2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x0≤x≤3，B={xx<1或x≥3}，则图中的阴影部分表示的集合为A.x1≤x≤3 B.x1<x<3 C.x1≤x<32.若集合M=(x−y,x+y)y=2x，则A.3,−1∈M B.−1,3∈M C.−1,2∈M3.设a，b∈R，则“2a=2b”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)的定义域是[−1,4]，则函数f(x+1)x−1的定义域是A.(1,5] B.(1,4] C.[1,3] D.(1,3]5.已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1,ax,x>1,A.−∞,−2 B.−∞,0 C.−3,−2 D.−3,−26.已知fx=2x2−x+1，a=fA.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b7.已知函数f(x)对任意x1，x2∈R，x1≠x2，总有(x1A.[−1,2] B.[0,1]

C.(−∞,0)∪(1,+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)8.已知函数fx是定义在0,+∞上的增函数，当n∈N∗时，fn∈N∗.A.4 B.5 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知甲、乙两城相距80 km，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有

A.骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动

B.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 ℎ，晚到1 ℎ

C.骑摩托车者在出发1.5 ℎ后追上了骑自行车者

D.骑摩托车者在出发1.5 ℎ后与骑自行车者速度一样10.已知幂函数f(x)=(m−1)xα的图象经过点(8,1A.m=2

B.f(0)=0

C.f(x)是偶函数

D.若f(3−2x)>f(x+1)，则x∈(11.用x表示不超过x的最大整数，例如，−1.2=−2，1.5=1.已知fxA.f23=23

B.fx为奇函数

C.∀x1>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.eln13.已知两个正实数x，y，满足x+y=1，且不等式4x+xy≤14.已知函数f(x)为[−1,1]上的奇函数，函数g(x)=x2−4x+3，若g(f(x))在[−1,1]上的值域为[−1,15]，则f(x)在[−1,1]四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数fx=x(1)求集合M={xf(2)设N={xx∈∁RM,x∈Z}，若N中恰好有16.(本小题12分)已知函数f(x)=2ax+b4−x2是定义在区间(1)求a，b；(2)判断f(x)在区间(−2,2)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t的不等式f(t−1)+f(t)<0．17.(本小题12分)已知函数f(x)=4x+a(1)当a=1时，求f(x)在区间[1,+∞)上的最小值；(2)若∀x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得18.(本小题12分)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1−污物质量物体质量(含污物))为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1(x>a−1)，用y(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(2)若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？19.(本小题12分)我们知道，奇函数的图象关于原点对称．类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y=f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，都有f(2m−x)+f(x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心．比如，函数y=1x+1就是中心对称函数，其对称中心为(0,1).且中心对称函数具有如下性质：若(m,n)为函数f(x)(1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，且当x>1时，f(x)=x(x+1)，求f(0)，f(1)的值．(2)已知函数f(x)=1(3)求数组(a,b,c)的个数，其中−2024≤a<b<c≤2024，a，b，c∈Z，且g(x)=1x+1+1参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BC

10.AC

11.ACD

12.6

13.(−∞,−2]∪[4,+∞)

14.[−2,2]

15.解：(1)f(x)=x2−bx+b−1=[x−(b−1)](x−1)．

 ①当b−1>1，即b>2时，由f(x)≥0得x≥b−1或x≤1，∴M={x|x≥b−1或x≤1}．

 ②当b−1=1，即b=2时，f(x)=(x−1)2≥0恒成立，∴M=R．

 ③当b−1<1，即b<2时，由f(x)≥0得x≥1或x≤b−1，∴M={x|x≥1或x≤b−1}．

综上，当b>2时，M={x|x≥b−1或x≤1};

当b=2时，M=R;

当b<2时，M={x|x≥1或x≤b−1}．

(2) ①当b>2时，∵∁RM=(1,b−1)，N中恰好有2个元素，∴3<b−1≤4，4<b≤5，

 ②当b=2时，M=R，N=⌀，不合题意;

 ③当b<2时，∵∁RM=(b−1,1)，N16.解：(1)由函数f(x)=2ax+b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数知f(0)=b经检验，b=0时，f(−x)=−2ax4−x2=−2ax4−x2解得a=1

，故f(x)=2x4−x(2)fx在(−2,2)上为增函数.

证明：在(−2,2)任取x1,则f(x因为x2−x1>0，4+所以f(x2)−f(x1所以fx在(−2,2)(3)因为fx为奇函数所以−f不等式f(t−1)+f(t)<0可化为f(t−1)<−f(t)，即f(t−1)<f(−t)，又fx在−2,2上是增函数，所以t−1<−t−2<t−1<2−2<−t<2所以关于t的不等式解集为−1,1

17.解：(1)当a=1时，f(x)=4x+12x=2x+12x，

令t=2x，则由x∈[1,+∞)，可知t的取值范围为[2,+∞)，

故原函数可化为y=t+1t(t≥2)，

由对勾函数性质，可知y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，

因此y=t+1t在t=2时取到最小值52，此时x=1，

所以当x=1时，f(x)在[1,+∞)上取到最小值f(1)=52．

(2)依题意，g(x)=(x−2)2+2，

故当x1∈[1,4]时，g(x)min=g(2)=2，g(x)max=g(4)=6．

因为∀x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x2)=g(x1)，

设f(x)在[1,4]上取值的集合为集合A，则有[2,6]⊆A.

当a≤0时，显然有f(x)在区间[1,4]上单调递增，

此时f(x)18.解：(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有

x+0.8x+1=0.99，

解得x=19．

由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：

y+0.95ay+a=0.99，

解得y=4a，故z=4a+3．

即两种方案的用水量分别为19与4a+3．

因为当1≤a≤3时，x−z=4(4−a)>0，

即x>z，

故方案乙的用水量较少．

(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得

x=5c−45(1−c)，y=a(99−100c)(∗)

于是

x+y=5c−45(1−c)+a(99−100c)

=

15(1−c)+100a(1−c)−a−1，

当a为定值时，

x+y≥215(1−c)×100a(1−c)−a−1=−a+45a−1，

当且仅当

15(1−c)=100a(1−c)时等号成立．

此时

c=1+1105a(不合题意，舍去)或c=1−1105a，c∈(0.8,0.99)19.解：(1)由已知，f(2−x)+f(x)=4，令x=0，得f(2)+f(0)=4，又f(2)=6，故f(0)=−2，

令x=1，得2f(1)=4，故f(1)=2．

(2)对称中心为(−2,0)，

证明：函数f(x)的定义域为{x|x≠−1且x≠−3}，关于点(−2,0)对称，

由已知f(−4−x)+f(x)

=1−4−x+1+1−4−x+3+1x+1+1x+3

=1−3−x+1−1−x+1x+1+1x+3=0，

故对称中心为(−2,0)．

(3)先证明对实数a≤b≤c≤d≤f，若函数f(x)=1x+a+1x+b+1x+c+1x+d+1x+f为中心对称函数，则a+f=b+d=2c，且对称中心为(−c,0)，事实上，一方面，由f(x)为中心对称函数知，其定义域{x|x≠−a,−b,−c,−d,−f}也必然对称，故对称