2024年河南省周口市高考数学二模试卷（附答案解析）

2024年河南省周口市高考数学二模试卷

一、单选题

1.（5分）已知全集。={x|-l<x<5},集合/满足Cu/={x|0Wx<3},贝U（）

A.OEAB.\^AC.2GAD.3。

2.（5分）数据6.0,7.4,8.0,8,4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为（）

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.（5分）已知数列{斯}为等比数列，且m=l,.9=16,设等差数列{为}的前“项和为S”若生=。5,则

S9—（）

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.（5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m（m>0）为整

2

数，若a和6被加除得的余数相同，则称a和6对模m同余，记为a三b（modm）.若a—C|o-2+嗡-2+

-+C^-220,a=b（modl0）,则6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数歹=法M37,但我

们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是

函数/（x）=sinx+*sin2x（xCR）,则下列说法正确的是（）

A./（%）的一个周期为n

B./（x）的最大值为日

C.f（x）的图象关于点（今，0）对称

D./（X）在区间［0,TT］上有2个零点

6.（5分）在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结

果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级

的概率为（）

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

—>—>

7.（5分）在平面直角坐标系xOy中，设/（2,4）,B（-2,-4）,动点P满足P。•P4=-1,贝UtanN

PBO的最大值为（）

2V214V292V41V2

A.-------B.-------C.-------D.一

第1页（共18页）

8.（5分）已知双曲线C：葭一台=1。>。，b>0）的左、右焦点分别为m、Fi，双曲线。的离心率为e,

在第一象限存在点P,满足e・sin乙叩班2=1,且SgpF2=4后，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.2%±y=0B.x±2y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

二、多选题

（多选）9.（5分）在复平面内，复数Zi=}-字i对应的点为/,复数Z2=zi-1对应的点为瓦下列说

法正确的是（）

A.|zi|=|z2|=l

B.Z1-2=忆1/

C.向量/对应的复数是1

—>

D.\AB\=|zi-z2|

（多选）10.（5分）如图，在矩形/班出中，44i=l,4B=4,点C,D,£与点Q,Di，昂分别是线

段N3与4面的四等分点.若把矩形i/i卷成以/小为母线的圆柱的侧面，使线段441与BBi重合,

则以下说法正确的是（）

AiCiDiEi_g]

ACDEB

A.直线/Ci与。£i异面

B./£〃平面/iCD

C.直线。Ei与平面/EDi垂直

2V2

D.点Ci到平面ODiEi的距离为一

IT

（多选）11.（5分）已知函数/G）的定义域为R,且/（x+y）/（x-y）=#（x）-/S）,/（1）=1,

/（2x+l）为偶函数，则（）

A.f(0)=0B.f(x)为偶函数

C.f(2+x)=-/(2-x)D.Efc=i4/(fc)=0

三、填空题

12.(6分)抛物线/的准线方程为y=l,则实数。的值为.

13.(6分)在△/BC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=&，b=4,c・cos3+a=0,则边c

第2页（共18页）

=，点。在线段48上，且NCD4=*,贝!]CD=.

14.(6分)己知不等式e“-石+1-2ax2b对任意的实数x恒成立，贝卜的最大值为.

a

四、解答题

15.(13分)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，

荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛,

每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2

局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概

率均为最各局比赛的结果相互独立.

(I)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(II)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

16.(15分)已知函数/(x)=a(x2-Inx)+(1-2a2)x(a20).

(I)若x=l是函数y=/(x)的极值点，求a的值；

(II)求函数y=/(x)的单调区间.

17.(15分)如图，在多面体D43CE中，是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=V2.

(I)求证：BCLAE-,

(II)若二面角/-8C-£为30°,求直线与平面NCD所成角的正弦值.

XV—

18.(17分)已知椭圆£：/+台=1(a>b>0)过点(0,1),且焦距为2®

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)过点5(1,0)作两条互相垂直的弦N3,CD,设弦N3,CD的中点分别为M,N.

①证明：直线儿CV必过定点；

②若弦48,CD的斜率均存在，求△MNS面积的最大值.

19.(17分)已知数列｛斯｝为有穷数列，且0n6N*,若数列｛斯｝满足如下两个性质，则称数列｛即｝为他的

左增数列;

第3页(共18页)

①。1+。2+。3+~+劭=加；

②对于使得您的正整数对(3J)有左个.

(I)写出所有4的1增数列；

(II)当〃=5时，若存在冽的6增数列，求冽的最小值；

(III)若存在100的左增数列，求左的最大值.

第4页(共18页)

2024年河南省周口市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.（5分）已知全集。=3-1VXV5},集合4满足Cu/={x|o〈x<3},贝lj（）

A.OEAB.1。C.2EAD.3。

【解答】解：因为。={%|-1V%V5},Cu/={R0W%V3},所以4={x|3WxV5或-l<x<0},所以1"

故选：B.

2.（5分）数据6。7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为（）

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

【解答】解：数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1,共8个，

8X0.75=6,

87+89

则该组数据的第75百分位数为一y—=8.8.

故选：D.

3.（5分）已知数列{斯}为等比数列，且m=l,.9=16,设等差数列也“}的前”项和为S”若庆=。5,则

Sg—（）

A.-36或36B.-36C.36D.18

【解答】解：{即}为等比数列，设其公比为g,09=。1/,/=]6,g4=%则a5=aig4=4,

则65=。5=4,等差数列{儿}中，的=短空立=965=9X4=36.

故选：C.

4.（5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m（m>0）为整

2

数，若a和6被加除得的余数相同，则称a和6对模m同余，记为a三b（modm）.若a—C|o-2+嗡-2+

-+C^-220,a=b（modl0）,则6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

2010

【解答】解：a=4）•2+C器•22+…+嘲.2=（1+2）2。_1=（10-1）-1,

所以。除以10的余数是0,

选项中只有2020除以10余0.

故选：B.

5.（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数歹=法由37,但我

们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是

第5页（共18页）

1

函数/(x)=siwv+*sin2x(xCR),则下列说法正确的是()

A.f(x)的一个周期为n

B./(x)的最大值为日

C.于3的图象关于点(£,0)对称

D.f(x)在区间［0,IT］上有2个零点

1

【解答】解：函数/(x)=sinx+sin2x(xGR),

对于/：f(X+K)=sin(x+n)+-2sinfJZx+2TT)=-sinx+-^sin2x(x),故4错误；

对于5：函数/(x)=sinx+2-sin2x,f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),

令，(x)=0,所以函数八x)在(T+2/CT,苓+2/OT)(代Z)上单调递增，在虑+2/OT,苧+2/OT),

(证Z)上单调递减，故函数/(X)在x=2配+导(住Z)时，函数取得最大值为丁，故5错误；

对于C：当工=狎，/弓)=1,故C错误；

对于。：当x=0,IT时，f(0)=0,f(IT)=0,故/(x)在区间［0,TT］上有2个零点，故D正确.

故选：D.

6.(5分)在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结

果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级

的概率为()

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件aB,c,三人中恰有两人没有达

到优秀等级为事件D,

则尸(/)=0.6,P(.B)=0.7,P(C)=0.5,

P(.D)=P(.ABC)+P(ABC)+P(/就)=(1-0.5)X(1-0.6)X0.7+(1-0.5)X0.6X(1-0.7)

+0.5X(1-0.6)X(1-0.7)=0.29,

P(BD)=P(.ABC)=0.5X0.6X0.3=0.09,

ljll|p(o\r)}=P(BD)_°.O9=_9_

人」P(B\D)p(D)—0.29-2》

故选：C.

—>—■>

7.(5分)在平面直角坐标系xOy中，设/(2,4),8(-2,-4),动点尸满足P。•P4=一1,贝Utan/

第6页(共18页)

PBO的最大值为（）

2后4回2V41V2

A.B.C.-------D.

2129412

―>

【解答】解：设尸（工,〉），则「。=-%,->),24=(2—%,4—y),

—>—>

所以P。-PA――%(2—%)—y(4—y)—2x+x12-4y+y2=-1,

整理得：（x-1）2+（y-2）2=4,

故动点尸的轨迹为以。（1,2）为圆心，2为半径的圆,

4—72-1-4-

因为=2-]=2,々BD=1+2=2,所以4B,。二点共线，如图,

当网与圆相切时，/P2O为锐角且最大，tan/PB。最大，NP3O即/P3。，

所以|BD|二J(2+4尸+(1+24=3V5,\BP\=J\BD\2-\PD\2=,45—4=V41,

tan^PBD=翩=义="尹，即tanZPBO的最大值为竺

\BP\7414141

xv

8.（5分）已知双曲线C：蓝―1（Q〉O,b〉0）的左、右焦点分别为尸1、/2,双曲线。的离心率为e,

在第一象限存在点P,满足e・sinN尸为b2=1，且S△匕「尸2=4。2,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

【解答】解：设|尸为尸冽，|尸尸2|=〃，由双曲线的定义可得冽-〃=2跖

2

由e・sinN尸S.SAF1PF2=4a,

可得sinN尸产正2=[=£COSZPFIF2=Jl—与=g,

cC\一C

1a

-m*2c—=4?/,

2c

第7页（共18页）

解得加=4”，n=2a,

在△尸产正2中，由余弦定理可得cosNP7iF2=

LZm-z二c,

即2=16a2+以一化为16仍=4层+4庐+12层，

c16ac

即为b=2a,

则双曲线的渐近线方程为2x±j=0.

故选：A.

二、多选题

（多选）9.（5分）在复平面内，复数Zi=*-字i对应的点为/,复数Z2=zi-1对应的点为瓦下列说

法正确的是（）

A.|zi|=|z2|=l

B.Zi-2=|zi|2

C.向量几对应的复数是1

T

D.网=\zt-z2\

【解答】解：根据题意，复数Z1=★—孚i,Z2=Z1-1=

依次分析选项：

对于/,0|=区24+*=1,/正确；

对于2,Zl*Z2—（-1--^-i）（--j---y-Z）--1,3错误；

对于C,A（1,一空），B（-1,一字），则/=（-1,0）,向量/对应的复数为-1,C错误；

对于。，由复数的几何意义，|4B尸匕1-Z2|,。正确.

故选：AD.

（多选）10.（5分）如图，在矩形/班闻中，44i=l,4B=4,点C,D,E与点Q,Di，©分别是线

段N8与481的四等分点.若把矩形/3由/1卷成以/小为母线的圆柱的侧面，使线段441与BBi重合,

则以下说法正确的是（）

AiGDi局Bi

ACDEB

第8页（共18页）

A.直线/Ci与DEi异面

B./£〃平面4CD

C.直线。©与平面/ED垂直

.2y/2

D.点Ci到平面DDiEi的距离为一

71

【解答】解：如图，

DC平面4DC1,且。已4。，而E摩平面40c1,由异面直线的定义可知，直线/Q与。妨异面，故/

正确；

由题意，四边形/CDE为正方形，则/石〃。。，而CDu平面/CD,/EC平面/CD,则/£〃平面/CD,

故2正确；

由已知441=1,42=4,可得四边形DDE1E不是正方形，则DEi与矶>1不垂直，若。©J_平面，

可得DE1_L££>1,

矛盾，故C错误；

由已知可得。£>i_LDi£i,DDxLC\D\,DDiHDiE=Di,则平面DGEi,

设圆柱的底面半径为R,由已知可得，2TTR=4,得R=［，则鱼CIDI=，的。1=筌.

2V2

可得点G到平面次)归1的距离为一，故。正确.

71

故选：ABD.

(多选)11.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)f(x-yy=/G)-f(y),/(I)=1,

/(2x+l)为偶函数，则()

A.f(0)=0B.f(x)为偶函数

C.f(2+x)=-f(2-x)D.Xfc=i4/(fc)=0

【解答】解：对于/,由f(x+y)/(x-y)=/(x)-f(y),令工=〉=0,则/(0)=0,可知/(0)

=0,故/项正确；

对于8,因为/(x)的定义域为R,关于原点对称，令x=0,则/⑶)/(-y)=f(0)-/⑶)=-

第9页(共18页)

/⑶)，

而/(y)不恒等于0,故/(->)=-/(»),可知/(X)为奇函数，故8项错误;

对于C,因为/(2x+l)为偶函数，所以/(-2x+l)=/(2x+l),

x

用5代换工，得/(-x+1)=f(x+1),再用-x-1代换x,可得/(2+x)=f(-%),所以/(2-％)=f

(x),

由5选项的结论，可得/(-X)=-/(工)，所以/(2+x)=-/(2-1)，故。项正确；

对于。，由选项。的结论，可知/(x+2)=f(-x)=-f(x),

所以/(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知/(x)是周期为4的周期函数，

因为/(I)=1,所以/(-I)=-/(1)=-1,可得/(3)=/(-1+4)=/(-1)=-1,

由/(x+2)=f(-x),得/(2)=f(0)=0,结合/(4)=f(0)=0,

得/(I)4/(2)4/(3)4/(4)=1+0+(-1)+0=0,

所以E凿41㈤=506|/(1)H/(2)♦(3)丁(4)]=0,可得。项正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.(6分)抛物线/=1y的准线方程为y=l,则实数。的值为

【解答】解：抛物线支2=、的准线方程为产-2，

由题意可得-*=1,

解得a——

故答案为：-白.

13.(6分)在△/8C中，/,2,。的对边分别为a,b,c,已知a=&，b=4,c・cos8+a=0,则边c=_VTU_

点D在线段AB上，且NCDA=的则C£>=_—

【解答】解：由余弦定理知，cosB=层与亍板，

因为c・cos5+a=0,

_i_c2_u2

所以c・-------------+〃=0,整理得02=庐-3/,

2ac

因为a=V2,6=4,

所以。2=房-3。2=16-3X2=10,即c=V1U；

第10页(共18页)

2_|_2_/j2

ac2+10-16_8

所以cosB=

2ac2x72x710_-_5"

因为86(0,TT),所以sin5=71一COS2B=等,

CDBC

在△BCD中，由正弦定理知,

sinBsin乙BDC'

BC'SinB_a-sinB__4后

sin乙BDC-sinfrc-Z-CDA)~V2-5

故答案为：VTo；—

1_L1b

14.（6分）已知不等式/一万-2a%2b对任意的实数％恒成立，则一的最大值为2-21n2,

a

【解答】解：设，=x—公+1,则%=什万一1,

又因为不等式/一万+1-2ax>b对任意的实数x恒成立,

所以e-2a对任意的实数/恒成立,

即ef-2at+2a-2-620对任意的实数，恒成立,

令g（力=e'-2at+2a-2-b,正R,

则有g（/）加篦20恒成立，

则g，⑺-2a,

当aWO时，g'⑺>0,g（力在R上单调递增，不满足题意；

当Q>0时，令/（/）=e'-2a=0,得t=bt2a,

当怎（-8,ln2a）时，gr（力<0,g（%）单调递减；tEQn2a,+°°）时，gr（t）>0,g（/）单

调递增；

=

所以g(t)ming(历2。)=2a-lain(2。)+2。-2-b=4a-lain(2“)-2-bf

所以4。-2。历(2。)-2-b，0,bW4a-2aln(2。)-2,

b?

所以一<4-2ln(2Q)----，

aa

2

令〃(〃)=4-2ln(2Q)a>0,

a

则/(。)=，+马=2(1T),

CLazaz

所以当托(0,1)时，h'(a)>0,h(a)单调递增；当托(1,+°°)时，h'(a)<0,h(a)单

调递减；

所以〃(a)max=h(1)=2-2历2,

第11页（共18页）

b

所以一＜2-21n2,

a

所以2的最大值为2-2勿2.

a

故答案为：2-2ln2.

四、解答题

15.(13分)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，

荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛,

每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2

局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概

率均为;，各局比赛的结果相互独立.

(I)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(II)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

【解答】解：(I)前3局比赛甲都取胜的概率为P=2x^x2=!；

(II)X的所有可能取值为0,1,2,3.其中，X=0表示第1局乙输，第2局是甲丙上场，第3局是

111

乙输，则尸(X=0)=?

ZZ41

1111

X—1表示乙就1局，即第1局乙威，第2局乙输,或第1局乙输,第3局乙质L；则P^X—2222=

1

T

X—2表示乙赢2局，即第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则尸(X=2)==

ZZZo

1111

X=3表示第1局乙赢，第2局乙赢，第3局乙赢，则尸(X=3)77x77x7；=不

2228

则X的分布列为:

X0123

P1111

4288

X的数学期望为E(X)=0xi+lx1+2x|+3x|=1.

4Zooo

16.(15分)已知函数f(x)=a(x2-Inx)+(1-2a2)x(a20).

(I)若x=l是函数y=/(x)的极值点，求Q的值；

(II)求函数y=/(x)的单调区间.

【解答】解：(I)函数/(x)—a(x2-Inx)+(1-2片)%(QNO)的定义域为(0,+°°),

第12页(共18页)

f(x)=a⑵二)+1-2a2=(2ax+l)(x—a),

JXX

因为X=1是函数(x)的极值点，

所以/(1)=0,即(2q+l)(1-a)=0,

解得。=1,经检验知，当〃=1时，x=l是函数y=/(x)的极值点，

所以4=1.

(II)由(I)知/(x)=(2ax+?x-a),。力。，

当。=0时，f(x)>0,所以函数/(x)的单调递增区间为(0,+8),无减区间；

当a>0时，当0<x<a时，f(x)<0,当x>a时，f(x)>0,

所以函数/(x)的递减区间为(0,a),增区间为(a,+8).

综上，当。=0时，函数/G)的单调递增区间为(0,+8),无减区间；

当a>0时，函数/(x)的递减区间为(0,a),增区间为(a,+8).

17.(15分)如图，在多面体D48CE中，是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=

(I)求证：BCLAE-,

(II)若二面角/-BC-E为30°,求直线OE与平面/CD所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：如图，取8C中点。，连接/。，EO,

第13页(共18页)

：△NBC是等边三角形，。为8C中点，

C.AOLBC,又EB=EC,

：.EO±BC,'：AOnEO=O,

，2C_L平面/E。，又/Eu平面/E。，

：.BC±AE；

解：（II）连接DO,则DO±BC,由AB=AC=BC=2,DB=DC=EB=EC=

则2。=B，£>0=1,又AD=2,

：.AO2+DO2=AD2,

：.DO±AO,y.AODBC=O,

平面ABC,

如图，以。为坐标原点，OB,0D所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

第14页（共18页）

则O(0,0,0),力(遍，0,0),C(0,-1,0),D(0,0,1),

—>—>

，C4=(怎1,0),CD=(0,1,1),

设平面/CD的法向量为/=(久，y,z),

TT一

则n・C4=0,n-CD=0,

即V^x+y=0,y+z—0,

取x=l,则£=(1,-V3,V3),

:/AOE是二面角A-BC-E的平面角，

AZAOE=30°,又。E=l,

)0,-,DE=>0，一

设直线DE与平面ACD所成角为6,

则sin0=|cos<DE,n>\=叱吗==g,

|DE||n|,7X43/

直线DE与平面ACD所成角的正弦值为亍

/y2

18.（17分）已知椭圆E：/+台=1（。>6>0）过点（0,1）,且焦距为2®

（I）求椭圆£的标准方程；

（II）过点5（1,0）作两条互相垂直的弦CD,设弦N3,CD的中点分别为M,N.

①证明：直线儿CV必过定点;

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②若弦45,C。的斜率均存在，求△肱VS面积的最大值.

【解答】解：（I）因为椭圆E过点（0,1）,且焦距为28，

所以b=l,c-V3,

可得a2=b2+c2=4,

2

则椭圆E的方程为x丁+y2=1；

41

（II）①证明：不妨设直线45的方程为x=my+l（加WO）,A（xi,yO,B（工2,”），

可得直线CD的方程为％=-拓y+1（加WO）,

x=my+1

联立N,消去x并整理得（加2+4）丁+2切-3=0,

（彳+/=1

此时△=16m2+48>0,

由韦达定理得力+乃=鼠胃，

所以“（高‘翡）,

同理得N（嘏忐N），

l+4mz1+4772,

4

当一n------7，即加2=1时，

m2+4l+4m2

直线MN的方程为x=2，

4

此时直线过点尸（g,0）；

447n2

'7712+4丰l+4m2J

即加2#i时，直线的斜率仁以黑1），

所以直线MN的方程为y+五%=以黑1）（》—悬i）（源丰1，山生°），

令尸0,

22

QJJ曰4（m—1）,44m4-164

解何比=5⑺2+4）+而许=5（巧2+4）=引

4

所以直线跖V恒过点0）；

4

当机=0时，易得直线MN经过点尸（三，0）,

4

综上，直线跖V必过点0）；

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②因为S^MNS=S^MPS+SNPS=21Ksi•ly”一%vl