2024年广东省阳江市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2024年广东省阳江市高考数学模拟试卷(5月份)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知集合/={-1,0,1},B={X\X2<2X},贝!()

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

,,,->T->[—T_>

2.(5分)若向量a=(1,1),b—(2,5),c—(3,x),旃足(8a—b),c=30,则x=()

A.6B.5C.4D.3

3.(5分)若/、〃是互不相同的空间直线，a、0是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()

A.若我〃。，/ua,〃u0,则l//n

B.若a_L0,Zea,则/_1_0

C.若/〃a,a±p,贝!]/_L0

D.若/_La,/〃0,贝！|a_LB

4.(5分)在平行四边形/BCD中，ABVBD,BC=2瓜CD=2,沿对角线5。将三角形N3D折起，所

得四面体/-BCD外接球的表面积为24TT,则异面直线48与CD所成角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.(5分)已知y=/(x),x€R为奇函数，当x>0时，f(x)=log2X-1,则集合-f(x)<0}

可表示为()

A.(2,+8)B.(-8,-2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+°O)

6.(5分)2024年1月19日，万众瞩目的“九省联考”正式开考，数学测试卷题型结构变化很大，由原

来22个题减少至19个题，让考生的作答时间变得更加充裕，符合“适当减少试题数量，加强对数学思

维过程考查”目标.某同学统计了自己最近的5次“新题型结构”试卷的成绩发现：这5次的分数恰好

组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为元，第60百分位数为加，当去掉某一次的成

绩后，4次成绩的平均分数为%第60百分位数为〃.若歹=礼则()

A.m>nB.m=n

C.m<nD.冽与〃大小无法判断

42-cosa_z

7.(5分)已知CernaH-=-------：------,则mtlcosn2a=()

cosasina

778

A.-B.DA

99J9

第1页(共20页)

8.（5分）已知。为双曲线。的中心,尸为双曲线。的一个焦点,且。上存在点4使得。4|=|。门,（：05乙4。?=

京，则双曲线。的离心率为（）

14L

A.—B.V5C.5D.7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.若团=1,贝!］z=±l或z=±i

B.若|z-（2+z）|=1,则⑸的最小值为4—1

C.若z=b—2i,贝1旭=7

D.若l〈|z|wVL则点Z的集合所构成图形的面积为it

（多选）10.（6分）已知正方体/BCD-42iCbDi的各个顶点都在表面积为3Tt的球面上，点尸为该球面

上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.有无数个点尸，使得4P〃平面AD。

B.有无数个点尸，使得/尸，平面3DG

V2+1

C.若点在平面BCCLBI，则四棱锥P-4BC。的体积的最大值为

D.若点P6平面BCCiBi,则4P+PG的最大值为旄

（多选）11.（6分）已知偶函数/G）的定义域为R,f（4x+l）为奇函数，且/（x）在［0,1］上单调递增，

则下列结论正确的是（）

A./（-13）<0B./（|4）>0

2024

C.f（3）<0D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（a+x）（1-X）2024展开式中x2024的系数为-2023,则a的值为.

13.（5分）△NBC中，角/,B,。对边分别为a,b,c,且2ccosCsin5+bsinC=0,。为边上一点，

11

CD平分N4CB,CD=2,则一+：=_____________________.

ab

14.（5分）已知曲线C是平面内到定点尸（0,-2）与到定直线/：>=2的距离之和等于6的点的轨迹，

若点尸在C上，对给定的点7（-2,/）,用加G）表示甲打出尸十的最小值，则加G）的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解

第2页（共20页）

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△N8C中，已知0,6"分别为角/,8,(7的对边.若向量蔡=(a,cosA),向量£=(cosC,c),

—>—>

Jim-n=3bcosB.

(1)求cosB的值；

11

(2)若2a,b,c成等比数列，求--+—的值.

tanAtanC

16.(15分)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在

线调查，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,

4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频

率分布直方图.

(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,

16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记

参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望；

(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“尸20")”表示

这20名学生中恰有人名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中后=0,1,2,

…，20.当尸20(左)最大时，写出人的值.

个频率

W1

0.15............~

a......................................

5

O..O4-

0..O3-

-

0...0O2

0.1-

0.

.0O2

681012141618日平均阅读时间/小时

17.(15分)如图，在四棱锥P-N8C。中，底面/BCD是边长为2的菱形，△DC尸是等边三角形，/.DCB=

乙PCB/点跖N分别为DP和48的中点.

(1)求证：〃平面P3C；

(2)求证：平面尸8C_L平面/BCD；

(3)求CW与平面为。所成角的正弦值.

第3页(共20页)

p

18.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数〃除以整数冽（冽W0）除得的商正好是整数而没有

余数，我们就称Q为冽的倍数，称冽为。的约数.设正整数。共有左个正约数，记为Ql，Q2,…，ak

.1,ak（。1<。2<…<四）・

（1）当k=4时，若正整数。的左个正约数构成等比数列，请写出一个。的值；

（2）当左三4时，若Q2-Q1，6Z3-ai,•••,。左-Q左一1构成等比数列，求证：。二滋一1（k24）;

2

（3）记Z=Qi〃2+a2a3^---卜ak-iak,求证：A<a.

%221

19.（17分）已知椭圆C版+v台=1（。»。，b〉0）的左、右焦点分别为乃、F1,离心率为5，经过点为

且倾斜角为9（0vev»）的直线/与椭圆交于A8两点（其中点N在X轴上方），△NB尸2的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面/百P2）与夕轴负半

轴和x轴所确定的半平面（平面AFF2）互相垂直.

（z）若9=多求异面直线4F1和3尸2所成角的余弦值；

"）是否存在e（ovev奇）,使得△拉22折叠后的周长与折叠前的周长之比为«?若存在，求tane的

值；若不存在，请说明理由.

第4页（共20页）

2024年广东省阳江市高考数学模拟试卷(5月份)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

2x

1.(5分)已知集合4={-1,0,1},B={x\x<2}f贝()

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【解答】解：由题意，A={-1,0,1},

当％=1时，X2=1<2X=2,

当％=0时，X2=0<2X=1,

1

当％=-1时，%2=1>2X=彳

Ax=l和％=0满足B集合的要求，

：.AC\B={0,1}.

故选：C.

TTT_>TT

2.(5分)若向量Q=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足(8a—b)•c=30,贝！Jx=()

A.6B.5C.4D.3

TTT

【解答】解：根据题意，向量Q=(L1),b—(2,5),c-(3,x),

->T

则8a—b=(6,3),

右(8a-b),c=30,贝ij有(8a-b)•c=18+3x=30,

解可得：x=4；

故选：C.

3.(5分)若/、〃是互不相同的空间直线，a、0是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()

A.若式〃0,/ua,则/〃〃

B.若a_L0,/ua,则/±p

C.若/〃a,a±p,则

D.若/_La,/〃0,贝

【解答】解：由/、〃是互不相同的空间直线，a、0是不重合的平面，知：

在/中，若<1〃0,/ua,〃u0,则/与”平行或异面，故/错误；

在2中，若aJ_0,lea,贝IJ/与0相交、平行或/u0,故8错误；

第5页(共20页)

在。中，若/〃a,a±p,贝1"与0相交、平行或上0,故C错误；

在。中，若/_La,/〃0,则由面面垂直的判定理得a_L0,故。正确.

故选：D.

4.（5分）在平行四边形4BCD中，ABLBD,BC=2小,CD=2,沿对角线3。将三角形48。折起，所

得四面体/-BCD外接球的表面积为24TT,则异面直线48与CD所成角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

则Oi为△3CO外心，02为A4BD外心，

OiF//CD,O2F//AB,

因为/8=CD=2,则Oi尸=。2f=1，

翻折后，过。1作直线垂直于平面BCD,过。2作直线垂直于平面/2D,两直线的交点为。即为球心,

设球半径为r,

由题意可得4nr2—24Ti,

可得r=V6,

即。4=OC=V6,

且。=。24—V5,

则由勾股定理可得。。1=。。2=1，

由OiF=。/=1,得四边形OO1FO2为菱形，

由。。2_L平面48。，OzFu平面48。，可

得。。2，/。2,

所以四边形。。1尸。2为正方形，/。1尸。2=90°,

由OF〃CD,O2F//AB,可得异面直线48与C£＞所成角为/。1/。2=90°.

故选：D.

第6页（共20页）

5.(5分)已知y=/(x),xeR为奇函数，当x>0时，f(x)=log”-l,则集合-f(x)<0}

可表示为()

A.(2,+8)B.(-8,-2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+°°)

【解答】解：因为y=/(x),XCR为奇函数，当X>0时，/G)=10g2X-b

当X<0时，-X>0,可得/(-X)=log2(-X)-1=-f(x),即X<0时，f(x)=-log2(-x)+1,

所以/(-x)-f(x)<0,即-(x)<0,可得/(x)>0,

当x>0时，log"-l>0,可得x>2；

当x<0时，-log2(-X)+l>0,可得-2<x<0.

故集合-f(x)<0}=(-2,0)u(2,+8).

故选：D.

6.(5分)2024年1月19日，万众瞩目的“九省联考”正式开考，数学测试卷题型结构变化很大，由原

来22个题减少至19个题，让考生的作答时间变得更加充裕，符合“适当减少试题数量，加强对数学思

维过程考查”目标.某同学统计了自己最近的5次“新题型结构”试卷的成绩发现：这5次的分数恰好

组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为礼第60百分位数为加，当去掉某一次的成

绩后，4次成绩的平均分数为%第60百分位数为若歹=元，则()

A.m>nB.m=n

C.m<nD.初与〃大小无法判断

【解答】解：由于5次的分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，

将5次的分数由小到大排列，设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,其中d>0,

.*.%=a,60%・5=3,

所以第60百分位数爪=%9=a+$

去掉某一次的成绩后，平均分数为0,且歹=礼则去掉的是平均分a,

所以新的数列为：a-2d,a-d,a+d,a+2d,

60%X4=2.4,

故第60百分位数n=a+d,

••••.a+d>a+2，

:.n>m.

故选：C.

第7页(共20页)

7.(5分)已知tzmad———=cosa^贝［jcos2a=()

cosasina

7788

A.—B.一石C.—D.-Q-

9999

sina1yf2—cosa

【解答】解：由已知可得，----+----=---------，显然sina・cosaWO,

cosacosasina

两边同时乘以sina・cosa可得，sin2a+sina=迎cosa—cos2a,

整理可得V^cosa—sina=sin2a+cos2a=1,

所以，\2cosa=sina+1,

两边同时平方可得2cos2(x=(sina+1)2=sin2a+2sina+l=2-2sin2a,

即3sin2a+2sina-1=0,解得sina=■或sina=-1.

当sina=-1时，cos2a=1-sin2a=0,止匕时cosa=0,不满足题意，舍去.

17

所以，cos2a=1—2sin2a=1—2x(-2)2=g.

故选：A.

8.（5分）已知。为双曲线。的中心,方为双曲线。的一个焦点,且。上存在点力,使得|04|=|。方|,。05乙4。/二

击，则双曲线C的离心率为（）

14广

A.—B.V5C.5D.7

X2y2

【解答】解：设双曲线方程为葭一1（Q>0,b>0\

7

^\OA\=\OF\=c,cosZ-AOF—云，

.724

・=25c,yA=25c,

49c2576c2

由点/在双曲线上’得印一两f=1,

整理得：49?-1250^+625=0,

解得e2=25或e?=（舍去）.

・・e=5.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

（多选）9.（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.若0=1,则2=±1或2=±，

第8页（共20页）

B.若|z-（2+0|=1,则团的最小值为劣-1

C.若2=b一2i,贝（］团=7

D.若lW|z|<VL则点Z的集合所构成图形的面积为IT

【解答】解：对于/,令Z=*+字i,满足匕|=1,但2=±1或Z=±，不成立，故/错误；

对于2,|z-（2+z）|=1,

则点Z的轨迹为以（2,1）为圆心，1为半径的圆，

闾表示圆上的点到原点（0,0）的距离，

则团的最小值为J（2—1尸+（1—0）2—1=4_1,故3正确；

对于C,z=V3-2i,

则|z|=J（遮尸+（-=近，故C错误；

对于。，设z=a+6i,则团=迎2+

因为1<|z|<V2V2,

所以1<Va2+b2<V2,

所以点Z的集合所构成的图形的面积为兀（a）2-兀♦/=兀，所以。正确.

故选：BD.

（多选）10.（6分）已知正方体/BCD-NL81cbe>i的各个顶点都在表面积为3n的球面上，点尸为该球面

上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.有无数个点尸，使得/尸〃平面ADG

B.有无数个点P,使得4PL平面

V2+1

C.若点PC平面BCC181，则四棱锥尸的体积的最大值为

6

D.若点尸6平面3CC121,则NP+PC1的最大值为连

【解答】解：正方体/BCD-//iCbDi的各个顶点都在表面积为3Tt的球面上，点P为该球面上的任意

一点，

令正方体/BCUiCQ的外接球半径为％则4TU2=3TT,解得「字，

则血=V3,48=1,

第9页（共20页）

连接4Bi，ADi,B1D1，由四边形ABCLDI是该正方体的对角面，得四边形NBCLDI是矩形,

即有/r>i〃8Ci,

：3Ciu平面BOQ,ADiC平面3£>Ci，〃平面5。。，

同理《明〃平面8。。，

'：ABiCtADi^A,AB],4Diu平面48boi，平面/囱口〃平面BZ）。，

令平面ABDi截球面所得截面小圆为圆M,

对圆M上任意一点（除点/外）均有/尸〃平面3。。，故/正确；

对于8,过/与平面垂直的直线/尸仅有一条，这样的尸点至多一个，故3错误;

V2

对于C,平面3CC151截球面为圆尺，圆R的半径为三，

.V2+1

则圆R上的点到底面ABCD上的点到底面ABCD的距禺的最大值为互-，

1V2+1V2+1

...四棱锥尸-/BCD的体积的最大值为gx1x=故C正确；

326

对于。，由题意45_L平面在平面5CG所内建立平面直角坐标系，如图，

<2V21111

令点、PC-cos9,—sin9),则5(一］,—Ci(5,5),

••AP—Jl+cosd+*)2+SITI3+*)2=J2+(^SITLO+cos。),

PC\=J(^^cos6-±)2+SITL。-4)2=Jl-(siTtO+cos。)，

V2

令A(sin0+cos0)=x,

第10页（共20页）

AP+PC\=:2+%+V1—%=J«2+%+V1—%)2<J2［(V2+%)2+(V1—%)2］=V6,

当且仅当了=—去取等号，

V21Jr1

止匕时妥(sin0+cos0)=-2,即sin(8+/)=-2，

・・7P+PC1的最大值为巡，故。正确.

故选：ACD.

(多选)11.(6分)己知偶函数/Xx)的定义域为R,/(：久+1)为奇函数，且/G)在［0,1］上单调递增,

则下列结论正确的是()

A./(-|)<0B./(1)>0

2024

C./(3)<0D.^(£^2)>0

【解答】解：因为/(x)为偶函数，所以/(-、)=/(%);

1

因为/(2%+1)是氏上的奇函数，所以/(I)=0，

且/(学)的图象是由『G)的图象向左平移2个单位得到的，所以“分的图象关于(2,0)点对称，进

一步得/(x)的图象关于点(1,0)中心对称，即/(1+x)

所以/(x+2)—f(1+(1+x))—(1-(1+x))=-于(-x)--f(x),所以/(x+4)--f(x+2)

=/(x).所以函数/(x)是周期函数，且周期为4；

又/(x)在［0,1］上单调递增，所以在［0,1］上，有/(x)<0.

所以函数的草图如下：

•5

由图可知：/(—彳)>。,故/错;

4

故8对；

/(3)=0,故C错;

第11页(共20页)

2n24999

=/（674+1）=/（4x168+2+j）=f（2+|）>0,故。对.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（a+x）（1-x）2024展开式中,024的系数为-2023,则a的值为1.

【解答】解：（1-X）2024展开式的通项公式为0+1=42/—1）『"，

（a+x）（1-X）2024展开式中—024的系数为-2023,

则a•最溪+LC弗发—1）1=—2023,即a-2024=-2023,解得a=l.

故答案为：1.

13.（5分）△48C中，角/,B,C对边分别为a,b,c,且2ccosCsin5+bsinC=0,D为边AB上一点,

■,111

CD平分N4CB,CD=2,则一+-==^_.

ab2

【解答】解：因为2ccosCsin5+MnC=0,

所以2coscsin5=-bsinC,

由正弦定理得：

2sinCcosCsin5=-sinBsinC,

i

所以cosC=—2，

所以c=等,

因为CD平分//C5,

1JT

所以.Z_ACB=等

因为S^BC=:AC-CD-sin^ACD+与BC-CD-sin^BCD=字（4+b）,

因为S/^BC——,力。,BC'sinz.ACB=absiTi—^~——ctb»

V3V3

所以.（a+6）=—ab,

L4

~,a+b1

所以——=->

ab2

_111

所以一=T.

ab2

故答案为:1.

14.（5分）己知曲线。是平面内到定点尸（0,-2）与到定直线/：>=2的距离之和等于6的点的轨迹,

若点P在。上，对给定的点7（-2,力，用加⑺表示1PA+|尸刀的最小值，则加⑺的最小值为2

第12页（共20页）

【解答】解：设尸(x,y),当歹22时，|尸产|+厂2=6,

所以+(y+2)2=8—y,化简得：x2=60-20y,jG[2,3],即37=-4/+3；

.____________-1

当y<2时，*|+2-y=6,所以尸丁布可=4+y,整理得：x2=4y+12,蚱[-3,2],即y=_3;

对于曲线C上任意一点P,

则甲尸|+「42|7F],当且仅当尸是线段7F与曲线C的交点时取“=”，

因为|"|=,4+(t+2)222,所以|尸尸出尸"，|7F|22,当且仅当f=-2,

即点7的坐标为(-2,-2)时，加(?)取得最小值为2.

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△48C中，已知。，6,c分别为角A,B,C的对边.若向量m=(a,cosA),向量n=(cosC,c),

且m-n-3bcosB.

⑴求cosB的值;

c成等比数列，求二]

(2)若2a,b,+的值.

tanAtanC

【解答】解：(1)因为zn=(a,cosA),n=(cosC,c),且TH•几=3bcosB,

所以qcosC+ccos4=3bcos5,

由正弦定理，可得sirUcosC+sinCcos^=3sin5cos5,

所以sin(4+C)=3sin5cos5,即sin5=3sin5cos5,

又B为三角形内角，sin5WO,

所以cosB=芽

(2)因为2Q,b,c成等比数列，

所以萨=2ac,由正弦定理，可得sin25=2siiL4sinC,

第13页(共20页)

又cosB=^,8为三角形内角，所以s讥8=公^,

,11cosAcosCcosAsinC+cosCsinAsin(A+C}sinB2sinB2

所以----+-----=-----+----=--------------------------------------$------—

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsin^BsinB

3V2

2,

16.(15分)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在

线调查，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,

4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频

率分布直方图.

(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,

16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记

参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望；

(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“尸201)”表示

这20名学生中恰有人名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中左=0,1,2,

…，20.当尸20(k)最大时，写出人的值.

个频率

W1

0.15..........................~

Q......................................

5

O..O4-

0..O3-

0...0O2

0.1-

0.

.0O2

681012141618日平均阅读时间/小时

【解答】解：(1)由频率分布直方图得：

2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得：

这500名学生中参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为:

500X0.10=50人，500X0.08=40A,500X0.02=10人，

若采用分层抽样的方法抽取了10人，

40

则应从参加公益劳动时间在(14,16]内的学生中抽取：“心”x10=4人,

50+40+10

现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3,

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3

_Cr6.-型一工P(X-1)-以4-_60_1

P(X=0).璘一■120-6'V-1)一宵0一=120=2J

—36__3_p(x—3)—僚_4_1

P(X=2)_120_10'一"一=120=30J

GoC3Q

故X的分布列为:

X0123

P1131

621030

则其期望为E(X)=1xi+2x磊+3x5=当；

(2)由(1)可知参加公益劳动时间在(10,12］的概率p=0.1X2=0.2,

fefe12fe

所以「20(卜)=C^o(O.2)(l-0.2)2°-欠=C^o(O.2)(O.8)°-,

fc2fc

依题意|P2o(k)2P2。/-1)fC^o(O.2)(O.8)°->C窃i(0.2»T(0.8)2ii

[c^(O.2)fe(O.8)2°-fe>C转1(0.2)狂1(0.8)19-3

「2。(幻2P2o(k+l)o

nn20-/c+1no

0.2x——T——>0.8―1621

BP-K解得

20-(k+l)+l'<k<—,

0.8>0.2X

/c+1

因为无为非负整数，所以左=4,

即当尸20(k)最大时，k=4.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD是边长为2的菱形，△DC尸是等边三角形，乙DCB=

Z.PCB=点、M,N分别为DP和48的中点.

(1)求证：〃平面P3C；

(2)求证：平面尸8CJ_平面/BCD；

(3)求CW与平面为。所成角的正弦值.

【解答】证明：(1)取尸C中点E,连接ME,BE,

为。尸中点，N为4B中点、,

11

J.ME//-CD且ME==zCD,

22

11

又"."BN//-CD且BN=今CD,

2，

:.ME〃BN且ME=BN,

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，四边形BEMN为平行四边形，

C.MN//BE,

平面P5C,3£u平面P5C,

〃平面PBC；

证明：⑵:乙DCB=LPCB=£，CD=PC,BC=BC,

:.ABCD%LBCP,过P作PQ_L8c于点°,：.DQ±BC,

：.PQ=DQ=VLPQ2+DQ2=4=P£>2,：.PQ±DQ,

.*.PQ_L平面ABCD,

:尸0u平面PBC,；.平面P2C_L平面ABCD-,

解：(3)如图建系，

则C(VL0,0),P(0,0,V2),D(0,V2,0),M(0,孝，孝)，71(-2,鱼，0),

；.«=(-我,孝，号),AD=(2,0,0),而=(0,-V2,V2),

设平面的一个法向量£=(%,y,z),

设CM与平面PAD所成角为①

•_I_旦

・・sinu―———I11二一

\CM\\n\J2+M•&，

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18.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数。除以整数加（〃[W0）除得的商正好是整数而没有

余数，我们就称。为加的倍数，称优为。的约数.设正整数。共有后个正约数，记为。2,…，ak

-1,ak（。1<42<…<四）・

（1）当k=4时，若正整数。的左个正约数构成等比数列，请写出一个。的值；

（2）当左三4时，若Q2-Q1，13-〃2,…，。左-徽-1构成等比数列，求证：。=滋—1（忆之4）;

（3）记力=。1〃2+。2的+…+〃左.1。左，求证：A<a2,

【解答】解：（1）当左=4时，正整数。的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为8的所有正

约数，即4=8；

或1,3,9,27为27的所有正约数，即。=27；或1,5,25,125为125的所有正约数，即。=125；

（首项为1,公比为质数的等比数列的第四项均可）

（2）证明：由题意可知，6Z1=1,ak=a,且•四=42•四-1=。3・袱-2=~=Q，

因为Q2-Q1，的-Q2，…。左-延-1构成等比数列，不妨设其公比为夕,

贝叼二矣=辛日其所以香1-—

___a2

11'

a2a3

化简得：aj-(«2+1)。3+=0,所以(。3-«2)(a3-1)=0,

~^=a,

又因为的>1，所以的=城，所以公比（?=。3-。22

。2—1。2—1

所以以-CLk-1=(。2一。1)，q『2=(a2-1)°a2~2f

又因为以一，a-=总,所以"冷@7•滋R

又因为Q2>1，所以Q=滋一1（々24）;

(3)由题意知，a\ak=a,aiak-\=a,…，aiak+\-i=a,…，(iWz.WAO,

心+__+…+卫日在1,。2一。1111V纵一纵一1

所以/,因为----<------

ak-lakak-2ak-lala2ak—lQk纵-1纵

11

ak—lak

心+^^+...+£=0211I

所以4=(++…H-----)

ak-lakak-2ak-lQk—iak纵-2纵-1ala2

111111c11

0(———+———+...H---=a2(———),

aia2a3ak-lak口1ak

,11

因为m=l,ak—a,所以———VI,

耿

所以4<a2(-...-)<a2,即A<a2.

alak

%2y21

19.（17分）已知椭圆C：/+力l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1、Fi,离心率为5,经过点尸1

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且倾斜角为e（ovev*）的直线/与椭圆