直线平分图形面积模型-2024-2025学年度中考数学复习函数模型讲义

直线平分图形面积模型

模型示例：如图，四边形Q4BC是平行四边形，。（0,0）,A（5,0）,C（l,4）,若直线y=区-4

平分四边形Q4BC的面积，求女的值.

第①步求出平行四边形的中心点G的坐标：如图，连接AC和02,交于点G.

:四边形0ABC是平行四边形,

；.G为AC中点,

：A（5,0）,C（l,4）,

即G（3,2）.

第②步把点G的坐标代入函数解析式求解:

V丁=笈-4平分平行四边形Q1BC的面积，

y=辰一4必过G点，

・•・2=3左—4,

解得：k=2.

适用范围：一次函数平分图形面积的相关题型.

ZZ/

先求图形对称中心的坐标，再代入解析式求解

/〃

如图，在平面直角坐标系中，矩形A2CZ）的顶点8、。的坐标分别为（1,2）、（4,0）,直线

机:y=Ax+6交y轴于点E（0,-2）,当直线机平分矩形ABC。的面积时，上的值是一.

1.2

思路引导

连接80.由点B点和D点的坐标得出8。的中点坐标为(|,1),即为矩形中心的坐标，然

后由已知条件得出直线m经过点(|,1),最后用待定系数法即可求解.

u详细解析

解：如图，连接8D.

•.•点8,。的坐标分别为(L2)、(4,0)

8。的中点坐标为(|,1)

直线m平分矩形A2CD的面积

直线机经过点(|,1),

•••直线机过点E(0,-2)

-k+b^\“,伏=1.2

[b=-26-2

”的值为1.2.

故答案为：1.2.

试卷第2页，共6页

日变式籁

1.如图，在平面直角坐标系中，4(2,0),3(0,6),连接A3,直线CD分别交x轴、y轴

于点C、0(0,2),交线段A3于点E,连接AD,当直线CD将的面积分为相等的两

部分时，ACD的周长为()

2.如图，在平面直角坐标系中，门Q4BC的边0c落在x轴的正半轴上，且3(6,2),,直线

y=2x+l以每秒1个单位的速度向下平移，经过/秒该直线可将平行四边形。4BC分成面积

3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线/：y=区将这八个正方形分

成面积相等的两部分，则人的值为()

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是平行四边形，且顶点A的坐标为(4,0),点

2的坐标为仪,2君），将平行四边形Q4BC沿着直线0C翻折，得到四边形OABC,若直线/

把六边形OABCEA的面积分成相等的两部分，则直线/的解析式为（）

B.y=2y/3x或y=------x+28

-3

D.y=耳乂或y=_上*+2后

5.已知VA5c的顶点坐标分别为4（—5,0）,3（3,0）,C（0,3）,当过点C的直线/将VABC分

成面积相等的两部分时，直线/所表示的函数表达式为

6.如图，四边形Q4BC是平行四边形，0（0,0）,4（5,0）,C（l,4）,若直线y=履-4平分四

边形Q43c的面积，贝iU=.

7.如图，在平面直角坐标系中，己知平行四边形OABC,A（6,0）,C（l,3）,直线y=丘-1

马BC,分别交于N,且将A3C0的面积分成相等的两部分，则上的值是

试卷第4页，共6页

8.在平面直角坐标系中，若直线y=■龙+2分别交无轴，V轴于A,3两点，。是

原点，则过VA03的顶点A或8,且把VAOB分成面积相等的两部分的直线所对应的函数表

达式为—.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线4：y=f+3与过点的直线4交于y轴上的

点8,点A,。分别为直线4，4与X轴的交点.

（1）求点B的坐标及直线4的函数表达式；

⑵若过点B的直线4,把AABD的面积平分，自厚写出直线k的表达式.

10.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴正半轴上一点，且。4=6,过点A的直线与直线

y=交于点3（5,-3）,动点尸，。都在线段。4上（尸，。不与。、A重合，尸与。不重

合），且。尸=4。，以PQ为边在x轴下方作正方形尸QC。，设OP=〃z,正方形PQCO的周

长为L.

尸A>

(W1)求直线A5的函数解析式；

(2)当机=5时，正方形尸QCO的面积为；

(3)求L与俄之间的函数关系式；

(4)当直线02将正方形尸的分成面积相等的两部分时，请直接写出机的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理.根

据题意点E为A8的中点，利用中点坐标求得点E的坐标，利用待定系数法求得直线的

解析式，再求得点C的坐标，据此求解即可.

【详解】解：：直线将△河的面积分为相等的两部分，

.,.点E为A8的中点，

...点矶1，3),

V0(0,2),

设直线CD的解析式为y=履+2,

将现1,3)代入得3=&+2,

解得k=\,

直线CD的解析式为>=尤+2,

令y=0,贝l]0=x+2,

解得x=-2,

.•.点C(-2,0),

OA=OD=OC=2,

AD=CD72，+2。=2应,

ACD的周长为2+2+20+2应=4也+4，

故选：B.

2.D

【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角

线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解.

【详解】解：；平行四边形是中心对称图形，

设r秒后直线可将平行四边形Q4BC分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对角

线的交点

:点8(6,2),

..•平行四边形对角线的交点坐标为(3,1)

答案第1页，共11页

当y=2x+6过（3,1）时，则1=2x3+%

解得：b=-5,

，y=2x+1向下平移6个单位得至ijy=2x—5,

6+1=6

,经过6秒该直线可将平行四边形Q4BC分成面积相等的两部分.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，

直线经过对角线的交点是解题的关键.

3.A

【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，求一次函数解析，解题的关键是作出放心上,

设直线/和八个正方形最上面交点为A,过A作于点8,先根据图形得出08=3,

根据三角形面积公式得出;0222=5,求出AB：］,得出《£,3；把卜弋入

y=kx,求出上的值即可.

【详解】解：设直线/和八个正方形最上面交点为A,过A作于点3,如图所示:

,•正方形的边长为1,

0B=3,

•••经过原点的直线/将这八个正方形分成面积相等的两部分,

・••两边的面积都是4,

：.-OBAB=5,

2

答案第2页，共11页

9

解得：左=A，

故选：A.

4.A

【分析】根据翻折的对称性，显然直线0C是满足条件的直线/.另外考虑到过平行四边形

的中心任作一条直线都可以把这个四边形分为面积相等的两部分，故过两个平行四边形的中

心的直线也是满足条件的直线I,仿照这两条思路问题不难得解.

【详解】分两种情况讨论：

①如下图，

ABC=OA=4,因点8的横坐标为6,

点的横坐标为6—4=2.

即：C点的坐标为(2,2若).

设直线OC的解析式为：y=kx(k^G),

则：k=^=—=yfi.

x2

故OC的解析式为：y=岛.

因OC是对称轴，故直线OC把六边形的面积分成相等的两部分，OC即为满足条

件的直线I.

②自点B作无轴的垂线，垂足为点E,取A3的中点/,连接E/,如下图.

答案第3页，共11页

AE=OE—OA=6—4=2,BE=2A/3,

由勾股定理得：AB=^AE2+BE2=^22+（273）2=4.

因3C=Q4=4,

AB=BC.

平行四边形。IBC是菱形.

因E7是直角斜边A8上的中线，^IE=AI=-AB=-x4=2,

22

'/AE^2,

所以出=4=4£\

则△珀£是等边三角形.

ZBAE=GO°.

：.NCBA=/AOC=60。，

四边形OABC是含内角60。的菱形.

由翻折性知，四边形OA'8'C也是菱形，且ZA'OC=60。.

平分ZA'OC,

则：ZB'OC=30°,

：.ZAOB'=ZB'OC+ZAOC=30°+60°=90°.

8'在y轴上.

连接AC,交y轴于点AT,则ACLOB',即AC垂直于y轴.

因BC也垂直于y轴，

所以，点3、C、M'、A位于同一条直线上，

答案第4页，共11页

/.点的坐标为（0,2后）.

设03与AC相交于点M,自M点作垂直于x轴，垂足为点D.

则DM为AOBE的中位线，

AMD=-BE=^3,OD=-OE=3,

22

，点〃的坐标为（3,6）.

因为点M、”的坐标是（0,2括）、（3,⑹，

设直线的解析式为：y=kx+b,

\2y/3=b

<

"石=3Z+b

b=2白

求得：6

[K-3

直线的解析式为：y=-旦x+2后.

3

因点/、是菱形Q4BE与菱形0ABe的中心，

故直线把六边形。4BC8A的面积分成相等的两部分，即就是满足的条件的直线

I.

综合①②两种情况，直线/的解析式为：>=氐或>=一比尤+2囱，

3

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形、一次函数的解析式、直角三角形中线性质、三角形中位线

性质等知识点，解题的关键是根据对称特性作出正确的辅助线.

5.y=3x+3

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，中线均分三角形面积是解答本题的关

键.根据题意，先求出线段的中点坐标，再利用待定系数法求出直线/的解析式即可.

【详解】解：线段A8的中点坐标为（TO）,

设直线/的解析式为丫=去+6,

J6=3

\-k+b=0,

答案第5页，共11页

b=3

解得

k=3'

.,•直线/的解析式为：y=3x+3.

故答案为：y=3x+3.

6.2

【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质.理解该直线必过点G是解题的关

键.

连接AC和02,交于点G.利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合

题意得到，=依-4必过G点，代入G点坐标运算求解即可.

【详解】解：如图，连接AC和02,交于点G.

:四边形OABC是平行四边形，

；.G为AC中点，

：A（5,0）,C（l,4）,

即G（3,2）.

・.,y=Ax-4平分平行四边形Q4BC的面积，

y=卮-4必过G点，

・・・2=3左—4,

解得：k=2.

故答案为：2.

7.9

7

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、平行四边形对称中心的性质，熟知“过平行四

边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键.

根据将ABC0的面积分成相等的两部分，知直线丫=履-1经过平行四边形的对称中心，根

据线段的中点坐标公式，得到平行四边形对称中心坐标为］然后把代入

>=日-1求解得出左的值即可.

答案第6页，共11页

【详解】解：：四边形。ABC为平行四边形，直线>=区-1将ABCO的面积分成相等的两

部分，

直线>=履-1经过平行四边形的对称中心，即AC的中点，

•••4(6,0),C(l,3),

6+10+373

平行四边形的对称中心坐标为

2'22,2

；•把巳方代入y—得:1=^-1,

'^乙乙)乙乙

解得：k=：.

故答案为：—

8.>=一％+2或丁=——x+1

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式等，由

y=-gx+2得点4(4,0),8(0,2),然后分①当直线经过点4(4,0)和08中点(0,1)时,

②当直线经过点3(0,2)和Q4中点(2,0)时，两种情况讨论即可，掌握待定系数法是解题的

关键.

【详解】解：由〉=一;x+2得，

当尤=0时，y=2；当y=o时，x=4；

.•.点A(4,0),5(0,2),

...过VA08的顶点A或B,且把VA03分成面积相等，

①当直线经过点A(4,0)和OB中点(0,1)时，

设解析式为丁=履+匕，

，解析式为y=-二％+1；

4

②当直线经过点3(0,2)和Q4中点(2,0)时,

设解析式为，=尤了+仿，

答案第7页，共11页

2匕+4=0&=—1

解得:

4=2

二解析式为y=-x+2,

故答案为—+2或-*1.

9.(1)5(0,3),y=2x+3

(2)v=-4.r+3

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标,三角形的中线

性质.

(1)根据待定系数法求一次函数解析式即可；

(2)先求出点4、。的坐标，以及的中点坐标，然后利用待定系数法求解即可.

【详解】(1)解：在直线4中，令尤=0,得y=3,即B(0,3),

设直线6为丁=履+6,根据题意得：

-k+b=l

[b=3'

[k=2

解得：,°,

[b=3

即直线6的解析式为＞=2工+3.

(2)解：在直线乙中，令y=0,解得x=3,即4(3,0),

在直线4中，令y=o,得即。[一50)，

AD中点的横坐标为3+1一213,

-2-~4

AO的中点坐标为(jo],

由题意知直线4经过的中点和点B(0,3),

设直线4的表达式为'="a+3,

代入[I,。]得。小+3,

答案第8页，共11页

解得Ml=-4,

...直线4的表达式为y=Tx+3.

10.⑴y=3尤-18

(2)16

-8m+24(0<m<3)

(3)乙=

8m-24(3<m<6)

⑷，〃[或，哼?

【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质，熟练的求解函数解析式，利用正方形的

性质表示线段的长度是解决问题的关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)求得正方形尸QCD的边长，即可求得正方形尸的面积；

(3)分当0(机<3和3<6时，两种情况讨论，用切分别表示出PQ的长，利用正方形的

周长公式即可求解；

54189

(4)当0<m<3时，用'"表示出S梯物郎°=《S正方形F2CD=(6-2加)~,根据题意列

出方程，即可求解；当3<6时，同理求解即可.

【详解】(1)解：：Q4=6,.•.点4(6,0),

设直线AB的函数解析式为>=kx+b,

.[6k+b=Q

'\5k+b=-i/，

k=3

解得

b=-lS

・・・直线AB的函数解析式为尸3x-18；

答案第9页，共11页

：.OP=AQ=5f

：.AP=OQ=6-5=lf

：.FQ=6—2x1=4,

・•・正方形PQCD的面积为42=16,

故答案为：16；

(3)解：当0<加<3时，