2025年高考数学一轮复习：平面向量（新高考）

考点巩固卷10平面向量(六大考点)

考点01：共线定理

考点02：投影向量的求算

考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题

考点04:平面向量之三角形四心问题

考点05：极化恒等式解决向量数量积问题

考点06：等和线解决平面向量系数和问题

孱需力技巧及考点利心

考点01:共线定理

定理1：定知玩=2方+〃而，若P+〃=l,则2、B、C三点共线；反之亦然

争面向量共线定理证Q

若点2、B、C互不重合，P是4、B、C三点所在平面上的任意一点，且满足

~PC=xPA+yPB,则N、B、C三点共线ox+y=l.

证明：(1)由x+y=ln2、B、。三点共线.由x+y=l得

PC^xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^Fr：-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.

即死，诙共线，故N、B、。三点共线.

PB

（2）由N、B、C三点共线nx+y=l.

由2、B、C三点共线得前，扇共线，即存在实数x使得正=2诙.

故而+正=4屈+刀）n正=2西+（1—几）丽.令x==1—4,则有x+y=l.

1.已知M,N,P,。是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，■=20237+20253,

NP-20245+20246,PQ=-a+b,贝|（）

A.M,N,P三点共线B.M,N,。三点共线

C.河,尸，。三点共线D.N,尸，。三点共线

【答案】B

【分析】利用向量共线充要条件求出结果.

【详解】NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+2024b=20235+20256,

所以痂=而，所以M,N,Q三点共线，即B对.

同理，其它各项对应三点均不共线.

故选：B.

2.已知向量不共线，且3=痛+ld=a+（2A-l）b,若工与2同向共线，则实数彳的

值为（）

15151

A.1B.—C.1或—D.-1或—

222

【答案】A

【分析】由共线定理可知存在〃（〃>0）使得e=〃才，然后由平面向量基本定理可得.

【详解】因为工与之同向共线，所以存在〃（〃>0）使得方=〃才，

即+B=〃［力+（2/1-1）可=jua+,

又向量。/不共线，所以%=〃（2/1_1），解得人”（舍去）或4=L

故选：A

3.在中，。为边4C上一点且满足若尸为边8D上一点，且满足

2

AP=}^B+/JAC,2,〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.的最小值为1B.X"的最大值为二；

C.月+时的最大值为12力+而的最小值为4

【答案】BD

【分析】根据瓦。，尸三点公式求得彳+3〃=1,结合基本不等式判断即可.

【详解】因为亚=g次，所以％=3而，

又#=/次+二彳冠+3〃赤,

因为尸、B、。三点共线，所以2+3〃=1,

又久，〃为正实数，所以=笥幺）=',

当且仅当2=3〃，即4=！，〃=：时取等号，故A错误，B正确；

—I--=+^/2+2.

43〃23jU

当且仅当¥=/-,即彳=:，必=9时取等号，故C错误，D正确.

23〃26

故选：BD

4.下列说法中不正确的是（）

A.若方=而，贝"万|=|函且/、B、C、。四点构成平行四边形

B.若加为非零实数，且加之="3,则3与B共线

ABAC

C.在A/13C中，若有4。=那么点。一定在角力的平分线所在直线上

D.若向量则汗与B的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根据四点共线即可判断A,根据共线定理即可求解B,根据单位向量的定义以及向

量加法的运算法则，即可由角平分线求解C,根据零向量即可求解D.

【详解】对于A,线段/。上，氏C为线段的三等分点，满足益=函，且|益卜「斗，

但48,C,。四点不能构成平行四边形，A错误;

n―

对于B,因为加为非零实数，且〃7己=怎，所以］=—6,所以3与B共线，B正确；

m

-7«

对于C,因为名;、丹A分T别表示向量标、就方向上的单位向量，所以关+丹Ar的

\AB\\AC\\AB\\AC\

(__,___k、

__kAr

方向与ZB/C的角平分线重合，又40=t［网明J，可得向量方所在直线与NA4c

的角平分线重合，所以点。一定在角A的平分线所在直线上，C正确；

对于D,若向量则汗与B的方向相同或相反，或汗与B中至少有一个为零向量，D错

误.

故选：AC

5.如图，已知平行四边形48CD的对角线相交于点。，过点。的直线与48,/D所在直线

分别交于点M,N,满足五5=7疝应，AN=nAD，(m>0,n>0),若加〃=；,则机+〃

的值为.

7

【答案】

46

【分析】用向量为口前表示前，再利用点M,O,N共线列式计算作答.

—•1—.1—.

【详解】因平行四边形/BCD的对角线相交于点。，则+

22

而方=m为7,左="通,0>0,〃>0),于是得而=%而+」-京，

22n

又点M,O,N共线，

1112

因此，—mI-1,即加〃+1=2〃，又加〃=—,解得加=—,n=—,

22n323

「7

所以加+〃=一.

6

7

故答案为：—

o

6.如图，已知A45C为等边三角形，点G是A45C内一点.过点G的直线/与线段45交

于点。，与线段/C交于点及设诙=几方，AE=JLIAC,且/IwO,4。0.

A

(2)若点G是A4BC的重心，设A4OE的周长为q,A45C的周长为。2.

(i)求7+'的值；

X〃

(ii)设/=，/,记/。)=包一，求/⑺的值域.

。2

【答案】(1):；(2)(i)3；(ii)'I’g.

5yo

______7UJ］仅

【分析】(1)连接AG并延长，交BC于点F,设下=加就，则/尸=彳/8+《/。，由

5__»1,__s______ss

B,F,C三点共线可求得加=不贝第而一Z，^AF=-AG,可求产”，言逊，

333^AABC^AFAB

即可得出结果.

—(■1/—►—►\—-*2—*■1—,b1—,■

(2)(i)由题意得4方,AG=-AF=—AD+—AE又D,G,E三点共

2、)3343〃9

线，所以±+；=1，即可得解；(ii)设AABC的边长为1,则40=4,/£=〃，在4ADE

323〃

中，由余弦定理得DE=+"一沏，所以2—〃+〃"一初,结合:+,=3化

N尸尸。23彳〃

简”沏+我丁)2—3沏,因为/=为，所以结合f的范围及二次函数的

性质求解即可得出了⑴的值域.

【详解】（1）连接AG并延长，交BC于点F,

__，，—，TT1---►IT?---►

AF=mAG，则/尸=，

又B,F,C三点共线，所以卷+£=1,m=|,

——►2—►1——.——.——►1——.1—►

^AF=-AB+-AC,BPAF-AB=-AC一一AB,

3333

则有赤=〈就，所以兴辿=BF1

BC3

又善=柒,所以去逊二AG3S^GAB_J_

5,所以

3、AFABAF‘△ABC5

交BC于点F,

因为G为重心，所以F为BC中点，所以万=g（万+就卜

If1—11

所以就=（在+就）--AD+—=—AD+—AE

3UA323"

又D,G,E三点共线,所以导力1，则步=3.

(ii)设aABC的边长为1,则AE=JLI,(2,^e(0,l])

在4ADE中，DE2=AD2+AE2-2ADxAExcos60°=22+//2-2//,

2+〃+J/2+〃2

所以DE=Q+储一4〃,所以2=AD+AE+DE

C233

因为:+'=3nX+〃=3M,A2+//2=(2+//)2-22//=9(2//)2-22//,

4+〃+J.2+4234〃+个〃—34〃

所以2=9(%)2

。233

3t+19t2一3t

因为r=M,所以/«)=

3

因为0<241,0<//<l,所以421,

A

。%11

2Zn=-------=—-=--------------；-----

因为〃=丁;，所以32-131(13丫9，

因为ivgw2,2<-f---^+-<-,所以/"的最小值为《，最大值为;,

AU2j4492

414

所以，="/£—,—则工

81

所以，即/（。的值域为.

9oyo

7.设入B是不共线的两个非零向量.

（1）若厉=4々一2几OB^6a+2b，OC^2a-6b，求证：A,B,C三点共线；

⑵若2=（7,2）,5=（-3,5）,"=（6,7）,且R+证）〃（。-今,求实数上的值.

41

【答案】⑴证明见解析（2）-左

O0

【分析】（1）首先求出击，AC，根据平面向量共线定理得到与〃就，即可得证；

（2）首先求出£+无，的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】（1）因为厉=42-2办，OB=6a+2b，OC=2a-6b，

所以=OB-OA=6a+2加一（4a-2回=2a+4加，

AC=OC-OA=?^-6b-^-2b^=-2xi-4b,

又Z，否是不共线的两个非零向量，所以方=-就，所以方//就，且有公共点A,

所以A,B,C三点共线；

（2）因为£=（7,2）,B=（T5）,"=（6,7）,

所以£+左】=（7,2）+无（6,7）=（7+6左,2+7左）,b-a=（-3,5）-（7,2）=（-10,3）,

又（£+砌〃仅一2）,所以3（7+6左）=一10（2+7左），解得上=一总

8.如图，在“BC中，已知/8=2,AC=6垃,/A4c=45。，BC边上的中点为M,点N

是边/C上的动点（不含端点），AM,8N相交于点尸.

⑴求N8/M的正弦值；

(2)当点N为/C中点时，求的余弦值.

(3)当福.标取得最小值时，设丽=2丽，求几的值.

(1)|(2)1^(3)2=||

55013

【分析】(1)解法1、先利用余弦定理求得BC,再根据NBMA与/CM互补，由

cosZBMA+cosZCMA=O,求得/M=5,然后在A48M中，利用余弦定理求解；解法2、

由/7=1■(次+%),求得口应卜5,再利用的面积为“8C面积的g求解；解法

3：以A为坐标原点，以/C所在直线为x轴，以过点A的垂线为了轴，建立平面直角坐标系，

/八…AB-AM

利用向量的夹角公式cos/BAM=||求解；

(2)方法1、在A/BN中，利用余弦定理，求得删=而，再由尸为“8C重心，得到

8尸=2BN=①，AP=1AM=^~,然后在A/8尸中，利用余弦定理求解；解法2：由

BN=BA+AN=-AB+^AC,求得|丽卜而，再利用向量的夹角公式

八…AM-JN

cos/MW=求解;解法3：以A为坐标原点，以/C所在直线为X轴，以过点A

AMBN

的垂线为了轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式cos=求解；

(3)设网=x,由福.福=福•(丽+砌=/-缶，则x=*叫叫=亨时，NA-NB

取最小值，得到丽七西+(数，再由数=2就，BP=ABN(0<A<l),得到

BP^ABA+yABM,由A,P,M三点共线求解：

126

【详解】(1)解法1、由余弦定理得Be?=/笈+/。2一/m/c-cosZ82C,

即BC?=2?+(6行『-2x2x6亚x等=52,所以BC=2旧，

所以创/二四八爪三布，

2

+上上人口、…e/口,/，，BM2+AM2-AB2AM2+9

在“BM中，由余弦定理，得cosNBMA=----------------=r=-----,

2BM-AM~y/13-AM'

CM2+AM2-AC2AM2-59

在中，由余弦定理，得cos/CU4=

2CM-AMy/13-AM

因为ZBMA与/CW互补，^^cosZBMA+cosZCMA=0,解得/M=5,

在A4BW中，由余弦定理，得cosZ8/M=----------------=-------=一，

2AB-AM5

因为e,所以sinNBAM=Jl-cos?NB4M=..

解法2、由题意可得，^-^C=p|x|^c|xcos45°=12,

由MW为边8c上的中线，则万7=1■（方+元），

-------►21-21’'”21—一►

两边同时平方得，AM=-AB+-AC+-AB-AC=25,

442

故|万q=5,

因为M为8c边中点，则A/AW的面积为A^BC面积的;，

所以,42*/A/xsin/3/四=工x工AS*4C*sin/以C,

222

Bp|x2x5xsinZ5JM=|x|x2x6V2xsin45°,

3

化简得，sinZBAM=-.

解法3：以A为坐标原点，以/C所在直线为％轴，以过点A的垂线为歹轴，建立平面直角

坐标系

则5（行,0）,。伍板,0）,M,

所以焉=（夜，研万7=［孚当］,

I22J

/…彳AB-AM84

所以…”=阿可爪【

因为ZBAM©H，所以sinNBAM=yjl-cos2ZBAM=|.

（2））解：方法1、在A/8N中，由余弦定理，

得BN2=AB1+AN2-2AB•AN2-cos45°,

所以a=屈，

由/M,BN分别为边BC,/C上的中线可知P为。8c重心，

可得BP=々BN=@®,AP=^AM=^-,

3333

在A4BP中，由余弦定理，得cosNAPB=。"+所-册=上叵,

2PA-PB50

又由NMPN=ZAPB,所以cos/MW=cos/4P3=小@

50

解法2：因为8N为边NC上的中线，所以丽=函+赤=-刀+」衣,

2

11—，21—►—►1—•

AMBN——AB——ABAC+-AC；"=13,

244

2

BN2-在+:=AB2-AB-AC+-AC2=10,即|丽=丽.

411

AM•BN1313V10

所以cosZMPN=

/7|丽5xV1050

解法3：以A为坐标原点，以NC所在直线为工轴，以过点A的垂线为歹轴，建立平面直角

坐标系:

则可四，⑹，C(6V2,0),川3近,0),M'，学

所以而=(760)前=(2也，-吟•

AMBN1313710

所以cosAMPN=

|1M||W|5xV10-50

(3)设网=x,NA-NB=NA-iNA+AB^NA+NA-AB=X2-42X,

当x='^即|附|=时，N.即取最小值-：，

2।।22

:.BN=BA+AN=BA-—(BA-BC)=—BA+—BC,

12、)1212

•••BC=2BM,5?=AW(O<2<1),

—■(11—■1—>>11--1--

:.BP=2\-BA+-BM\=-ABA+-ABM,

(126J126

-A,P,"三点共线，

—2+-A=l

12613

9.设23是不共线的两个非零向量.

⑴若次=42-24砺=6々+2及诙=22-6刃，求证：48C三点共线；

⑵己知@=5,⑸=4,1)的夹角为(，问当上为何值时，向量@与7+3B垂直？

CQ

【答案】(1)证明见解析(2)左=||

【分析】(1)根据已知条件结合向量加减法求出荏、BC,进而得出在//元即可得证.

(2)先求出最根据向量垂直得(版-彼)・0+3W=0,再结合向量运算法则计算即可得

解.

【详解】(1)因为a=42—2彼,砺=63+25,历=23-6b，

所以15=砺一刀=62+2^-(41一25)=23+4分，

BC^OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-Sb=-2(25+4石)=-2AB,

所以在//灰工又益与前有公共点8,

所以A,B,C三点共线.

(2)由@=5,出=］得痴=|'||B|COS«,B)=5X4X；=10,

因为向量肪-3与@+3坂垂直，

所以(ka-6).(5+3b)=ka2-a-b+3ka-b-3b2=0,即25左一10+3左x10—3x4?=0,

CO

整理得55左一58=0=左=瓦

10.如图，在A/8C中，N。为边8c的中线，AP=^AQ,过点尸作直线分别交边N8,AC

于点M,N,^.AM=AAB,~AN=/1AC,其中彳>0,〃>0.

⑴当疝//就时，用而，病表示而;

(2)求;+'的值，并求22+〃最小值.

【答案】⑴◎:翔+:丽

⑵J+'=5,2X+〃最小值为2.+3

九〃5

【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合为边8C的中线求解即可；

（2）结合（1）可得万=!（与+就），再根据方？=4右，丽=〃就求得

—►1——►1—►11

AP=—AM+—AN,结合M,N,尸三点共线即可求出了+一,再根据基本不等式中“1”的

52524〃

整体代换即可得解.

【详解】（1）因为为边BC的中线，所以而=g万+

——►2—►----►2—►——►2——►

因为加//打，AP=-AQ,所以AN=-AC,

所以而=；x|■宿+；xg新，

^^Q=-^M+-~AN

44

（2）由（1）可得舒=（而万+：虫t方+码，

因为析=4翔，AN=piAC,

所以标而，AC=—AN,

HP=—AM+—~AN,

5252

由M,P,N三点共线，得1+!-=1,

545〃

所以;+工=5,

z〃

272+3

贝I」24+〃=1(24+〃)

5

当且仅当5=2,即〃=02=立土1时，取等号,

所以22+〃最小值为逑土1.

5

考点02:投影向量的求算

1、投影向量的定义

如图：如果向量方的起点幺和终点8在直线/上的投影分别为/和月，

那么向量/月叫做向量标在直线/上的投影向量（简称为：投影）;

AB'

理解：一个向量6在一个非零向量。的方向的投影，就是向量6在向量。的任意一条所在直

线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量B在一个非零向量［的方向的投影是唯

一确定的；

特殊地，如图，若两个向量共起点。；

即：OA=a,OB=b,过点8作直线CM的垂线，垂足为月，

则5万就是向量B在向量％上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点。为起点，；

作：OA=a,OB=b,把射线ON、08的夹角称为向量2、向量B的夹角，记作:

<a,b>；

<Q,B>£[0,；

<Q,B10,1

-*—*兀————

<a,b>=—,又称向量a,Z?垂直，记作a_Lb

2

当＜Z,B〉为锐角（如图（D）时，08'与Zo方向相同,

2=|OB|=|b|cos<a,b>,所以OB=|b\cos<a,b>ao』""°；

l«l

当<Z,B〉为直角（如图（2））时，2=0,所以砺=。；

当<Z,3〉为钝角（如图（3））时，5万与方向相反，

所以2=-1OB|=-16|cosBOB=-\b\cos（万一<a,b>）=\b\cos<a,b>

PKiM/TBI£I一工-Ib|cos<a,b>-

所以OB=|b|cos<a,b>ao=---------=-----------a；

l«l

当<a,B〉=0时，2=|^|,所以08=\b\ao=^J-a；

l«l

当<£,]>=乃时,A=-|S|,所以赤二|b|cos兀a。-■—।71-a；

l«l

综上可知，对于任意的<Z,B〉e[O,加，都有

—171-7-\b\cos<a,b>-

OB=|b|cos<a,b>ao=----------=----------a；

l«l

3、数量投影的定义与求法

一1_一

据图：如果令为向量。的单位向量，那么

\a\

bCOSa，b>

向量B在向量Z方向上的向量投影为：\b\cos<a,b>^^^ai

其中，实数同cos<2,3〉（*）称为向量B在向量Z方向上的数量投影；

理解：（1）当时；实数国cos<Z,书〉（*）大于0；

（2）当<。，6〉=5时；实数回cos<a,b〉（*）等于0；

（3）当<a,刃〉e乃）时；实数向cos<a,否〉（*）小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该

投影的模，因此，这个数量投影等于0；

11.向量1=(1,0)万与非零向量B的夹角为60。，则日在B上的投影数量为()

A.vB.—C.1D.-V3

22

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.

-1

【详解】依题意，万在B上的投影数量为|a|cos〈a,6〉=lxcos600=5.

故选：A

12.若a=(2,1),)=(-4,2),c=(2,左),)/石,贝!在之方向上的投影向量为()

【答案】D

【分析】由)宿求得左值，根据投影向量的定义公式计算即得.

【详解】由)/书可得，-4k=2x2,解得左=-1,则3=(2,-1),

a.cf3f63

Z在C方向上的投影向量为篝•c==c=J-j.

|c|555

故选：D.

13.若向量"=(2,3),&=(-1,1),贝呼在Z上的投影向量的坐标是()

A。［<I2?一3旬、B.(323百)、C,(23)D.(「百2,3"、

【答案】B

【分析】根据向量的坐标运算可得同=后,限3=1,再结合投影向量的定义运算求解.

【详解】因为2=(2,3),6=(-1,1),则同=亚耳手=疽〉Z=-2+3=l,

所以3在Z上的投影向量［粤］，=，=偿

<«J13<1313J

故选：B.

14.已知向量2=(缶osa,V^sina)3=(2sin£,2cos£),忸-*4,则$在行上的投影向量为

()

-C-1r1-

A.2bB.2aC.—bD.—a

22

【答案】D

【分析】由模长公式可得展彼=-1，即可由投影向量的公式求解.

【详解】因为忸-可=4,所以敏+7-43防=16,又因为|开=2,向2=4,所以

a-b=-l，所以B在日上的投影向量为粤方=-4小

1«|22

故选:D.

15.空间向量£=(1,0,1)在各=(0,1,1)上的投影向量为()

A.B.[*,0当C.D.1o,

U2)I22JI22j(

【答案】C

【分析】根据投影向量公式计算即可.

【详解】a*b=1»片=1+1=2，

由投影向量的定义和公式可知日在B的投影向量为续5=；(0,1,1)=(0,1,；

b2122,

故选：C.

16.下列关于向量的说法正确的是()

A.若万〃B，bllc，贝!J3//1

B.若单位向量方，日夹角为则向量方在向量B上的投影向量为"3

62

C.若方与3不共线，且如+区=6,则s=t=o

D.若心,且贝！11=不

【答案】BC

【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项.

【详解】A：当B=0时，若五〃B，bHc，则汗与己不一定平行，A错误；

Ixlxcos—

B：向量)在向量B上的投影向量为例.?=_______&心必,B正确;

WW1X12

c：若日与B不共线，且城+区=0，贝ijs=/=o,c正确；

D：a-c=b-c<则同,同，cos)=1斗同.COS,Q,又

•cos(R@,显然3=不不能确定，D错误;

故选：BC.

17.已知向量2=(-1,5),3=(-3,4),则向量B在1％方向上的投影向量的坐标

为.

【答案】(-/-6

【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得.

【详解】由1=(-1,5),加=(-3,4),得£-3=(2,1),

则|1_]|=右,S-(a-6)=-3x2+4xl=-2,

所以向量否在U方向上的投影向量空二瞿0/)=一1(2,1)=(-

\a-b\555

42

故答案为：j)

18.已知万=(加一1,2),b=(l,m).

⑴若归+同=2且机＜0,求行在B方向上的投影向量;

(2)若7与B的夹角为钝角，求实数加的取值范围.

【答案】⑴⑵(-叫-1)4-1,

【分析】(1)根据模长的坐标运算求得加=-2,再结合投影向量的定义分析求解;

(2)根据题意可知心取＜0且G与B不共线，结合向量的坐标运算分析求解.

【详解】(1)因为5=(冽一1,2),b=(l,m),贝H+刃=(加,加+2),

若B+司=2且相<0,则1疗+(〃'+2)=2,解得“=一2,

m<0

则)=(-3,2),5=(1,-2),可得本各=一7,M=遥,

(a-b\7T('

所以3在B方向上的投影向量—b=--b^\--

Ib)5I、

(2)因为)=(加—1,2),b=(l,m).

若1与B的夹角为钝角，则小B＜0且1与B不共线,

+＜01

则｛(，解得加＜£且加。一1，

所以实数m的取值范围为

19.已知向量Q=(l,百)，b=

⑴若机=3,求卜+可；

⑵若求B在］上的投影向量(用坐标表示)

【答案】⑴B++2⑺⑵(竽］

【分析】(1)把加=3代入B中，再根据£+5的坐标去求模长即可；

(2)根据把坐标代入计算求出加的值，再列式求得3在°上的投影向量.

【详解】(1)当俏=3时，加=(3,百)，a+B=(4,2百)，

••.|a+5|="+(2⑹2=2A/7.

-»(-3-、-(-3-)-»23--

(2)'：aL\a——b,：.a-\a——6=0,：.a——a-b=0,

•了在Z上的投影向量为4.2=二1*¥i=2(1⑹至1

问问71+371+33、，(33J

20.已知同=痣州=1,1与B的夹角为45。.

⑴求B在日方向上的投影向量；

(2)求忸+可的值.

【答案】⑴］(2)713.

【分析】(1)根据向量在向量上的投影向量的概念求解；

(2)根据数量积的运算法则求模即可.

【详解】(1)B在。方向上的投影向量为限BV2X1X-一

—,u=---------------a=-CL

手1=..

(2)|25+61=7(25+^)2=^4a2+4a-b+b2=J8+4xVIx1

考点03:奔驰定理解决三角形面积比问题

奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知△48。的顶点/（西，%），8（迎，%），C（x3,y｝）,则△4BC的重心坐标为

X,+X2+X3yt+y2+y3

133'

注意：（1）在△NBC中，若。为重心，则方+砺+反=6.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示:.

奔驰定理：S/C?+SB-9+SC・双=02!|44O8、△40C、ABOC的面积

之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令4厉=两，4砺=两，4碇=西，即满足

区+函+元=o

—►1—►2―►

21.点。在AASC的内部，且满足：AO=—AB+—AC,则AASC的面积与的面积之

比是（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】C

4

【分析】利用向量的平行四边形法则可知点。在的中线上，且。台与此，从而可得

41

皿，根据S”皿=jS“蛇即可求解.

【详解】

B

所以前=；（前一刀）+|■（反，即无+2方+2双=6,

取NC中点为点。,

则E+反=2历，即4历=-砺，

4

所以。在中线上，SLOB=-BD

过O,。，分别作边上的高，垂足为M,N,

0MOB4

贝nljl——=——=-,

DNBD5

41

所以S&AOB=yS&ABD'S"BD=JABC»

2

所以S“05=]S"蛇，

所以产=,

'△AOB2

故选：C.

22.设点。是。3C所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若方+砺+云=6，则。为的重心；

B.若（E+砺）.五§=（酝+工）.芯=0,则。为。BC的垂心;

C.若嗡+煮）"c=a篙胎则“BC为等边三角形;

2

D.若刀+2①+3元=6，则△8OC与AJ8C的面积之比为S谶GSMCULG.

【答案】B

【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂

心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得aBOC与aABC

的面积之比判断选项D.

【详解】对于A,如图，取N8边中点。，连接48边上的中线CD,则E+丽=2砺，

X---04+05+OC=o，•,•2O5+OC=0.：.\OC\=2\OD\,

二。为。8c的重心，故选项A正确;

对于B,如图，取48边中点。，3c边中点E,连接0。，OE,

贝।出+砺=2无，OB+OC=2OE，

•♦•@+珂・益=（砺+西灰=0,

:2历•方=2砺灰=0，

■■OD-7B=OEJC=Q^■■ODLAB^OE\.~BC，

：.OD±AB,OEYBC,

■■OD,OE分别是48,8c边上的垂直平分线,

：.OA=OB=OC,。为“BC的外心，故选项B错误;

对于C,作角A的内角平分线4E与BC边交于点E,

ABAC_

为万方向的单位向量，同为元方向的单位向量,

AB

ABAC_