高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第五章

三角函数、解三角形

第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

［课程标准］1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引

入弧度制的必要性2借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

基础知识整合

＞知识梳理

1.角的概念

(1)任意角

①一条射线绕其端点按画逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按圆顺时针

方向旋转形成的角叫做负角.

②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个画委角.

(2)象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的画终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角.

(3)终边相同的角

所有与角«终边相同的角，连同角«在内，可构成一个集合网S={0|0=Q

+左•360°,左WZ}.

2.弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于胸生径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单

位记作rad.

(2)弧度与角度的换算：360°=瓯近弧度；

-]。=幽=rad

1oU

180°=圈7trad

(3)公式

①弧长公式：/=叵］®•.

②扇形面积公式：S扇形=回技=叵皿.

说明：公式中的a必须为弧度制！

3.任意角的三角函数

⑴定义

设尸。，》)是角«终边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r,则sina

:,cosa=~,tana=上刈）

⑵三角函数值在各象限内的符号

sinacosa

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

◎知识拓展

1.象限角

第一象限角Q12kn<ct<2kn+^，及EZ

象

限{a[2kn+-^-<ct<2k,K+兀,kEz}

第二象限角

角

的

集第三象限角^a\2kTz+7t<a<2kn

合

Q|2人江+当<a<2kn+2兀,kGZ

2.轴线角

轴

线

角

的

集

合

要结论

3.重

>sina.

na>a

，贝1Jta

（0,舒

若aC

基自测

>双

）

度是（

化为弧

30,

67°

1.

3

3兀

B

A

8

-T

673

迫

u

u

-1800

-1800

A

答案

71

7T3

A.

故选

旃=.

7.5乂

0，=6

67。3

解析

终边相

°角的

240

边与

的终

角a

编）若

⑵改

.1T7

习题5

一册

修第

A必

（人教

2.

a

）

（

象限是

边所在

叼的终

同，贝

限

第四象

第二或

A.

限

第三象

第二或

B.

限

第四象

第三或

D.

限

第四象

第一或

C.

A

答案

a

Z.

,k£

20°

+1

k180°

以］=

Z.所

,左€

240°

0°+

=k36

得a

由已知

解析

a

.

四象限

二或第

限是第

所在象

的终边

所以'

）

。是（

则角

e<0,

6cos

若sin

改编）

.2Tio

习题5

一册

修第

A必

（人教

3.

限角

第三象

第二或

B.

限角

第二象

第一或

A.

限角

第四象

第二或

D.

限角

第四象

第三或

C.

D

答案

sin分0,sin0<O,

解析因为sinOcosOvO,所以J或t°sd>。.所以角。是第二或第四象

[cos<9<0

限角.故选D.

4.（人教A必修第一册521练习T3改编）若角a的顶点在坐标原点，始边与

x轴的非负半轴重合，终边经过点P（-l,2）,贝1Jsina-cosa+tana=.

375-10

答案

解析由已知得厂=，（-1）2+2?=小，所以sin（7-cos<7+tan（7=：-=

2-13y[5-10

小—小+-1=小一2=5-

5.（2024.福州摸底）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧

度数是_______.

答案也

解析由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为明广，故弧长为啦厂的弧

所对的圆心角的弧度数为

核心考向突破

考向一角的概念及表示

例1（1）（2023・宁波模拟）若a是第二象限角,贝女）

A.-a是第一象限角

B.施第三象限角

3兀

C.2+a是第二象限角

D.2a是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角

答案D

兀

解析因为a是第二象限角，所以]+2®<。<兀+2左兀，左©Z.对于A,可得一兀

兀

-IkiK-a<-2-2/OT,左©Z,所以-a是第三象限角，所以A错误；对于B,可

得：+也<44+而，k《Z,当左为偶数时，为是第一象限角，当上为奇数时，为是

37T571

第三象限角，所以B错误；对于C,可得2兀+2fai<y+a<z+2E,左©Z,即2（左

3兀71371

+l）7i<y+«<2+2（Z:+l>>kGZ,所以2+a是第一象限角，所以C错误；对于

D,可得兀+4也<2*2兀+4也，左©Z,所以2a是第三或第四象限角或终边在y轴

负半轴上的角，所以D正确.

⑵终边在直线丁=小》上，且在［-2兀，2兀）内的角a的集合为

5兀27171471

答案T5-T535T

解析如图，在平面直角坐标系中画出直线y=^x,可以

发现它的倾斜角是幸在［0,2兀）内，终边在直线y=上的角

7T411

有两个，分别为玉y;在［-2兀，0）内满足条件的角有两个，

八nrr2兀5兀I,„...,,,,,4/'t［5兀2兀兀4兀］

分别为-9，-于故涧s足条件的角a构成的集合为卜至，-y>31Tj-

I触类旁通I

1.终边相同角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角

的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数%赋值来求得所需角.

2.象限角的两种判断方法

（1）图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断

已知角是第几象限角.

（2）转化法：先将已知角化为2E+a（aG［0,2兀），左GZ）的形式，即找出与已

知角终边相同的角«,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

3.求（或〃e（“eN*）终边所在象限的方法

⑴将。的范围用不等式（含有左，左CZ）表示.

⑵两边同除以〃或乘机

(3)对k进行讨论，得至《或〃仇〃©N*)终边所在的象限.

提醒：注意用旋转的观点理解角的加减运算.例如：―80°+60°(左©Z)表

示的角的终边可理解为60°角的终边逆时针(左>0)或顺时针(左<0)旋转180°的倍

数而得到的.

查即时训练1.集合]，也+&女兀+.中的角所表示的范围(阴影部分)

是()

答案C

解析当k=2n(n©Z)时，2ml+-<a<2mi+全〃GZ),此时a表示的范围与£

兀_兀兀

Sa与表示的范围一样；当左=2〃+1(〃£Z)时，2〃兀+兀+百。二2〃兀+7i+](〃£Z),

此时a表示的范围与57辛1a以371表示的范围一样.故选C.

2.与-2023°终边相同的最小正角是_______.

答案137°

解析因为-2023°=(-6)x360°+137°,所以137°与-2023°终边相

同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°〜360°中只有137°

与-2023°终边相同，故与-2023°终边相同的最小正角是137°.

考向二扇形的弧长、面积公式

例2已知一扇形的圆心角为用半径为&弧长为/,

(1)若a=60°,7?=10cm,求扇形的弧长/；

(2)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最

大？

7T

解(1)Va=60°rad,7?=10cm,

兀]U7l

；•扇形的弧长l=aR=^xlQ=­(cm).

(2)由题意,得l+2R=20,；」=20-2R.

「.S扇=；/R=；(20—2R)H=-R2+107?=-(R-5)2+25.

...当R=5cm时，S扇有最大值25CH?.

此时/=20-2x5=10(cm),<7=^=^=2rad.

二当a=2rad时，扇形的面积最大.

I触类旁通I弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，记住下列公式

①弧长公式：Z=|«|r；②扇形的面积公式：5=5r=；上产(其中/是扇形的弧

长，。是扇形的圆心角，厂是扇形的半径).

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个

量.

即时训练1.侈选)(2023•青岛模拟)已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,

下列说法正确的是()

A.扇形的半径可能为2B.扇形的半径可能为1

C.圆心角的弧度数可能是1D.圆心角的弧度数可能是2

答案ABC

2r+ar=6,

解析设扇形的半径为人圆心角的弧度数为%则由题意得h?解

~^ar-2,

r=1,r=2,

得“或।可得扇形的半径可能为1或2,圆心角的弧度数是4或1.

a=4=1,

2.(2023•海淀区校级模拟)我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者

提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的

面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为

单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度数为全则角e

的余弦值为（）

A.一半B,4

C.|D坐

答案B

40r2O

/772jr

解析设角。所在的扇形的半径为广，则由题意，可得下=],解得。=可,

可得cos6=cos与=-1■.故选B.

多角度探究突破__________________________

考向三三角函数的定义及其应用

角度1三角函数定义的正用和逆用

例3（1）（2023・遂宁一模）已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的

（2兀2兀）

非负半轴重合.若角a终边上一点P的坐标为[cosg~,sin司，则sinc?tana=（）

A.—|B.—乎

C.坐D.|

答案A

为5(2兀.2TI」）,即/（《，由,则5加=启天坐，tana=?

解析P^cosy,siny

_小,故由

sinatana=—|（选A.

2兀

(2)点2从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动不弧长到达点Q,则点Q的

坐标为()

B[¥，g

C-U--f)D[¥，1

答案A

27T1271

解析由三角函数的定义可知点Q的坐标(x,y)满足x=cos§=-2，y=siny

=坐，所以点。的坐标为坐)

(3)若角a的终边在直线3x+4y=0上，求sina,cosa和tana的值.

解设a终边上任一点为P(-4a,3a),存0,

343

当a>0时，r=5a,sina=g,cosa=-g,tana=一不

当a<0时，r=-5a,sina=_5,cosa=5,tana=

I触类旁通I

1.正用三角函数定义的两种情况

(1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离/(#0),然

后用三角函数的定义求解.

(2)已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此

点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.

2.三角函数定义的逆用

已知角a和角a终边上一点P到原点的距离r(r^=0),可依据xp=rcosa,yp

=rsina求出点P的坐标.

「即时训练(2023.成都模拟)如图，cos售+”的值为()

答案B

1-x/s兀

解析设NxOP=a,贝1Jsina=