2024-2025学年新教材高中数学全书要点速记学案新人教B版选择性必修第一册

PAGE全书要点速记第一章空间向量与立体几何要点1空间向量基本定理1．共线向量基本定理对随意两个空间向量a，b，假如a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．推论：若存在实数t，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(OB,\s\up8(→))(O为空间随意一点)，则P，A，B三点共线．2．共面对量定理假如两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．推论1：假如A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))．推论2：空间四点P，A，B，C共面的充要条件是存在x，y，z∈R，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1，O为空间随意一点．)3．空间向量基本定理假如空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的随意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．要点2空间向量数量积的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．(2)|a2|＝a2，即|a|＝eq\r(a2)，此结论一般用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，此结论一般用于求空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)，此结论一般用于求空间中的距离问题．要点3空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则线线平行l∥m⇒a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇒u∥ν⇔u＝kν，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)线面夹角l，α的夹角为θ，sinθ＝eq\f(|a·u|,|a||u|)面面夹角α，β的夹角为θ，cosθ＝eq\f(|u·ν|,|u||ν|)留意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤eq\f(π,2)；②二面角的范围为[0，π]，解题时应详细分析二面角是锐角还是钝角．其次章平面解析几何要点1直线的倾斜角与斜率(1)设直线的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点．当α≠90°即x1≠x2时，k＝tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；当α＝90°或x1＝x2时，直线斜率不存在．(2)斜率与倾斜角的关系直线与x轴平行由左向右上升与y轴平行由左向右下降图示θ的范围θ＝00＜θ＜eq\f(π,2)θ＝eq\f(π,2)eq\f(π,2)＜θ＜πk的范围k＝0k＞0k不存在k＜0k的增减性随θ的增大而增大随θ的增大而增大说明：k的增减性与θ的关系可借助正切函数y＝tanθ的性质进行记忆．要点2直线的方程已知条件方程适用范围点斜式点P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k·(x－x0)斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和直线在y轴上的截距by＝kx＋b两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线截距式直线在x轴上的截距a和直线在y轴上的截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)全部直线要点3两条直线的位置关系斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2一般式：A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2，B2，C2均不为0)重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0要点4平面上的距离公式(1)随意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．要点5圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．圆的一般方程当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)．3．求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的随意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．要点6直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的判定方法关系相交相切相离几何法d＜rd＝rd＞r代数法Δ＞0Δ＝0Δ＜0说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．2．求弦长的方法(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2．(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为eq\r(1＋k2)|x1－x2|(或eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|)．3．圆的切线方程(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·eq\f(x＋x0,2)＋E·eq\f(y＋y0,2)＋F＝0．4．求切线方程的方法若切线斜率k存在，且不为0．(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．留意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．要点7圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何法d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|代数法Δ＜0Δ＝0Δ＞0Δ＝0Δ＜0说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ＜0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法推断两圆的位置关系．要点8椭圆、双曲线、抛物线的比较椭圆双曲线抛物线定义假如F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满意|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆假如F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满意||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)几何图形集合表示{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|＞0}{P|||PF2|－|PF1||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}{P||PF|＝点P到直线l的距离}焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(－c，0)，F2(c，0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))范围－a≤x≤a，－b≤y≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(－a，0)，A2(a，0)O(0，0)中心原点(0，0)原点(0，0)无离心率0＜e＝eq\f(c,a)＜1e＝eq\f(c,a)＞1e＝1通径长eq\f(2b2,a)eq\f(2b2,a)2p焦半径|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP若点P在右支上，则|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝－a＋exP；若点P在左支上，则|PF1|＝－a－exP，|PF2|＝a－exP|PF|＝eq\f(p,2)＋xP要点9椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论1．椭圆设F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形．其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．(2)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ)．(3)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，Seq\s\do8(△PF1F2)＝b2taneq\f(θ,2)．2．双曲线设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．(1)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,|sinα－sinβ|)．(2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，Seq\s\do16(△PF1F2)＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))．要点10抛物线焦点弦的相关结论已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值