第二章-控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型1．RC电路+-uruc+-CiRRC电路是一阶常系数线性微分方程ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur电阻、电容、电感RCL+–ί(t)u(t)=ί(t)·Rί(t)ί(t)=u(t)=ί(t)dtί(t)+–u(t)=Ldί(t)dtί(t)=+–ί(t)=例求图示RLC电路的微分方程。+-uruc+-CLRi解：输出量：输入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根据基尔霍夫定律：得FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间变量得:F(t)–FB(t)–FK(t)=ma2．机械位移系统图2-9速度控制系统++uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωutcR2R1R1R2uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωutcR2R1R1R2+uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωutcR2R1R1R2uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωutcR2R1R1R2运算放大器++_Addi-i+u+u-uo差模输入电压等于零u+=u-运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该两点短路一样，称为虚短。i+=i-=0运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该两点被断开一样，称为虚断。反向比例运算电路++_Ai-i+u+u-uo∞i

fi

iR1R2RfuiR2=R1//Rf由于虚断，，u+=-i+R2=0。又因虚短，得u-=u+=0i+=i-=0各种元件各种元件线性微分方程式的求解例

已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。解：在零初态下应用微分定理：r(t)t0c(t)传递函数传递函数的定义及求取传递函数的定义：

零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(s)R(s)C(s)G(s)=r(t)输入c(t)输出R(s)输入的拉氏变换输出的拉氏变换C(s)微分方程注意：先拉氏变换，再求比值！在零初态下对上式进行拉氏变换得：系统传递函数的一般表达式为：(a0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm

)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量s的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an将分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：K0—传递系数s=s1,s2···,sn—传递函数的极点s=z1,z2···,zm—传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。传递函数的性质（续）对角线相乘（5）传递函数与微分方程有相通性;在零初始条件下，用微分算符置换，变得到相应的微分方程：传递函数的性质（续）（6）传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。故有，此时，g(t)是系统在单位脉冲输入时系统的输出响应，典型元部件的传递函数放大器：KUi(s)Uo(s)测速发电机：典型元部件的传递函数直流电动机：例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量：输入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根据基尔霍夫定律：得拉氏变换：LCs2Uc

(s)

+

RCsUc(s)+

Uc

(s)=Ur(s)传递函数为:G

(s)=1LCs2+

RCs

+

1Uc

(s)Ur(s)=电气系统三要素：电阻、电容、电感RCL+–ί(t)u(t)=ί(t)·Rί(t)ί(t)=u(t)=ί(t)dtί(t)+–u(t)=Ldί(t)dtί(t)=+–ί(t)=+-Ur(s)Uc(s)+-1/SCLSR例求图示RLC电路的传递函数。已知传递函数，求微分方程作用下的输出。

设系统传递函数，试求初始条件分别为时系统在输入初态不为零时，先用交叉相乘法还原为微分方程，再用拉氏变换法求解。结构图方块图不能表示各变量之间的数量关系传递函数不能表示信号的传递一、结构图的定义各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线上标记信号的时间函数或象函数。引出点：表示信号测量或引出的位置。一条信号线上的信号处处相等同一位置引出的信号大小和性质完全一样比较点/综合点：两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。方框：表示输入到输出单项传输的函数关系，即元部件或系统的传递函数。方框中应该为传递函数！（s函数或常数）系统结构图的绘制列写各元件的微分方程；在零初始条件下进行拉氏变换，得到各元件的传递函数，即单个的方框；对各变量（信号）进行拉氏变换，得到结构图中的变量；将系统输入量放在最左端，输出量放在最右，按照信号的流向和各自的传递关系，将各方框连接起来。位置随动系统原理图W1负载W2urucuε放大器电机减速器测速电机uutua操纵手柄+_+_SMTGJLfLW1W2EuεutuuaRaLaifZ1Z2放大器操纵手柄测速电机电机负载电位器对减速器W1W2+_+_SMTGJLfLEuεutuuaRaLaifZ1Z2放大器位置随动系统结构图绘制uε操纵手柄W1JLfLW2uruc放大器电机减速器测速电机uutuarqkakts绘制双T网络结构图R1R2C1C2ur(t)uc(t)I(s)I1(s)Uc(s)=I2(s)sc21•I2(s)=I(s)–I1(s)I1(s)=[Uc(s)+I2(s)•R2]•sC1Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)I(s)=[Ur(s)–I1(s)•]•sc11R11R11I

(s)I2(s)sc21R2sC1Ur(s)Uc(s)sc11sc21I2(s)从右到左绘制双T网络结构图2R1R2Ur(s)Uc(s)sc11sc21I(s)I1(s)I2(s)I1(s)sc11=I2(s)R2+Uc(s)

Uc(s)=I2(s)sc21I(s)=I1(s)+I2(s)R1sc11I(s)I1(s)Ur(s)这是不行的I(s)R1+I1(s)sc11＝Ur(s)sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)从左到右题1绘制动态结构图输出输入扰动题1绘制动态结构图R(s)k1C(s)T2X2(s)k2X1(s)C(s)N(s)E(s)=R(s)-C(s)

E(s)-X4(s)H(s)=X1(s)N(s)+X4(s)=C(s)X2(s)=X1(s)G1(s)X4(s)=X3(s)G2(s)X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)题2R(s)E(s)X1(s)G1(s)X2(s)G4(s)G3(s)X3(s)N(s)G2(s)X4(s)C(s)C(s)H(s)X4(s)描述系统动态性能的方程组如下，试绘制以R(s)为输入信号、C(s)为输出信号、N(s)为干扰信号的系统结构图。习题2-10功放k3+15v-15v+15v-15v-k1-k2SMTG+–30k20k10k10k10k10kuiuauoutu2u1位置随动系统原理图习题2-10方块图K0=30v/330o=1/11(伏/度)=5.21(伏/弧度)K1=3k2=2α=1+Rf/Ri=1+20/10=33uautu2u1kts23s(Tms+1)km5.215.21k3uoui结构图三种基本形式G1G2G1G2串联并联反馈G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC基本形式G1G2G2G1G21G1G2－G2G1引出点的移动G(s)abaG(s)abbaG(s)abbG(s)abG(s)b比较点的移动abecG(s)bacG(s)c

==(a-b)G(s)=aG(s)-bG(s)G(s)G(s)eabecG(s)acG(s)b相邻比较点、相邻引出点2相邻比较点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式3相邻引出点可互换位置、可合并…

注意事项：1不是典型结构不可直接用公式2引出点比较点相邻，不可互换位置G1G2G3H1错！G1G2G3H1G2H1G1G3G1G2G3H1G2向同类移动比较点移动G1G2G3H1G11并联3串联2反馈比较点与引出点互换位置了引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果,行吗？G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1练习题G1(s)G2s)G3(s)G4(s)H

(s)R(s)C(s)G1(s)G2s)G3(s)C(s)R(s)H

(s)G4(s)H

(s)练习题续H

(s)G2s)G3(s)C(s)R(s)H

(s)G2s)G3(s)C(s)R(s)并联反馈串联Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数梅森公式介绍R-CC(s)R(s)=∑Pk△k△:△称为系统特征式△=其中:——所有单独回路增益之和∑LA∑LBLC∑LDLELF△k称为第k条前向通路的余子式△k求法:去掉第k条前向通路后，用余下的图求△-∑LA+∑LBLC-∑LDLELF+…1△k=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…—所有两两互不接触回路增益乘积之和—所有三个互不接触回路增益乘积之和R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)梅森公式例R-C

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P1=G1G2G3P2=G4G3△2=1+G1H1△1=1L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1G3G2+G1G2+G2R(s)[]N(s)梅森公式求C(s)(1-G1H1)+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2-G1H1（1-G1H1）G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)P1=1△1=1+G2H2P1△1=?E(s)=1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2-G1H1(–G2H3)R(s)[

]

N(s)(1+G2H2)(-G3G2H3)++R(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)C(s)N(s)R(s)E(S)G3(s)G2(s)H3(s)E(S)R(s)G