2024-2025学年人教版七年级数学上册专项复习：有理数的乘法与除法（7个知识点+3种题型+过关检测）（学生版）

第05讲有理数的乘法与除法（7个知识点+3种题型+过关检测）

思维导图

知识点1.有理数的乘法法则（重点）知识点6.有理数的乘除混合运算（重点）

知识点2.倒数的概念知识点7.有理数的加减乘除混合运算

知识点3.有理数的乘法运算律（难点）*有理数的乘法与除法题型一：倒数（共7小题）

知识点4.多个有理数相乘（难点）题型二：有理数的乘法（共9小题）

知识点5.有理数除法法则（重点）题型三：有理数的除法（共17小题）

知识梳理

知识点1.有理数的乘法法则（重点）

有理数的乘法

（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

同号得正异号得负

IIJ厂

如：(一3)X(-2)=+(3X2)；(+3)X

-L___1亍

绝对值相乘1一C

绝对值相乘

（2）任何数同零相乘，都得0.

知识点2.倒数的概念

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数.

11

一般地，a'~=1（aWO）,就说a（a#0）的倒数是最

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要.倒数是伴

随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

知识点3.有理数的乘法运算律(难点)

乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)；

乘法分配律：(a+Z>)Xc—aXc+bXc.

知识点4.多个有理数相乘(难点)

多个有理数相乘的法则：

①几个不等于o的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积

为正.

②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

(4)方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.

知识点5.有理数除法法则(重点)

1.有理数除法法则一：除以一个不等于o的数，等于乘这个数的倒数.

用字母表示：a-^rhra•W0).

b

2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0

除以任何一个不等于0的数，都得0.

同号得正一号得负

(-8)+(-4)=[+](1-814-1-41)=29+(-3)=0(191+1-31)=-3

两数相除t两数相除t

绝对值相除绝对值柏除

方法指引:

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(2)有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相

除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除混合运算时一定注意

两个原则：①变除为乘，②从左到右.

知识点6.有理数的乘除混合运算(重点)

有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.

注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算

知识点7.有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算顺序

在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到

右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.

题型归纳

题型一：倒数（共7小题）

1.（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是（）

A.2024B.-2024C.」一1

20242024

2.（2024•无锡模拟）下列各对数中，互为倒数的一对是（）

和-和-工和，

A.44B.-2C.-3D.0和0

23

3.（2024•香坊区校级模拟）倒数等于本身的数是（）

A.0B.1C.-1±1

4.（2。24春.郸城县月考）若力〃是-3的倒数'则”=

5.（2。23秋•临沐县校级月考）阅读下列材料，计算：5。4-］沙

解法1思路：原式二50--50-+50+—=50x3-50x4+50xl2；对吗？答：；

3412

解法2提示：先计算原式的倒数，（!―』+-L）+50='x-L-』x-L+-Lx-L=—匚，故原式等于300.

34123504501250300

（1）请你用解法2的方法计算：（-—）^（---+---）

3031065；

27777Q77

（2）（1士—,—，）+（—'）+（一，）・（1±—'—'）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！

4812884812

6.（2023秋•姜堰区校级月考）列式并计算:

（1）求-5的绝对值与10的相反数的和；

（2）求5^与-3倒数的差.

32

7.（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数机所表示的点与-1表示的点距离4个单位，a,6互为相反数，且都

不为零，c,d互为倒数.

求：2。+26+（〃+6一301）一冽的值・

题型二：有理数的乘法（共9小题）

8.（2024•山西模拟）计算2x（-3）的结果是（）

A.6B・1C.—1D.—6

9.（2023秋•舞阳县期末）已知|x|=4,|y|=5,且孙＜0,贝！Jx+y的值等于（）

A.9或-9B.9或一1C.1或一1D.一9或-1

10.（2023秋•青山湖区校级期末）绝对值小于2010的所有整数的积是—.

11.（2023秋•泉港区期末）计算：-2x（-|）=—.

12.（2023秋•大化县月考）找规律填空：1x1=1,11x11=121,111x111=12321,1111x1111=1234321,

111111111x111111111=.

13.(2024•大同开学)字母作为代数符号的一种工具，其本质就是“一般化”的表达和推理.请你根据下面不同的

数量关系，解决问题.(。与人均为非0自然数)

(1)如果"6=5…3,当6最小时，”是.

(2)如果。=6+1,则。与人的最小公倍数是.

(3)如果一a=—b,贝!|q：6=:.

75

(4)下面是用黑色和白色正方形拼成的图形：

rrn口口i口□口口□口।

hTh门口III□II门口口I

①如果中间是6个黑色正方形，则四周共需要一个白色正方形.

②如果中间是•个黑色正方形，则四周共需要一个白色正方形.

14.(2023秋•射阳县期末)若定义一种新的运算“*”，规定有理数“*6=4"，如2*3=4x2x3=24.

(1)求3*(-4)的值；

(2)求(-2)*(6*3)的值.

15.(2023秋•中原区期末)学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题.

计算一暇xJ9),下面是两位同学的解法：

3231

小方：原式=-吟9一=-179-

18"IF

小杨:原式=(19+3)x(-9)=一19x9一*x9=-179g.

(1)两位同学的解法中，谁的解法较好?

(2)请你写出另一种更好的解法.

16.（2023秋•淮北期末）阅读理解:

计算a+g+；+；）x（m+g）_q+g+g+：+g）x（g+g+；）时,若把（u；+»与分别各看作一

个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度.过程如下：

解：设（WL）为/，d+W）为2,

2342345

则原式=5a+4)-Z(l+5)=5+A8-Z-Z5=5-/=g.请用上面方法计算:

"1111r,11111r111111111

①(1+—+—+—+—+-)(-+-+-+-+-+-)-(Z11+-+-+-+-+-++-+—+-+-)

23456234567234563456

+L.+-L)-(1+LL,+，1

(2)(1+-+-...+H—...+

233n+l23n+\3n

题型三：有理数的除法（共17小题）

17.（2024•张家口二模）计算—8+（-2）x（-；）的结果是（）

A.8B.-8C.2D.-2

1

18.（2023秋•沙市区期末）计算9+（-3）x3的结果为（）

A.-1B.1C.9D.-9

19.（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算—8+。时，误将看成“+”而算得结果是—12,贝（l-8+q的正

确结果是（）

A.3B.2C.-3D.-2

20.（2024•瑞安市校级模拟）计算（-6）+2的结果是（）

A.3B.-3C.-4D.-12

21.（2024•城西区校级开学）计算1+（-3+时，除法变为乘法正确的是（）

A.lx（-3y）B.1x（+—）C.1x（+—）D.1x（-石）

22.（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（）

A.-7+7=1B.7-（--）=-—

749

33

C.-36«9）=4D.（--）^（--）=2

23.（2024春•闵行区期中）5-（-1）x5=.

24.（2023秋•枣阳市期末）计算：（-125}+（-5）=.

25.（2023秋•济南期末）计算：（-g）x（-6+

26.(2023秋•大武口区校级月考)阅读下面解题过程并解答问题:

计算：(T5)+(-：x•

236

解：原式=(-15)+(----)x6第一步，

6

二(—15)+(—25)第二步,

=-3第三步.

5

(1)上面解题过程有两处错误：

第一处是第一步，错误原因是—；

第二处是第一步，错误原因是—；

(2)请写出正确的解题过程.

27.（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下：

任务一：自学阅读材料.我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等

数对”.即：如果=那么a与b就叫做“差商等数对"，记为（d6）.例如：4一2=4+2,|-3=|^3,

则称数对（4,2）,（1,3）是“差商等数对”.

任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题：

（1）下列数对中，是“差商等数对”的是—；（填序号）

①g,-i）；

②（一,5）;

4

（2）若（根,6）是“差商等数对”，求出7〃的值；

（3）若（2a+6-6,9）是“差商等数对"，求2a+6的值.

28.（2024春•闵行区期中）计算：、X（-24）-1L

577

29.（2023秋•顺义区期末）计算：（-1.5）xg+（_|）x：.

1q

30.(2023秋•大兴区期末)计算：25・5x(——)+(——).

54

31.(2。23秋•昌邑区校级期末)叱+「纸(4).

32.(2022秋•石楼县期末)请你先认真阅读材料:

*楮，1、，2112、

计算(——)+(-----+-----)

3031065

解：原式的倒数是(2-，+，=)十(_，)

3106530

二；x(-30)x(-30)+：x(-30)-，x(-30)

31065

=-20-(-3)+(-5)-(-12)

=—20+3—5+12

=—10

故原式等于一工

10

再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：(-—

33.（2023秋•成都期末）【初探】

从1〜9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为a,b,由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相

加的和除以11,所得的商记为尸（。,6）.如：o=l,6=2,可以组成12,21,它们的和为33,因为33+11=3,所以

"（1,2）=3.

（1）尸（2,7）=；

（2）尸（a,6）一定是整数吗？请说明理由；

【拓广】

从1-9这九个数字中任选三个不同数字，记为小，n,p,由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位

数相加的和除以22,所得的商记为G（加，n,p）.

（3）若G（〃?，n,p）=3p,且"=7〃+2,求p-"7的值.

过关检测

—■.选择题（共10小题）

1.（2024•陕西模拟）计算2x（-3）的结果是（)

A.-6B.——C.-5D.6

3

2.（2024•金安区校级开学）下列各组的两个数互为倒数的是（)

3?1，和*'和

A.三和一B.—和7C.D.0.5

557542

3.（2024•周至县一模）计算：8+（-4）=（)

A.2B.-2C.32D.-32

（2023秋•利川市期末）计算：（-1）x3-1

4.x（-3）的结果是（)

A.-9B.-1C.3D.9

5.（2023秋•东莞市期末）已知数a,b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（)

ba

i.ii.i

-1012

A.ab>0B.a-b>0C.a+b<0D.|«|<|61

6.（2023秋•信州区期末）下列说法正确的有（）个.

①相反数是它本身的数是0;

②零除以任何一个数都为零；

③绝对值是它本身的数是正数；

④倒数等于本身的数有±1;

⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负.

A.2B.3C.4D.5

7.（2023春•雁峰区校级期末）已知|0|=1,8是-2的倒数，则a+8的值为（）

8.（2022秋•广州期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若-1<加<0,则

m<m2<—;③若a+b<0,K—>0,贝！J|a+261=-a-26；④若加是有理数，贝！11机|+机是非负数；⑤若

ma

c<0<a<b,则（a-6）（6-c）（c-a）>0;其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2022秋•井研县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1,若它是偶数，则除以2,按此规则经过若

干步的计算最终可得到L这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的.例如：取自然数5.经过下

面5步运算可得1,即：如图所示.如果自然数“恰好经过7步运算可得到1,则所有符合条件的”,的值有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

10.（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是（）

A.同为正数B.同为负数C.一正一负D.无法确定

二.填空题（共6小题）

11.（2023秋•太原期末）计算（-5）x2的结果是.

12.（2024•安州区开学）若一个数的绝对值与这个数的商为-1,那么这个数为—.

13.（2023秋•德清县期末）若x,y,z都是有理数，且x+y+z=0,xyz<0,则2-上土£一土的值

|z|1^1|y|

是—.

14.（2023秋•青龙县期末）计算：-1+LX（-9）=

9

15.（2023秋•澄海区期末）若根与〃为倒数，则加/-（”+2023）的值为一.

16.（2023秋•泗县期末）已知非零自然数a,b,c,d都不超过4,若其中有两个相同，并且

（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=900.贝!|a+6+c+d=.

三.解答题(共8小题)

17.(2023秋•平昌县校级月考)计算：(-45)+吟)+(_令］.

18.(2023秋•东莞市校级月考)计算：36^(-4)x(-1).

19.(2023秋•博罗县校级月考)计算：

413

①(-5)x6x(-w)xa;(2)-9-(-0.1)-(-3-).

20.(2023秋•金堂县校级月考)计算：

(1)(-4)x(+3)；(2)|x(-1)；

⑶0+(-》；(4)

21.(2023秋•南城