2024-2025学年高中数学第一章推理与证明1.1.2类比推理学案含解析北师大版选修2-2

PAGE1．2类比推理授课提示：对应学生用书第3页[自主梳理]一、类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，依据一类对象的其他特征，推断________________________，我们把这种推理过程称为类比推理，类比推理是________之间的推理．利用类比推理得出的结论________．二、合情推理的含义________和________是最常见的合情推理，合情推理是依据试验和实践的结果、个人的阅历和直觉，已有的事实和正确的结论，如________、________、________等，推想出某些结果的推理方式．三、演绎推理的含义演绎推理是依据已知的事实和正确的结论，依据严格的____法则得到新结论的推理过程．四、类比推理的特点1．类比是从人们已经驾驭了的事物的属性，推想正在探讨中的事物的属性，它以旧有相识作基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特别属性推想另一种事物的特别属性；3．类比的结果是揣测性的，不肯定牢靠，但它却具有发觉的功能．[双基自测]1．下面运用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”2．假如对象A和对象B都具有相同的属性P、Q、R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立？()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)×底×高，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(1,2)lr D．不行类比4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．[自主梳理]一、另一类对象也具有类似的其他特征两类事物特征不肯定正确二、归纳推理类比推理定义公理定理三、逻辑[双基自测]1．C由类比推理的定义知C正确．2．D各自另外的属性S只能类比x.3．C由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S＝eq\f(1,2)lr.4.eq\f(1,8)eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).授课提示：对应学生用书第3页探究一几何中的类比[例1]在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.在立体几何中，给出类比猜想．[解析]如图，在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.1．类比推理的基本原则是依据当前问题的须要，选择适当的类比对象，可以从几何数目、位置关系、几何性质、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形的类比如下：平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体1．如图①有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则图②有体积关系：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝________.解析：(1)把平面中三角形的学问类比到空间三棱锥中，得eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).故填eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)探究二等式及其他学问点的类比[例2]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b10＝1，则有等式________成立．[解析]等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq)．由此，猜想本题的答案为b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N＋)．[答案]b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N＋)在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和，类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．2．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1,32－22＝2×2＋1,42－32＝2×3＋1，…，(n＋1)2－n2＝2n＋1，将以上各式分别相加得：(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，类比上述求法，则12＋22＋32＋…＋n2＝______________.答案：eq\f(nn＋12n＋1,6)类比对象不正确致误[例3]如图，在四面体S­ABC中，平面SAB、平面SAC、平面SBC与底面ABC所成角分别为α1、α2、α3，三条棱SC、SB、SA与底面ABC所成角为β1、β2、β3，三个侧面△SAB、△SAC、△SBC的面积分别为S1、S2、S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．[解析]如图，在△DEF中，由正弦定理得eq\f(DE,sinF)＝eq\f(EF,sinD)＝eq\f(DF,sinE).如题中图，由于平面SAB、平面SAC、平面SBC与底面所成的二面角分别为α1、α2、α3，类比可得在四面体S­ABC中，有eq\f(S△SAB,sinα1)＝eq\f(S△SAC,sinα2)＝eq\