人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 3-6 2 4 第1课时 组合及组合数的定义

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√)2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系吗？解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应Aeq\o\al(2,2)个排列，即Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2).类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系为Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m).反思感悟组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)之间的关系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解先将图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．三、简单的组合问题例3有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．〖答案〗(1)45(2)21(3)90〖解析〗(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有Ceq\o\al(2,6)种方法；第2类，选出的2名是女教师有Ceq\o\al(2,4)种方法．根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＋eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(4×3,2×1)＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))×eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种)．反思感悟利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(A\o\al(3,8),A\o\al(3,3))＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,3))＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是()A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，bC．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d〖答案〗ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是()A．10B．5C．4D．1〖答案〗B〖解析〗组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手〖答案〗D〖解析〗本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到Ceq\o\al(13,52)手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．〖答案〗①②③〖解析〗①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c