2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.6.2第2课时直线与平面垂直的性质素养作业提技能含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.68.6.2第2课时A组·素养自测一、选择题1．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是(D)A．a⊥α B．a∥αC．a⊂α或a∥α D．不确定[解析]当b∥α时，可存在直线a⊂α，a⊥α，a∥α，故关系不确定.2．空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是(B)A．平行 B．垂直C．相交 D．不确定[解析]因为直线l和三角形所在的平面垂直，三角形的边AB在这个平面内，所以l⊥AB.3．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(D)A．平行 B．相交C．异面 D．以上皆有可能[解析]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面4．如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④其中成立的有(B)A．①与② B．①与③C．②与③ D．③与④[解析]由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，解除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S冲突，解除A，故选B．5．(多选)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是(ABD)A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC[解析]由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，B，D均正确.二、填空题6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有__1或多数__个.[解析]设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则全部过AB的平面均与α垂直，此时有多数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满意α⊥β.7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是__平行[解析]∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.8．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__6__.[解析]∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6．三、解答题9．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积.[解析](1)证明：连接AC交BD于点O，连接PO.∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BO＝DO.又∵PB＝PD，∴PO⊥BD.∵AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴BO＝eq\f(1,2)AB＝1．又∵PD＝PB＝2，∴PO＝eq\r(3).∵AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，∴PA2＝PO2＋AO2，∴△PAO是等腰直角三角形，且∠POA＝90°.又∵E是PA的中点，∴S△PEC＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)AC·PO＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，∴VP－BEC＝VB－PEC＝eq\f(1,3)·S△PEC·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(1,2).10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱)中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：AB＝题图答图[证明]如图，取BC的中点F，连接EF，则EF∥B1B且EF＝eq\f(1,2)B1B.从而EF∥DA且EF＝DA.连接AF，则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1．从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，又F为BC中点，故AB＝AC.B组·素养提升一、选择题1．(2024·安徽蚌埠高二检测)如图所示，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是(A)A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD[解析]若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确.因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为PA⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是(B)①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.A．①和② B．②和③C．③和④ D．①和④3．已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(A)A．2 B．1C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)[解析]由相像比得BD＝2．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(B)A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH[解析]因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B．二、填空题5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD肯定是__菱形__.[解析]易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD肯定是菱形.6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满意条件__BD⊥AC__时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，[解析]当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C，又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1三、解答题7．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.[证明]因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC.因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1[证明]如图，连接A1C1，C1D，BD，B1D1易知AC∥A1C1，∵EF⊥AC，∴EF⊥A1C