人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业5：7 5 正态分布练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17．5正态分布基础达标一、选择题1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15〖解析〗P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.〖答案〗C2．某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm，9.3cm，则可认为()A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产情况均正常D．上午、下午生产情况均异常〖解析〗因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝〖μ－3σ，μ＋3σ〗＝〖9.4，10.6〗，则9.9∈I，9.3∉I.故选A.〖答案〗A3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为()A．3 B．4C．5 D．6〖解析〗因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.〖答案〗B4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A．2386 B．2718C．3414 D．4772〖解析〗由P(－1≤X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，则阴影部分的面积为0.34135，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×0.34135≈3414.〖答案〗C5．设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分点的个数的估计值为()附：(随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)．A．12076 B．13173C．14056 D．7539〖解析〗由题意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)≈0.02275，∴P(－1<X<3)≈1－0.02275×2＝0.9545，∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0<X<1)＝eq\f(1,2)P(0<X<2)≈0.34135，故估计落入阴影部分的点的个数为20000×(1－0.34135)＝13173.〖答案〗B二、填空题6．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝__________．〖解析〗由题意知曲线关于x＝2对称，因此P(X<2)＝eq\f(1,2).〖答案〗eq\f(1,2)7．设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2<X<4)＝__________．〖解析〗由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3<X<4)＝eq\f(1,2)－p，即P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p.〖答案〗1－2p8．某市有48000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有__________人．〖解析〗设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)≈0.6827.所以在80分到90分之间的人数为48000×eq\f(1,2)×0.6827≈16385(人)．〖答案〗16385三、解答题9．设X～N(3，42)，试求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．解∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)〖P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)〗＝eq\f(1,2)〖P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)〖1－P(－5≤X≤11)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(3－8≤X≤3＋8)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？解还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因为P1<P2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．能力提升11．(多空题)已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为__________，X落在区间(2，3〗内的概率为__________．〖解析〗由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由X～N(1，1)知P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2×1<X≤1＋2×1)－P(1－1<X≤1＋1)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.〖答案〗x＝10.135912．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间〖187.8，212.2〗的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P〖187.8≤Z≤212.2〗＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.6827.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间〖187.8，212.2〗的概率为0.6827，依题意知X～B(100，0.6827)，所以E(X)＝100×0.6827＝68.27.创新猜想13．(多选题)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)〖解析〗由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正确；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正确，D错．〖答案〗BC14．(多选题)某次我市高三教学质量检