陕西省西安市某中学2024-2025学年高考备考冲刺阶段数学试题（含解析）

陕西省西安市第三十八中学2024-2025学年高考备考冲刺阶段数学试题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数g(x)=/(2x)+%2为奇函数，且/(2)=3,则/(—2)=()

A.2B.5C.1D.3

22

2.已知双曲线「：=—4=1(。〉0，b〉0)的右焦点为F,过原点的直线/与双曲线「的左、右两支分别交于A,3

a~b~

两点，延长BF交右支于C点,若A广，尸瓦|b|=3|EB|,则双曲线「的离心率是()

3.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

4.在四面体P—ABC中，6c为正三角形，边长为6,PA=6,PB=8,PC=10,则四面体P—ABC的体

积为()

A.8VilB.8A/10C.24D.16百

尤2v2

5.如图所示，已知双曲线C:二-谷=1(。>0/>0)的右焦点为P，双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称

ab

点为3,满足NAFB=120。，且|B7”=2|AF|,则双曲线。的离心率是().

A.昱B.立C.y/3D.V7

32

6.下列不等式成立的是()

11][

A•吗〉C杉14mC.1。g叫5D.

7.如图，平面a与平面夕相交于BC,ABcza,CDu/3,点AeBC,点、D任BC,则下列叙述错误的是（）

A.直线AD与BC异面

B.过AD只有唯一平面与BC平行

C.过点。只能作唯一平面与垂直

D.过AD一定能作一平面与垂直

8.已知集合4={—2,—1,0,1,2},5={X|X2-X+2>0},则4口台=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

9.若复数，满足目=1,则|z-z]（其中i为虚数单位）的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知集合U=R,A={y|y>0},3=11=五+1},则4口加3=（）

A.[0,1）B.（0,+8）C.（1,+℃）D.[1,+<»）

11.已知三棱柱ABC-的所有棱长均相等，侧棱，平面ABC，过Ag作平面a与平行，设平面a与

平面ACGA的交线为/，记直线/与直线A民BCCA所成锐角分别为。，/3,7,则这三个角的大小关系为（）

B.«=/?>/

C./>/?>«D.a>/3=y

⑵函数，在［F6］的图像大致为

13.在（2-x）5的展开式中，彳3项的系数是（用数字作答）.

y-2<0

14.设X、y满足约束条件卜一，+220,若z=2x+y的最小值是—1,则的值为.

y+m>0

10

15.已知（1+2x）=4+qx+%x~+•,,+（210x+4］x”,则%—2a,+•,,—lOa1。+1.

16.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并

且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出

院患者的人数为,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，直线二=2二一］与抛物线二；=2二二（二>0）交于二.二:两点，直线二=三与二轴交于点二，且直线二=二

恰好平分二二二二；

（1）求二的值;

・L-

（2）设二是直线二=二上一点，直线二二;交抛物线于另一点二：，直线二；二=交直线二=三于点二，求二二•二二的值.

18.（12分）已知数列｛。“｝满足：21-O1+22-a,+23-OjH---P2"-a"=+2对一切“eN*成立.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）求数列1---1的前几项和S“.

、4,册+2>

19.（12分）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2cos3=幺於.

C

（1）求角。的大小；

（2）若△ABC的面积为±8,求△ABC的周长的最小值.

2

20.（12分）已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，数列他,｝为等差数列，且4=%=1,仇=%+1，7.

（1）求数列｛%｝与也｝的通项公式；

（2）求数列｛anbn｝的前n项和An；

⑶设S”为数列｛硝的前几项和，若对于任意“eN*，有S,+；=/"”，求实数f的值.

221

21.（12分）已知椭圆。：=+3=1（。〉6〉0）的短轴长为2班，离心率e=7,其右焦点为尸.

ab2

（1）求椭圆。的方程;

（2）过尸作夹角为:的两条直线/14分别交椭圆C于P，Q和M，N,求^^的取值范围.

22.（10分）在直角坐标系x0y中，/是过定点P（4,2）且倾斜角为c的直线；在极坐标系（以坐标原点。为极点,

以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为夕=4cos"

（1）写出直线/的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C与直线/相交于不同的两点M、N,求|P"|+|PN|的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由函数g(x)=/(2x)+x2为奇函数，则有g(—l)+g⑴=0=/(-2)+1+”2)+1=0,代入已知即可求得.

【详解】

g(—l)+g⑴=0n/(—2)+1+/⑵+1=0=/(-2)=-5.

故选:3.

本题考查奇偶性在抽象函数中的应用，考查学生分析问题的能力，难度较易.

2.D

【解析】

设双曲线的左焦点为F,连接5尸，AF',CF,设5F=x，则CF=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,RtACBF'

和RtAFBF'中，利用勾股定理计算得到答案.

【详解】

设双曲线的左焦点为E',连接BF',AF'，CF',

设=则CF=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,

AFLEB,根据对称性知四边形AE即'为矩形，

RfACBF中:CF*=CB?+BF",即(3九+2。7=(4x『+(2a+Xy,解得x=a；

RtAFBF，中:FF'2=BF2+BF'2SP(2c)2=a2+(3a)2,故£=故《=萼.

故选：D.

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3.A

【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙

预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙

比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

4.A

【解析】

推导出分别取3GPC的中点。,E,连结ARAE,DE,则AO，3cAE，PC,OE，3C,推导出

AEA-DE^从而AEJ_平面尸3C,进而四面体尸-ABC的体积为/_ABC=K-PBC，AE，由此能求出结果.

【详解】

解：•.•在四面体P-ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6,

PA=6,PB=8,PC=10,

:.PB2+BC2=PC2,

:.PB±BC,

分别取3C,PC的中点。，石，连结ARAE,DE,

则AD，5cAE，PC,,

且AD=V^=35DE=4,AE=V36-25=A/TT-

.-.AE1+DE1=ADT,

:.AE上DE,

\-PC[}DE=E,PCu平面「3C,DEu平面「5C,

••.AE_L平面P3C,

..・四面体P—A5C的体积为：

=-X-XPBXJBCXAE=-X-X8X6X^=8A/11.

3232

故答案为：8V11.

本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.

5.C

【解析】

—•1—--.

易得|AE|=2a,\BF\=4a,又R9=5(E3+E4),平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E,易得岫P为平行四边形，

所以|5刊一|AF|=|5尸|—|5E|=2a,又|BF|=2|Ab|,

--1—---

故|AF|=2a,\BF\=4a,FO=-(FB+FA),

222

所以。2=l(4a+16tz-2ax4a),gpc=36，

4

故离心率为e=6.

故选：C.

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立“力,。的方程或不等关系，是一道中档题.

6.D

【解析】

根据指数函数、对数函数、塞函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

,__„17T.11

对于A，*.*0<一<一,sin—<cos—,A车曰沃；

2422

对于3,=在R上单调递减，B错误;

对于C,••,log11=log23>l,logl^=log32<l,.-.log1|>logi,c错误；

223

II

对于D，...y=)在H上单调递增，D正确.

故选：D.

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和累函数的

单调性.

7.D

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线AD与共面，则A,D,B,C共面，则AB,C。共面，与ABuc,CDu分矛盾，故正确.

B.根据异面直线的性质知，过AD只有唯一平面与8C平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.

故选：D

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

8.D

【解析】

先求出集合8,再与集合A求交集即可.

【详解】

17

由己知，X2-X+2=(X-2)2+4>0,故5=火，所以4口8={-2,—1,0,1,2}.

故选：D.

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

9.B

【解析】

根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定|z-z],

即可得|z-z]的最大值.

【详解】

由忖=1知，复数Z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，

12-z[表示复数z对应的点与点（0,1）间的距离，

又复数z对应的点所在圆的圆心到（0』）的距离为1,

所以上-必=1+1=2.

故选：B

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.

10.A

【解析】

求得集合3中函数的值域，由此求得备8,进而求得AcgB.

【详解】

由y=«+121,得B=[L”），所以孰5=（—,1）,所以414产=[0,1）.

故选：A

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

11.B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，DjQ=cc1；GE1=AG，设。为AC的中点，。1为eg的中点,

由图可知过ABi且与BQ平行的平面e为平面AAD,所以直线/即为直线AQ,

由题易知，/DAB,NOjCB的补角，ND]AC分别为扇/3,y,

设三棱柱的棱长为2,

在ABAB中，9=2底AB=2,ADX=2-45,

(26Y+4-(26丫亚亚

cosZD.AB=--------------——=——，.=cosof=——；

2x2x261010

在AO]5C中，OiB=&i,BC=2,0©=加,

cosNOQ」6)’”(盘匚…也

2x2x7?1010

在AD/。中，CD】=4,AC=2,g=2亚,

小“2小V5

2百55

cosa=cos§<cosy,:.a=/3>y.

故选：B

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

12.B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】

设y=/(%)=2十，贝0/(_刈=2(一X)3=一—"二=_/(%),所以/(%)是奇函数，图象关于原点成中心对称,

2X+2~X2T+2"2X+2~X

?x439X63

排除选项c.又/(4)=:_4〉0,排除选项口；〃6)=:_6〃7,排除选项A,故选B.

2I22I2

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基础知识、基

本计算能力的考查.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,-40

【解析】

(2—x)5的展开式的通项为：Q25-r(-x)r.

令r=3,得G25f(-x)r=—40/.

答案为：-40.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出7■值即可.

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出r值，最后求出

其参数.

14.-1

【解析】

画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由z=2x+y得y=-2x+z,显然直线过A（一加一2,-/句时，z最小，

代入求出机的值即可.

【详解】

%+y-2<0

作出不等式组\x-y+2>0所表示的可行域如下图所示:

由z=2x+y得y=-2x+z,显然当直线y=-2x+z过4（一加一2,一m）时，该直线V轴上的截距最小，此时z最小,

:.-2m—4—m=-L解得加=-1.

故答案为：-1.

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题.

15.22

【解析】

对原方程两边求导，然后令x=-l求得表达式的值.

【详解】

对等式(1+2x)"=4+qx+a2》?+,,,+两边求导j得

9

22(1+2x)i°=q+2a,xH—,+10<710%+1,令x=—1,贝!J%—2a、H-------lOq。+1Iq1=22.

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

16.161

【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列，由此可求结果.

【详解】

某医院一次性收治患者127人.

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

二从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为。5=1x24=16,

解得〃=7,

二第7+15-1=21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案为：16,1.

本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中

档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)二=」；(2)二二・二=二

【解析】

试题分析：(1)联立直线的方程和抛物线的方程｛二：二二二：，化简写出根与系数关系，由于直线二=5平分二二，，二二,

所以二二,二+二二二=C,代入点的坐标化简得4-(：+==C,结合跟鱼系数关系，可求得二=4；(2)设二式二$,=),

匚（二,2）,二〔二二；，由二，二：,二三点共线得二二二=二二二:，再次代入点的坐标并化简得二；二厂匚（匚；,+口）=76,同

理由二，二,二,三点共线，可得匚/二j一匚（口，+二。=-"，化简得□口=%，故三三・三'=二二+4=/6+4，=2。

试题解析：

（1）由（二：二二二，整理得二；-4二二+4二=0,

'口=/Q-16L>0

设一“-;,-」），则'二；一二：=』二>

（叫叫=4匚

因为直线口平分口口J匚二,，；•二二,二+二二二=。，

Ec-CL，.

所以二1+安=0,即三二1+三二1=0,

口,口：口J口：

所以4-（2+三）-m与=0,得二=4满足二>0,所以二=4

（2）由⑴知抛物线方程为二；=6二，且"七二，匚/（二序，匚：（二:五

设二乂二后），二（匚二），二（一不，由a%%三点共线得口切尸口皿，

所以三三=里，即'澧Q嵋吗-敏珥带瑜=塌-:峭，

匚.一口

整理得：二：二「U二：+二1）=-16,①

由二二：二.三点共线，可得二二：一匚匚.，-二=-；：，②

②式两边同乘二；得：二/二:二「二（二1二:+二:二；）=一）6二？

即：/二；-二（"+二：二:•）=76二.，③

由①得：口口=匚（二：+二J-L，代入③得：JtfLj.-16~-CIZCZ；+Zl3）+16J=-16~:，

即：%（二1+匚：）=二二（二；+二所以匚匚=〃.

所以二二,二二1=二匚,+4,=Jd+4=20.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与

直线相交所得.故第一步先联立匕：二三二2,相当于得到二,，,二:的坐标，但是设而不求.根据直线二=三平分二二/二二;，

有二----=C，这样我们根据斜率的计算公式匚=工三，代入点的坐标，就可以计算出二的值.第二问主要利用

三点共线来求解.

〃（3〃+5）

18.（1）〃〃=〃；（2）S——--r

〃4（n+l）（n+2）

【解析】

（1）先通过n—\求得％=1,再由〃N2得2】•q+2?.出+2,•生---2〃1•an_x=（九—2）•2"+2,和条件中的式子

作差可得答案；

11611>

(2)变形可得-cC,通过裂项求和法可得答案.

。/为+221〃n+2J

【详解】

13,1

(1)2-Gj+2-•4/2+2•H-----1-2"6“=(〃_1>2"+1+2①，

二当〃=1时，2】•q=2,

/.Q]=1,

当〃N2时，2】♦q+2?.4+2^•生+…+.%=(〃-2)2+2②,

①-②得：2"=小2〃，

二.an=n,

适合。1=1,

故=扑；

11”11)•

(2)=------------------=-----------

an-an+2n(n+2)2\n〃+2,

.2《牛扑(I加建卜\n〃+2力

zi(3n+5)

4(〃+l)(〃+2)

本题考查S〃法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.

19.(1)C=1(2)376

【解析】

。A

(1)因为2cos5——,所以b+2ccos6=26z,

C

^22_12

222

由余弦定理得b+2c•〃"=2a，化简得a+b-c=ab^

2ac

可得片+方—C?解得cosC=」,

lab22

jr

又因为。£（0,万），所以。=—.（6分）

3

（2）因为S&BC=gabsinC=¥^ab,所以必=6,

则。+622^/i石=2^/^（当且仅当a=b=时，取等号）.

由（1）得c2=a?+廿一abZ2ab—ab=ab=6（当且仅当a=b=时，取等号），解得

所以a+6+cN3"（当且仅当a=6=c=时，取等号）,

所以△?16c的周长的最小值为3痛.

2

20.（1）%=2小，"=2〃-1（2）4=（2〃-3）2+3（3）t=-

【解析】

（1）假设公差d,公比q,根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得d,q,然后利用公式法，可得结

果.

（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.

（3）计算出s,,代值计算并化简，可得结果.

【详解】

b]+2d—a、/+1

解：（1）依题意:

4+4d=axc[-7

2d=q2d=2

即《解得:

4d=/一8q=2

所以。〃二2小，bn=2n-l

n1

(2)anbn=(2n-l)2-,

An=1+3x2+5x22+…+(2〃—1)X2"T,

23,!

2An=1X2+3X2+5X2+...+(2/?-1)X2,

上面两式相减，得：

-An=1+2(2+22+…+2"T)_(2〃_1)X2"

贝i=l+2x辿竺I—(2”—1)x2”

"1-2

即—A,,=(3—2")义2"—3

所以，A„=(2H-3)-2M+3

(3)aj=227=4"-I

23,1

Sn=l+4+4+4+---+4-,

1-4"4"-l

所以s“=

1-43

由3+,二八2,得,

3

即:2：1义

3X22"-13

本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.

49-549+历

21.(1)—+^-=1；(2)

43-78-，-48-

【解析】

（1）由已知短轴长求出b,离心率求出区。关系，结合片=步+°2,即可求解;

（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线乙的方程为丁=左（尤-1）水W1，直线4与椭圆方程联立，利用相交弦长

公式求出IPQI，4斜率为:3,求出l"N|，得到黑^关于左的表达式，根据表达式的特点用判别式法求出

范围，当心4有一斜率不存在时，另一条斜率为土1，根据弦长公式，求出盥即可求出结论.

|MN|\MN|

【详解】

(1)由2。=2-\/3得6=小，又由e?==~=!得3a2=4b2，

a'a4

22

则/=4万=3,故椭圆。的方程为土+2L=1.

43

(2)由(1)知/(1,0),

①当直线乙,4的斜率都存在时，

由对称性不妨设直线4的方程为y=k（x-V）,k^l,

由2：左（［1）=（4产+3）/sk2x+4k2-12=0,

3%2+4/-12=0'）

A=144（^2+l）＞0,设？（七,%）,。（%2，%），

442-12

贝%=4/+3，%々=

442+3

12（1+^）.

则|PQI=J（1+产

3+442

上+1

由椭圆对称性可设直线。的斜率为——，

1-k

24（1+42）

贝“MN|=

7（1+左2）+2左

\PQ\12（1+42）7（1+/）+2左7（1+左2）+2左

3+4左224（1+阴-—6+8左2

l

2ZkK+

__7I_____4I___7___I___8_k_+_7_.

-

86+8左2一824+32左2

人8k+7nl,

令t=……，，则32派2—8Z+24/—7=0，

24+32左2

当方=0时，k=--,当方。0时，由K=61x32母—7)20得7-历Q7+质,所以

848-48

49-质.78k+7,49+质

-----------S—I--------------S------------

48—824+3242―48

即49-历<3<49+回,且3/

48\MN\48|MN|7

②当直线/1,4的斜率其中一条不存在时,

根据对称性不妨设设直线4的方程为y=x-1,4斜率不存在,

24

贝U|PQI=一，|MN|=工二3,

7a

49-屈49

止匕时需T^e

"78-’一

若设4的方程为y