．30种〖答案〗B〖解析〗三张票没区别，从10人中选3人，即Ceq\o\al(3,10).3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A．3B．4C．12D．24〖答案〗B〖解析〗由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64〖答案〗C〖解析〗由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(条)公路．5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有()A．Ceq\o\al(5,9)种B．Aeq\o\al(3,7)种C．Ceq\o\al(3,7)种D．Ceq\o\al(5,7)种〖答案〗C〖解析〗只需再从其他7名队员中选3人，即Ceq\o\al(3,7)种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．〖答案〗84〖解析〗只需从9名学生中选出3名即可，从而有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(A\o\al(3,9),A\o\al(3,3))＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84(种)选法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．〖答案〗6〖解析〗由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(4×3,2×1)＝6(个)．8．有3张参数是________．(用数字作答)〖答案〗10〖解析〗由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3))＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10(种)不同方法．9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为Aeq\o\al(2,10)＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝120.(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为Aeq\o\al(3,10)＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法〖答案〗ABC〖解析〗组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有()A．60种B．36种C．10种D．6种〖答案〗D〖解析〗甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝6(种)不同的选法．13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224B．112C．56D．28〖答案〗B〖解析〗由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(1,4),A\o\al(1,1))＝112.14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.〖答案〗1∶2〖解析〗∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A点走向B点最短的走法有________种．〖答案〗(1)210(2)210〖解析〗(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)·Ceq\o\al(4,4)＝eq\f(A\o\al(6,10),A\o\al(6,6))·eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(4,4))＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要