人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 4 2　超几何分布

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).1．超几何分布是不放回抽样．(√)2．超几何分布的总体是只有两类物品．(√)3．超几何分布与二项分布的均值相同．(√)4．超几何分布与二项分布没有任何联系．(×)一、超几何分布的辨析例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．解(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有()A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X〖答案〗ABD〖解析〗依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．二、超几何分布的概率例2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).所以X的分布列为X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq\f(1,7).(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．解(1)设甲班的学生人数为M，则eq\f(C\o\al(2,M),C\o\al(2,7))＝eq\f(MM－1,42)＝eq\f(1,7)，即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(4,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(5,7).三、超几何分布与二项分布间的关系例3某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495〗，(495，500〗，…，(510,515〗，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．解(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列为X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)∴X的均值为方法一E(X)＝0×eq\f(63,130)＋1×eq\f(28,65)＋2×eq\f(11,130)＝eq\f(3,5).方法二E(X)＝eq\f(2×12,40)＝eq\f(3,5).(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq\f(12,40)＝eq\f(3,10).从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))2－k，k＝0,1,2，∴P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2＝eq\f(9,100).∴Y的分布列为Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)跟踪训练3(1)100件ξ的分布列；(2)某批数量较布列．解(1)任取一件得到次品的概率为eq\f(10,100)＝0.1，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为ξ012345P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001(2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数〖答案〗ACD〖解析〗由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.eq\f(1,50)B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,825)D.eq\f(1,4950)〖答案〗C〖解析〗记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(0,96),C\o\al(2,100))＝eq\f(1,825).3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,48),C\o\al(5,52)) B.eq\f(C\o\al(3,48)C\o\al(2,4),C\o\al(5,52))C．1－eq\f(C\o\al(1,48)C\o\al(4,4),C\o\al(5,52)) D.eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,48)＋C\o\al(4,4)C\o\al(1,48),C\o\al(5,52))〖答案〗D〖解析〗设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,48),C\o\al(5,52))＋eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,48),C\o\al(5,52)).4．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝________.〖答案〗eq\f(6,5)〖解析〗E(ξ)＝eq\f(2×3,5)＝eq\f(6,5).5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示