2023年上海中考数学一轮复习：圆压轴题（原卷版+解析）

专题18圆压轴题

以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线

段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的

能力，难题分解能力，数学综合能力

在知识导图

在重点考向

考点一

定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；

考点二

定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；

考点三

定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；

考点四

定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；

考点五

动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系;

考点六

动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；

考点七

动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；

考点八

动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。

典例引登

一/__________________________________।______________L

一、解答题

1.（2022・上海嘉定•统考二模）在半圆。中，A8为直径，AC,为两条弦，且NCAO+NDAB=90。.

(1)如图1,求证：AZ)等于co；

(2)如图2,点尸在直径A8上，。歹交AC于点E,若AE=DE,求证：AC=2DF；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BC,若4尸=2,BC=6,求弦A。的长.

2.(2021春・上海徐汇•九年级统考阶段练习)已知：。。的半径为3,OCL弦A3,垂足为O,点E在。。

上，ZECO=ZBOC,射线CE与射线08相交于点尸.设AB=x,,CE=y,

(D求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；

(2)当AO斯为直角三角形时，求A3的长；

(3)如果板=1,求的长.

3.(2023春・上海・九年级专题练习)如图，等边△ABC内接于。O,P是A2上任一点(点P与点A、8重合),

连接AP、BP,过点C作尸交B4的延长线于点

⑴求/APC和ZBPC的度数；

(2)求证：△ACAf0ZkBCP；

(3)若B4=l,PB=2,求四边形P8CM的面积；

(4)在(3)的条件下，求的长度.

4.(2021秋・上海金山•九年级期末)定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1,

ZA=|ZO.

已知：如图2,AC是。。的一条弦，点。在。。上(与A、C不重合)，联结。E交射线A。于点E,联结

（1）求弦AC的长.

（2）当点E在线段上时，若ADOE与AAEC相似，求/OCA的正切值.

（3）当OE=1时，求点A与点。之间的距离（直接写出答案）.

5.（2021・上海・统考二模）如图，已知扇形的半径OA=4,NA0B=9O。，点C、。分别在半径Q4、OB

上（点C不与点A重合），联结CO.点P是弧AB上一点，PC=PD.

（2）当点。与点B重合，点尸为弧A3的中点时，求NOCD的度数；

s

（3）如果OC=2,且四边形ODPC是梯形，求产2的值.

6.（2021•上海青浦・统考二模）已知：在半径为2的扇形A03中，/403=机。（0<加4180）,点C是A8上

的一个动点，直线AC与直线08相交于点D

（1）如图1,当0<〃Z<90,A3CD是等腰三角形时，求/£>的大小（用含废的代数式表示）；

S

（2）如图2,当m=90,点C是A2的中点时，连接AB,求丁也的值；

（3）将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与所在的直线相切于点E,且OE=1时，求线段

的长.

7.（2022春.上海.九年级专题练习）已知。。的直径AB=4,点尸为弧上一点，联结如、PO,点、C为

劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结8c交出、PO于点D、E.

7

（1）如图，当cos/CBO=3时，求BC的长；

（2）当点C为劣弧AP的中点，且△即尸与AAOP相似时，求NA8C的度数；

（3）当4。=2。尸，且ABE。为直角三角形时，求四边形4。即的面积.

8.（2021•上海・九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC,ZABC=9Q°,以AB为直径的0。

（2）过点。作0"，竹，垂足为点8，设CW=y,试用/的代数式表示力

（3）设点G为。C的中点，联结OG、OD,AODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出厂的值；如不

能，试说明理由.

9.（2022・上海•九年级专题练习）如图，已知AB是半圆。的直径，AB=6,点C在半圆O上.过点A作

ADXOC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F（点F不与点B重合）.

cC

EE

AOBAOB

备用图

(1)当点F为BC的中点时，求弦BC的长；

DF

⑵设。口=刈m=丫，求y与x的函数关系式；

(3)当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长.

10.(2021・上海•九年级专题练习)如图，已知半圆。。的直径AB=10,弦CZ)〃AB,且CD=8,E为弧CD

的中点，点尸在弦C。上，联结PE,过点E作PE的垂线交弦CD于点G,交射线。2于点?

(1)当点厂与点B重合时，求CP的长；

(2)设CP=x,OF=y,求y与x的函数关系式及定义域；

(3)如果GP=GR求△EPP的面积.

EE

A0FBA0B

备用图

在模拟检测

一、解答题

4

1.(2021・上海・九年级专题练习)在RtAABC中，ZACB=90°,AC==15,sinZBAC=y.点D在边AB

上(不与点A、B重合)，以AD为半径的。A与射线AC相交于点E,射线DE与射线BC相交于点F,射

线AF与。A交于点G.

(1)如图，设AD=x,用x的代数式表示DE的长；

(2)如果点E是的中点，求/DFA的余切值；

(3)如果△AFD为直角三角形，求DE的长.

4

2.（2021.上海.九年级专题练习）如图1,在R3ABC中，90°,AB=5,cos/BAC=《，点。是边

AC上一个动点（不与A、C重合），以点。为圆心，A。为半径作。O,。。与射线A8交于点。，以点C为

圆心，C。为半径作（DC,设。4=x.

（1）如图2,当点。与点B重合时，求x的值；

（2）当点。在线段A8上，如果。C与A3的另一个交点E在线段上时，设AE=y，试求y与x之间的

函数解析式，并写出尤的取值范围；

（3）在点。的运动过程中，如果。C与线段只有一个公共点，请直接写出x的取值范围.

3.（2023春•上海•九年级专题练习）在下列正多边形中，。是中心，定义：AOBC为相应正多边形的基本三

角形.如图1,AOBC是正三角形ABC的基本三角形；如图2,AOBC是正方形ABCD的基本三角形；如图

3,AO2C为正〃边形ABCDEF…的基本三角形.将基本AO3C绕点。逆时针旋转。角度得AOB'C'.

（1）若线段8c与线段B'C'相交点。'，贝I：

图1中a的取值范围是;

图3中a的取值范围是；

（2）在图1中，求证30，=。。'

（3）在图2中，正方形边长为4,a=135。，边8c上的一点尸旋转后的对应点为P,若8'尸+0尸’有最小

值时，求出该最小值及此时的长度；

（4）如图3,当ECLOC时，直接写出a的值.

4.（2023春・上海・九年级专题练习）如图，已知圆。是正六边形&8。9£户外接圆，直径BE=8,点G、H分

别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且/GBH=60。，设CG=尤，EH=y.

（1）如图①，当直线BG经过弧CZ）的中点。时，求NCBG的度数；

（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出尤的取值范围；

图①图②（备用图）

5.（2021.上海・九年级专题练习）在圆。中，弦A2与。相交于点E,且弧AC与弧BD相等.点。在劣弧

AB±,联结CO并延长交线段A3于点足联结。4、OB.当OA=也,且tan/O48=g.

（1）求弦CD的长；

（2）如果A4?尸是直角三角形，求线段EF的长；

（3）如果SACEF=4SzLB0F,求线段AB的长.

6.（2022春.上海闵行.九年级校考期中）己知：如图，梯形ABCZ）中，AD//BC,4£>=2,AB=BC^CD=6.动

点尸在射线54上，以8尸为半径的。尸交边8C于点£（点E与点C不重合），联结PE、PC.设8P=x,

PC=y.

（1）求证：PE//DC；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)联结PZ),当时，以。为圆心半径为R的。。与。P相交，求R的取值范围.

3

7.(2021春•上海徐汇・九年级位育中学校考阶段练习)在放ZkABC中，ZBAC=90°,BC=10,tanZABC=-,

4

点。是AB边上动点，以。为圆心，为半径的。。与边8C的另一交点为。，过点。作42的垂线，交

。。于点E,联结BE、AE

(1)如图(1),当AE〃BC时，求。。的半径长;

(2)设80=无，AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(3)若以A为圆心的。A与。。有公共点。、E,当。A恰好也过点C时，求QE的长.

8.(2021・上海•九年级专题练习)已知：如图，在半径为2的扇形AOB中，ZAOB=90。°,点C在半径OB

(2)若E是弧AB的中点，求证：BE2=BO-BC;

(3)联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

3

9.(2018・上海金山・统考二模)如图，已知在梯形ABC。中，AD//BC,AB=DC=AD=5,sinB=~,尸是线

段BC上一点，以尸为圆心，以为半径的。尸与射线的另一个交点为。，射线P。与射线C。相交于点

E,设x.

备用图

(1)求证：AABPSAECP；

(2)如果点。在线段上(与点A、。不重合)，设△AP。的面积为》求y关于x的函数关系式，并写

出定义域；

（3）如果AQE。与AQAP相似，求8P的长.

10.（2017•上海徐汇・统考二模）如图，已知A48C中，AB=AC=5,BC=6,点。是边8c上的动点，以点

。为圆心，。2为半径作圆。，交AB边于点。，过点D作交边AC于点P,交圆。与点E.设

（1）当点尸与点C重合时，求尸。的长；

（2）设AP-EP=y,求y关于x的解析式及定义域；

（3）联结。尸，当。尸，0。时，试判断以点尸为圆心，PC为半径的圆尸与圆。的位置关系.

11.（2017・上海长宁・统考二模）如图，A4BC的边A8是。。的直径，点C在。。上，已知AC=6c机，BC

=8c机，点P、。分别在边AB、8C上，且点尸不与点A、8重合，BQ=k-AP（左＞0）,联接尸C、PQ.

（1）求。。的半径长；

（2）当左=2时，设ACP。的面积为》求y关于尤的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果ACP。与AABC相似，且NAC8=/CP。，求上的值.

3

12.（2021・上海・九年级专题练习）AABC中，ZACB=90°,tanB=-,A8=5,点。为边A8上一动点，以

4

。为圆心，。8为半径的圆交射线8C于点E,以A为圆心，。8为半径的圆交射线AC于点G.

（1）如图1,当点E、G分别在边8C、AC上，且CE=CG时，请判断圆A与圆。的位置关系，并证明你的

结论；

（2）当圆。与圆A存在公共弦时（如图2）,设。B=x,MN=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

（3）设圆A与边AB的交点为尸，联结OE、EF,当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆。的半径长.

13.（2020.上海.九年级统考专题练习）已知AB是圆。的一条弦，P是圆O上一点，过点。作MNLAP,

垂足为点M,并交射线AB于点N,圆O的半径为5,AB=8.

（1）当P是优弧AB的中点时（如图），求弦AP的长；

（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，|■为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由;

（3）当/BNO=/BON,且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长.

14.（2020.上海.九年级统考专题练习）如图，AD//BC,NABC=90。，A£>=3,AB=4,点尸为射线上

一动点，以P为圆心，8P长为半径作OP,交射线3C于点Q,联结3D、相交于点G,。尸与线段8。、

AQ分别相交于点E、F.

（1）如果BE=F。，求。尸的半径；

（2）设FQ^y,求y关于x的函数关系式，并写出尤的取值范围；

（3）联结PE、PF,如果四边形EGFP是梯形，求2E的长.

15.（2022・上海•九年级专题练习）如图，在RdABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点尸在边AC上（点

P与点A不重合），以点尸为圆心，山为半径作。P交边A8于另一点D,EDVDP,交边BC于点E.

（1）求证：BE=DE；

（2）若BE=x,AD=y,求y关于尤的函数关系式并写出定义域；

(3)延长交CA的延长线于点「联结2P,若ABD尸与△D4F相似，求线段AD的长.

备用图

备用图

16.(202L上海.九年级专题练习)如图已知：AB是圆0的直径，AB=10,点C为圆0上异于点A、B的

一点，点M为弦BC的中点.

(1)如果AM交OC于点E,求OE：CE的值;

(2)如果AMLOC于点E,求/ABC的正弦值;

(3)如果AB：BC=5：4,D为BC上一动点，过D作DFLOC,交OC于点H,与射线8。交于圆内点尸,

请完成下列探究.

探究一：设BD=x,FO=y,求y关于x的函数解析式及其定义域.

与点AC重合)，以上4长为半径的0尸与边的另一个交点为O,过点。作DELCB于点E.

B

CA

P各用图

⑴当0P与边BC相切时，求。尸的半径;

（2）联结成交。E于点/，设AP的长为X,2尸的长为y,求y关于X的函数解析式，并直接写出X的取值

范围；

（3）在（2）的条件下，当以尸E长为直径的OQ与。P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

18.（2021•上海・九年级专题练习）如图，已知AABC,AB=拒，BC=3,NB=45。，点D在边BC上，联

结AD,以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上，且AFLAD.

（1）设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）如果E是£＞尸的中点，求的值；

（3）联结CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.

19.（2021・上海・九年级专题练习）如图1,已知AB是。。的直径，AC是。。的弦，过。点作交。。

于点。，交AC于点E,交BC的延长线于点凡点G是跖的中点，连接CG

（1）判断CG与。。的位置关系，并说明理由；

（2）求证：2OB2=BC・BF；

（3）如图2,当/DCE=2/F,CE=3,OG=2.5时，求。E的长.

20.（2021・上海・九年级专题练习）已知。O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD_LAC,垂足为

点F.

D

DC

E.

E

AoBAoBAoB

图1图2备用图

(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长；

(2)如图2,如果E为弦BD的中点，求NABD的余切值；

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是。。的内接正n边形的一边，CD是。。的内接正(n+4)边形的一边,

求AACD的面积.

21.(2021.上海.九年级专题练习)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,DC,=5,以CD为半径的。C

与以AB为半径的。B相交于点E、F,且点E在BD上，联结EF交BC于点G.

(1)设BC与。C相交于点M,当BM=AD时，求。B的半径；

(2)设BC=x,EF=y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

(3)当BC=10时，点P为平面内一点，若。P与。C相交于点D、E,且以A、E、P、D为顶点的四边形是

梯形，请直接写出。P的面积.(结果保留H)

专题18圆压轴题

I

以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概

率会和平行线段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结

合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力

在知里导图

中重点考向

考点一

定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；

考点二

定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；

考点三

定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；

考点四

定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；

考点五

动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系；

考点六

动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；

考点七

动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；

考点八

动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。

典例引微

__________•___________________1

一、解答题

1.（2022.上海嘉定・统考二模）在半圆。中，42为直径,AC,为两条弦，且NCAO+ND48

=90°.

⑴如图1,求证：AO等于CO；

（2）如图2,点歹在直径42上，DF交AC于点E,若AE=DE,求证：AC^IDF-,

（3）如图3,在（2）的条件下，连接8C,若AF=2,BC=6,求弦4。的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)275

【分析】(1)连接2。、CD,先证NOBAn/ZMC,MffiZDCA=ZDAC,可得出AO=CD,即

可推出结论；

(2)连接跳入CD,过点。作。G_LAC于点G,则/OGA=90。，可证得DG垂直平分AC,得

出AC=2AG,再证推出AG=。凡即可得出AC=2OF；

(3)取BC中点”，连接OH、OD,贝UBH=CH=；8C=3,OH±BC,证RtAOEDqRfABHO,

推出。E=BH=3,OD=OA=5,则在MAOED中，求出DE的长，在MAA即中，可求出A。

的长.

(1)

证明：如图：连接B。、CD

AB为直径

ZADB=9Q°

：.ZDBA+ZDAB=9Q°

:ZDAC+ZDAB^9Q°

■.ZDAC=ZDBA

又ZDCA=ZDBA

：.ZDAC=ZDCA

：.AD=CD

AD=CD

(2)

证明：如图：连接8。、CD,过点。作DGJ_AC于点G

ZDGA=90°

由⑴知AO=C£>

.•.DG垂直平分AC

:.AC=2AG

AE=DE

:.ZADF=ZDAC

•・•ZDAC+ZDAB=90°

，ZADF+ZDAB=90°

:.ZDFA=ZAGD-90°

又・.・Ar>=ZM

.\AADF^ADAG(AAS)

/.DF=AG

AC=2DF

(3)

解：取5。的中点H,连接0"、0D,则5H=CH=gBC=3,OHIBC

,\ZOHB=90°=ZDFO

•.­OA=OB

.•.O”是△ABC中位线

AC=2OH

由(2)知AC=2DF

:.OH=DF

OD=OB

.../?%△OFD经RtXBHO(HL)

/.OF=BH=3

OD=OA=AF+OF=2+3=5

，在mZkO尸。中，DF2=OD2-OF2=52-32=16

在Rt/^AFD中，AD=^]AF2+DF2=722+16=275

【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关

键是第(2)问能够证明/AFD=90。，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等.

2.(2021春・上海徐汇・九年级统考阶段练习)己知：。。的半径为3,OC_L弦A3,垂足为

。，点E在(3。上，ZECO=ZBOC,射线CE与射线08相交于点尸.设AB=尤,，CE=y,

(1)求y与％之间的函数解析式，并写出函数定义域；

⑵当AOE歹为直角三角形时，求A3的长；

(3)如果毋'=1,求的长.

【答案】⑴y=j36-d,函数定义域为(0<x<6)

⑵A3=3应或3

(3)1或：

【分析】(1)过点。作OXLCE,垂足为先利用垂径定理得到==

EH^-EC=-y,然后利用勾股定理求得。£)=巫二巨，最后通过证△OABgZkEH。即可

222

得到EH=OD,求得结论；

(2)当△。£尸为直角三角形时，存在以下两种情况：①若/OFE=90。；②若NEO尸=90°分

别求解即可；

⑶分两种情况①当CF=。尸=。8-8广=2时，可得：4CFOSMOE；②当CF=OF=

OB+BF=AHt,可得：△CFOs△COE,利用相似三角形的性质即可求解.

(1)

过点。作OHLCE,垂足为反，

:在圆。中，。（?1.弦48,OH■_L弦CE,AB=x,CE=y,

BD=-AB=-x,EH=-EC^-y,

2222

:在RtAODB中，OD-+BD1=BO2,OB=3,

•/OC=OE,

：.ZECO=ZCEO,

,：ZECO^ZBOC,

：.ZCEO=ZBOC,

又,?ZODB=ZOHE=90°,OE=OB

:.△ODB妾XEHO

：.EH=OD,

3=136_尤2函数定义域为(0<x<6)

(2)

当△。所为直角三角形时，存在以下两种情况:

①若NOFE=90°,则NCOF=NOCF=45°

ZODB=90°,

：.ZABO=45°

5L'：OA=OB

：.ZOAB=ZABO=45°,

/AOB=90°

.•.△(MB是等腰直角三角形

AB=y/2-OB=3y/2

②若/EOB=90。，

则ZOEF=ZCOF=ZOCF=30°

,?/008=90。，

ZABO=60°

5L'：OA=OB

.♦.△042是等边三角形

：.AB=OB=3

(3)

①当CF=OF=OB-BF=2时,

OC29

可得：»CFOsXCOE,CE=^-=',

CF2

95

・•・EF=CE-CF=——2=-.

22

②当CF=0F=0B+BF=4时，

OC29

可得：bCFOsRCOE,CE=^—=~,

CF4

97

:・EF=CF—CE=4——=-.

44

【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键.

3.(2023春•上海•九年级专题练习)如图，等边△ABC内接于。O,尸是AB上任一点(点P

与点A、8重合)，连接AP、BP,过点C作。交出的延长线于点

(1)求NAPC和N8PC的度数；

(2)求证：

(3)若以=1,PB=2,求四边形PBCM的面积；

(4)在(3)的条件下，求42的长度.

【答案】(l)NAPC=60。，ZBPC=60°

(2)见解析

⑶,

⑷201万

9

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到/ABC=/BAC=NACB=60。，根据圆周角定理即可

得至IjZAPC=ZABC=6Q°,NBPC=ZBAC=60°；

(2)根据平行线的性质得到NBPM+NM=180。，ZPCM=ZBPC,求得/M=NBPC=60。，

根据圆周角定理得到/9^+/p。8=180。，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(3)作PHLCM于“，根据全等三角形的性质得到CM=CP,AM=BP,根据直角三角形的

性质得到PH,根据三角形的面积公式即可得到结论；

(4)过点8作8QLAP,交AP的延长线于点。，过点A作AN_LBC于点M连接。8,求

得NP8Q=30。，得至UP。根据勾股定理得到5。和A7V,根据弧长公式即可得到结论.

【解析】(1)解：・・・△ABC是等边三角形，

・•・ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

♦：BC=BC，AC=AC^

：.ZAPC=ZABC=60°fZBPC=ZBAC=6Q°；

(2)证明：•:CM〃BP,

：.ZBPM+ZM=1^0,

NPCM=/BPC,

9

：ZBPC=ZBAC=60°9

：.ZPCM=ZBPC=60°,

：.ZM=1SO°-ZBPM=18O°-(NAPC+NBPC)=180°-120°=60°,

・•・ZM=ZBPC=60°,

又TA、P、B、C四点共圆，

.,.ZB4C+ZPCB=180°,

ZMAC+ZB4C=180°,

NMAC=/PBC,

9

：AC=BC9

在△人。^和4BCP中,

/M=NBPC

</MAC=NPBC,

AC=BC

：.AACM^ABCP(AAS)；

(3)解：,:CM〃BP,

・•・四边形尸5cM为梯形，

作PH_LCM于H,

AACM^ABCP,

：.CM=CP,AM=BP,

又NM=60。，

・•・△PCM为等边三角形，

・•・CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,

在放中，ZMPH=30°,

2

:・S四边形PBCM=\~(PB+CM)xPH=-(2+3)x地=1^1；

2224

（4）解：过点B作BQLAP,交AP的延长线于点0,过点A作ANL8C于点N,连接。2,

ZAPC=ZBPC=60°,

：.ZBPQ=60°,

：.ZPBQ=30°,

：.PQ=^PB=1,

在ROB尸。中，BQ=1*_f=6

在RtAAQB中，AB=JAQ'B。=+1）。+（南=夜，

:△ABC为等边三角形，

；.AN经过圆心。，

：.BN=-AB=^,

22

AN=《AB?-BN?=—,

2

在Rt&BON中，设BO=x,则ON=叵-x,

2

.•.（争2+（?_疗"

解得：x=叵，

3

'：ZBOA=ZBCA=120°,

on国

/•AB的长度为I2。万义3=2回兀.

180—-—9~

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等

边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

4.（2021秋・上海金山•九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的

一半.如图1,ZA=yZO.

已知：如图2,AC是。。的一条弦，点。在。。上(与A、C不重合)，联结。E交射线A。

图2备用图

(1)求弦AC的长.

(2)当点E在线段。4上时，若ADOE与AAEC相似，求NZ5C4的正切值.

(3)当OE=1时，求点A与点。之间的距离(直接写出答案).

【答案】(1)8

*

⑶2^/5或—J145.

【分析】(1)过点。作OHLAC于点由垂径定理可得A8=CH=gAC,由锐角三角函

数和勾股定理可求解；

(2)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG,EG,CG的长，即可求解；

(3)分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解.

(1)

如图2,过点。作。HLAC于点

在R/AOAH中，tan/OAC=：^=：,

.,.设O/f=3x,AH—^x,

"JOH^AH^OA2,

(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±l,(x=-1舍去)，

:・0H=3,AH=4,

：.AC=2AH=8；

(2)

如图2,过点。作。H_LAC于H,过£作EG_LAC于G,

图2

,/ZDEO=ZAEC,

：.当XDOE与△AEC相似时可得：ZDOE=ZA或者ZDOE=ZACD；

•«,AD=AD

/.ZACD=-ZDOE,

2

：.ZACD^ZDOE

：.当XDOE与AAEC相似时,不存在ZDOE=NACO情况,

・••当△DOE与△AE'C相似时，ZZ)OE=ZA,

：.OD//AC,

.OP_OE

*AC-AE

•••00=04=5,AC=8,

.55-AE

••一=,

8AE

：.AE=^,

13

ZAGE=NA"O=90。,

J.GE//OH,

图2

・•・AAEG^AAOH,

.AEEGAG

**AO-OH-AH

40EGAG

u=亍=丁

5

24

EG=——

13

323272

AG=—CG=8——=

131313

EG1

在RtAC£G中，tanX.DCA-——；

CG3

(3)

当点E在线段。4上时，如图3,过点E作口3,4。于6,过点。作OHLAC于H,延长

A0交。。于连接A。，DM,

由（1）可得0H=3,AH=4,AC=8,

OE=\,

：.AE=4,ME=6,

,:EG〃OH,

：.AAEG^AAOH,

.AEAGEG

*AH-OH-5

12

•'•AG——,EG

55

24

：.GC=

22^576144_1275

:.EC=7GC+EG~25+H~5

TAM是直径,

JZADM=90°=/EGC,

又,.,NM=NC,

AAEGC^AADM,

.ECEG

•・而一耘’

12612

5_M，

10~AD

:.AD=2方;

当点E在线段A。的延长线上时，如图4,延长A。交。。于连接A。，DM,过点E作

EG_LAC于G,

_____....

图4

同理可求EG=g,AG=g,AE=6,GC=g,

256_2V145

/.EC=7GC2+EG2

255

YAM是直径，

・•・ZADM=90°=NEGC,

又,.・NM=NC,

AAEGC^AADM,

.ECEG

••而一罚’

2V14518

•二5二二，

10—AD

._18V145

••4n-----------

29

综上所述：A。的长是2行或《乒

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性

质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键.

5.（2021・上海・统考二模）如图，已知扇形498的半径。4=4,NAC®=90。，点C、。分

别在半径。4、OB上（点C不与点A重合），联结CO.点P是弧A3上一点，PC=PD.

DB

3

(1)当cotNODC=：,以CO为半径的圆。与圆。相切时，求CO的长；

(2)当点。与点B重合，点尸为弧的中点时，求NOCD的度数；

(3)如果OC=2,且四边形ODPC是梯形，求白也的值.

,△OCD

【答案】(1)I；(2)67.5°；(3)#一1或3+指

【分析】(1)由题意NCO£>=90。，cot/OZ)C=g^=W，可以假设0D=3晨0C—4k,则

0C4

CD=5k,证明AC=OC=4%=2,推出左=3,继而可得结论.

(2)如图2中，连接OP,过点P作尸ELO4于E,PFLOB于F.利用全等三角形的性质

证明APCB是等腰直角三角形，可得结论.

(3)分两种情形：如图3-1中，当0C〃尸。时，如图3-2中，当PC〃OD时，分别求解即

可.

【解析】解：(1)如图1中，

设。。=3匕OC=4k,KOCD=5k,

:以CD为半径的圆。与圆。相切，

:.CD=DB=5k,

：.OB=OD+DB^3k+5k^4,

(2)如图2中，连接。尸，过点尸作PE_LO4于PF±OB^F.

图2

,•*PA=PB，

：.ZAOP=ZPOB,

9：PELOA,PFLOB,

:.PE=PF,

VZPEC=ZPFB=9009PD=PC,

:.RtAPEC义R於PFB(HL),

:・/EPC=NFPB,

/PEO=/EOF=/0FP=9。。,

：.ZEPF=90°,

：.ZEPF=ZCPB=90°f

；./PCB=/PBC=45。,

•：OP=OB,N尸03=45。，

・•・N08尸=NO尸8=67.5。，

・•・ZCBO=67.5°-45O=22.5°,

ZOCD=90°-22.5°=67.5°；

(3)如图3—1中，当。。〃尸。时，过点C作CEJ_PD,连接。尸,

图3-1

OC//PD,

：.ZPDO=ZAOD=90°,

VCEXPD,

AZC£D=90°,

四边形OCE。是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

设PC=PO=无，EC=OD=y,

则有N+y2=i6,x2—y2+(x-2)2,可得x=2«-2,(不合题意的已经舍弃),

:.PD=2瓜-2,

ASAPCDSAOCD=PDOC=^^=M="-I,

>△08℃

如图3-2中，当EC"。。时，过点。作DELCP,连接OP,

图3-2

'：PC//OD,

：.ZCOD=NOCE=/CED=90°,

，四边形OCE。是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

尸=4,0c=2,

PC=y/op2-oc2=V42-22=26'

：.PD=PC=25

PE=JPD2_DE"«2琦-22=2^/2,

:.EC=OD=26-2枝,

qPC2#)

u△尸CD_/—=3+>/6,

S"一而26-2夜

综上所述，沁4勺值为：指-1或3+".

【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，

梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中

考压轴题.

6.(2021•上海青浦・统考二模)已知：在半径为2的扇形AO3中，^AOB=m°(0<m<180),

点C是AB上的一个动点，直线AC与直线08相交于点D

（1）如图1,当0<〃1<90心58是等腰三角形时，求］£>的大小（用含根的代数式表示）;

S

（2）如图2,当机=90,点C是AB的中点时，连接42，求不迺的值；

»AABC

（3）将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与08所在的直线相切于点E,且OE=1

时，求线段AD的长.

【分析】（1）C在A2弧线上，所以NOBC为锐角，/CBD为钝角，则ABCO是等腰三角形,

仅有3c=3。这一种情况，扇形493中，OA=OC=OB,BC=BD,由边相等得对应角相

ryiO

等，三角形内角和为180。，可得"=w；

（2）过。作DMLAB的延长线于M,连接OC,C为中点，可知

AC=BC,NAOC=NCOB=45。,AO=CO=5。,边相等得对应角相等，即可求得

NACB=135°,NBCD=45°,ZCBO为ABCD的外角，可得NABD=ND,ZCAB=ZCBA,

由角相等可推出AB=m,在RSAOB中，由勾股定理知3M=2,在等腰直角AAC®中

AN=gAB=母,根据等高三角形的面积比等于底的比沁=桨=罂可得结果；

（3）E为弧AEC与08切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在RtvOEO中，由勾

股定理知。0'=石，得四边形AOCO是菱形，由菱形对角线性质，可以推出AOOESADQP,

得OP=#,在Rt^AP。中，由勾股定理得4尸=且，即可求出AO的长.

2

【解析】解：（1）C在A3弧线上，

O3C为锐角，

CB。为钝角，

则ABCD是等腰三角形时，仅有BC=Q这一种情况，

:.ND=NBCD,

连接OC则OA=OC=QB,

：./OAC=/OCA,NOCD=NOBC,

NOBC=/D+/BCD=2/D,

在AOCD中，NCOD+2/D+2/D=180°,

/AOC=m°-NCOD=m0+4^D-180°,

ZAOC=1xQ8O°-/AOC)

m°

=180°--------2ND,

2

在△A。。中，rrf+ZOAC+ZD=180°,

加。

180°+一一/。=180。，

2

A

(2)过。作。心，至延长线于〃，连接OC,

•:C为AB中点，

JAC=BC,

：.ZBAC=4BC且AO=CO=BO,

：.ZOAC=ZOCA=NOCB=OBC,

・•・^ACO+^BCO=gx(360°-90°)=135°,

：.^BCD=45°,

：.45°+^ODA=ZABC+ZABD=45。+/ABC,

・•・ZABC=ZADO=ZBAC,

:・BD=AB=2框(勾股定理)，

BM=DM=2

'：^MBD=^OBA=45°f

：.BM=DM,

：.AM=AB+BM=242+2,

•**AN=gAB=y/2,

・・・5_A。=AM二2血+2=？1万

SAABCACANV2

A

C

OB\/D

M