2024年高考数学一轮复习讲义：集合（习题含解析）

麦烹集合与常用逻辑用语、不等式

第1节集合

考试要求1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图

形语言的基础上，用符号语言刻画集合2理解集合间包含与相等的含义，能识别

给定集合的子集3在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并

集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集5能使用Venn

图表达集合间的基本关系与基本运算.

I知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.元素与集合

⑴集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为©和生

⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3

中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作(或B^A).

(2)真子集：如果集合AG3,但存在元素且ML,就称集合A是集合3的

真子集,记作AB(或BA).

(3)相等：若AG3,且%A，则A=B

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集

符号表示AUB

合A的补集为[以

©

图形表示u©

AUBAAB

集合表示{小GA,或XWB}{x\x^U,且依A}

4.集合的运算性质

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BHA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)an")=0,AU([uA)=U,[u")=A.

常用结论

1.若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2〃个，真子集有2〃一1个，非空子集

有〃一1个，非空真子集有2〃一2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.AC3=AnB=A=AUB=B^uA^[uB.

4.[u(An3)=([以)U([四)，[U(AU5)=([以)n([曲).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){x|y=x2+1}={y|v=^+1}={(x,y)|y=f+l}.()

(3)若ie{f,x},则x=-1或1.()

(4)对于任意两个集合A,B,(AnJB)G(AUJB)恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)错误.空集只有一个子集.

(2)错误.{尤[y=4+l}=R,{y|y=x2+l}=[l,+°°),{(无,y)|y=x2+1}是抛物线

j=x2+l上的点集.

(3)错误.当x=l时，不满足集合中元素的互异性.

2.(易错题)已知集合4=也＞=，},B={x\y=y^+l},则A03=()

A.[0,+°°)B,[—1,+00)

C.[-L0]D.（—1,0）

答案A

解析易知A=[0,+°°）,B=[—1,+°°）,故AC3=[0,+0°）.

3.（易错题）已知集合4={m+2,2m2+m）,若3©A,则机的值为（）

3

A.lB.—2

C.1或一,D.—1或1

答案B

解析当机+2=3时，m=l,此时，m+2=2m2+m=l,故舍去；

当2机2+机=3时，解得加=—|（机=1舍去）.

4.（2021.新高考I卷）设集合A={x[—2<x<4},B={2,3,4,5},则408=（

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4}

答案B

解析因为A={R-2<无<4},B=[2,3,4,5},所以An3={2,3},故选B.

5.（2021.新高考H卷）设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,

4）,则AH（[出）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

答案B

解析由题设可得[出={1,5,6）,

故An（[u3）={l,6}.

6.若集合A,B,。满足ABU,则。=（）

A.AU（[附B.3U（[以）

C.An（UB）D.3n（[M）

答案B

解析由题意，A3U,作出韦恩图如图所示，所以3U（[以）=0,故选B.

I考点突破•题型剖析

考点一集合的基本概念

1.(2020•全国III卷)已知集合A={Q,y)\x,y©N*,y^x},B={(x,油+y=8},

则APB中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析AnB={Q,y)|x+y=8,x,y@N*,且y》x}={(l,7),(2,6),(3,5),

(4,4)).

2.已知集合A=}x©Z,且上©z],则集合A中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C

3

解析V--©Z,・..2—x的取值有-3,-1,1,3,

2—x

又.."ez,值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4,故选C.

3.设集合A={—1,0,1,2,3,4},3={x|xGA且2xGA},则集合3为.

答案{0，1，2}

解析由题意知，,.♦0GA且2X0GA,1GA且2X1GA,2GA且2X26A,故

B={0,1,2).

4.设a,bGR,集合{1,a+b,a}=]。，p小则后侬+廿024=

答案0

解析由题意知

因为{1,a+b,a}=：0,5，j.

b

所以。+Z?=0,则£=—1，

所以a=~\,b=\.

故居023+户024=—1+1=0.

感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集

合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什

么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，栗注意检验

集合中的元素是否满足互异性.

考点二集合间固基本关布

例1(1)已知集合A={xM—2x—3W0},集合5={如一1|W3},集合C=

1x—4

卜1节woj'则集合A'B,C的关系为()

A.BQAB.A=B

C.CQBD.AQC

答案D

解析因为％2—2x—3W0,即(x—3>(x+l)W0,所以一1WXW3,则A=[—1,3]；

又|x—1|W3,即一3W无一1W3,

所以一2WxW4,则―4]；

jc—4

因为FW0,所以一5<XW4,则c=(—5,4],所以AQB,AQC,故选

人IJ

D.

(2)已知集合A={x|—2W无W5},3={x|m+1W尤W2m-1},若BQA,则实数m

的取值范围为.

答案(一8,3]

角星析\'BQA,

.,.若3=0,则2加一l<m+l,解得机<2；

(2m—1三根+1,

若B手0,则{冽+1>—2,解得2W/nW3.

[2m—1W5,

故实数机的取值范围为(-8,3].

感悟提升1.若3GA,应分3=0和3W。两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区

间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对

参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

训练1⑴已知集合4=心£园龙2—3尤+2=0},B={xeN|0<%<5},则满足条件

AQCQB的集合C的个数为.

答案4

解析由题意，可得A={1,2},B={1,2,3,4).

：.C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4),共4个.

(2)若集合A={1,2},B={x\x2+mx+l=0,x@R},且3GA,则实数机的取值

范围为..

答案[—2,2)

解析若3=0,则/=/一4<0,解得一2<机<2,符合题意；

若1©B,则F+机+i=o,解得机=—2,此时3={1},符合题意；

若2CB,则2?+2m+1=0,解得机=—|,此时3=。，不符合题意.

综上所述，实数机的取值范围为[—2,2).

|考点三集合的运算

例2(1)(2021・全国乙卷)已知集合5="|5=2〃+1,〃©2},7={"=4〃+1,〃©2},

则SAT=()

A.0B.SC.TD.Z

答案c

解析法一在集合T中，令冏=网上©Z),则/=4冏+1=2(24)+1(左©Z),而集

合S中，5=2H+1(HEZ),所以必有TGS,所以SAT=T,故选C.

法二S={…，一3,-1,1,3,5,…},T={…，一3,1,5,…},观察可知，

TQS,所以SAT=T,故选C.

(2)设全集为R,集合A={y|j=2Sx<l},B={力=双=1}，则An(CRB)=()

A.{A|-1<X<2}B.{.Y|0<X<1}

C.0D.{x|0<尤<2}

答案B

解析由题意知A={y|0VyV2},3={x|xW—1或x》l},所以[R3={x|-1Vx

<1},所以An([R3)={x[0Vx<l},故选B.

(3)集合加:口壮%2—x—IVO},N={x\2x+a>0},U=R.若MA([加=0,则a

的取值范围是()

A.(l,+°°)B.[l,+0°)

C.(—8,1)D.(—8,1]

答案B

解析易得M={.X\2X2-X-1<0}=[r|-1<x<ij.

*.*N={.x\2x+a>0}=-皆，

•,」uN=k|xW—

由AfC（「uN）=0,则一六一g,得心1.

感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究

其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还

是空心.

训I练2（1）（多选）（2022・潍坊质检）已知集合A={x|—1VxW3},集合3=也间W2},

则下列关系式正确的是（）

A.An5=0

B.AU3={x|—24W3}

C.AU「RB={X|XW—1或x>2}

D.An[RB={x[2<xW3}

答案BD

解析VA={.x|-l<x<3},

3={x||x|W2}={x|-2WxW2},

/.AnB={x|-l<x<2},A错误；

AU3={x|-2WxW3},B正确；

,.♦[RB={X|X<—2或x>2},

.,.AU[R3={X|X<—2或x>—1},C错误；

AnCRB={.x|2<x^3},D正确.

（2）（2021•邯郸二模）已知集合A={XGZ|X2—4X—5<0},B={x\4x>2m},若AA3

中有三个元素，则实数机的取值范围是（）

A.[3,6)B,[l,2)C.[2,4)D,(2,4]

答案C

I

解析集合A={x©Z*—4x—5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4A>2m}=|%k>y|,

m

•.•APB中有三个元素，.\l^y<2,

解得2Wm<4.

拓展视野/Venn图的应用

在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的

交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表

示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.

例(1)(2020.新高考全国I卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学

生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜

欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

答案C

解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%—x)+

(82%—x)+x=96%,解得尤=46%.故选C.

(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两

个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加

数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学

和化学小组的有人.

答案8

解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A,B,C,同时参

加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.

(26-6-x)\

A数学

B

(15—4—6)WC化学

V物理y(i3-4-%)

由全班共36名同学可得(26—6—x)+6+(15—4—6)+4+(13—4—尤)+%=36,

解得尤=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.

I分层训练•巩固提升

05基础里固

1.(2021.重庆三模)若集合A={xGN|(x—3)(x—2)<6},则A中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析A={x£N|.f-5x<0}={xeN|0<^<5}={l,2,3,4}.共4个元素.

2.(2021•北京卷)已知集合4="|—1<%<1},3={x|0WxW2},则AUB=()

A.{x|0Wx<l}B.{x|—l<xW2}

C.{x|l<xW2}D.{.r|0<x<l}

答案B

解析由集合并集的定义可得AU3={x[—1<XW2},故选B.

3.(2021•天津卷)设集合A={—1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},则(AnB)UC

=()

A.{0}B.{0,1,3,5}

C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

答案C

解析VA={-l,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},：.AQB={1},：.(AHB)UC

={0,1,2,4).

4.设集合“={**=》},N={邛gxWO},则MUN等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(—8,1]

答案A

解析'：M={0,1},N={x[O<xWl},

...AfUN={x|OWxWl}.

5.设集合4={（尤,y）\x+y=l},B={（x,油一尸3},则满足的集合M

的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

答案C

=

卜x+尸y=3l,,得Ix2,

解析由,

J=一1，

.\AnB={(2,-1)}.

由知〃=0或”={(2,-1)}.

6.(2021.上海卷)已知集合4={%|%>一1,x£R},8={尤层一x—220,xGR},则

下列关系中，正确的是（）

A.AQBB.[RAG[R_B

C.AnB=0D.AUB=R

答案D

解析'-'A=(-1,+°°),3=(—8,-1]U[2,+00),

/.AUB=R,D正确，其余选项均错误.

7.（2022・长沙质检）已知集合A={1,3,a},B={1,屋一。+1},若3GA,则实

数。=（）

A.-1B.2

C.-1或2D.1或一1或2

答案C

解析因为3GA,

所以必有〃+1=3或〃+I=Q.

2

①若〃2一〃+1=3,则a—a~2=0,解得a=~l或a=2.

当〃=-1时，A={1,3,-1},B={1,3},满足条件；

当〃=2时，A={1,3,2},B={1,3},满足条件.

2

②若a—〃+1=〃，贝1］届—2a~\-1=0,解得〃=1,

此时集合人={1,3,1）,不满足集合中元素的互异性，所以。=1应舍去.

综上，〃=一1或a=2.

8.(2021•河南名校联考)已知集合4={%|〉=1082。2—8%+15)},3={小<工<。+1},

若403=0,则实数a的取值范围是()

A.(—8,3]B.(—8,4]

C.(3,4)D.[3,4]

答案D

解析易知A={x|f—8x+15>0}={x|xV3或x>5},

。三3,

由AnB=0,可得1-LU所以3WaW4.

4十1W5,

9.若全集。=&A={x|-lWxW6},B={x\0<x^S},则图中阴影部分所表示的

集合为.

答案{x|0<xW6}

解析由题图知阴影部分所表示的集合为

AnJB={.x|0<x^6}.

10.已知集合A={x[—5<尤<1},B={x\(x—m)(x—2)<0},若ACB=(—1,〃)，

则m+n=.

答案0

解析•••AnB=(—1,〃)，

・・Hl=1972=1,

/.m+n=0.

11.已知集合A={1,3,y[m},B={\,m},若BNA,则机=.

答案0或3

解析因为所以加=3或加=吊^.即m=3或加=0或根=1,根据集合中

元素的互异性可知加W1,所以加=0或3.

12.已知集合A={x[l<x<3},B={x\2m<x<l-m],若An3=0,则实数M的

取值范围是.

答案[0，+8)

解析①当2机三1一机，即加三|•时，B=%符合题意;

②当即机v1•时，需满足

1f1

m<T,

3或<3所以OW加V,

1—m^l、2加23,

综上，实数机的取值范围是[0,+8）.

|B级敝社

13.（多选）（2021・济宁模拟）若集合A={x|sin2x=l},B=1y|y=^+y,左wz],则

下列结论正确的是（）

A.AUB=BB.[的[RA

C.AnB=0D.[RAG[R3

答案AB

解析A={x|sin2x=l}

=卜仅=%兀+去

4左兀+兀

~4-,止Z

3=卜产壮黑左©z]

,!12E+兀，]

=।小=—4—，左©z卜

显然集合

4%I+兀I2左兀+兀I

—4—,左CZ3小左©Z,

所以AGB,则AUBuB成立，所以A正确.

[R3G[RA成立，所以B正确，D错误.

AHB=A,所以C错误.

14.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学

家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金

分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”

的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，

是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M