数学课后导练：第二讲第四节弦切角的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。如图2—4-7,PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O,∠P=40°,则∠ACP等于(）图2-4-7A.20°B.25°C.30°D。40°解析：连结OC，∵PC切⊙O于C,∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°。∴∠P+∠COP=90°.∴∠COP=90°-∠P=50°。又∵∠PCA是弦切角,∴∠PCA=∠AOC=25°。答案：B2.如图2-4-8，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径,MN是⊙O切线，C为切点，若∠BCM=38°,则∠B等于（)图2-4—8A.32°B。42°C.52°D。48°解析:连结AC,∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠B+∠BAC＝90°。∴∠B+∠BCM=90°.∴∠B=90°-∠BCM=52°。答案：C3.如图2—4-9,CA为⊙O的切线,切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于(）图2—4-9A。55°B。90°C。110°D。120°解析：延长AO交⊙O于D,连结BD,∵AC切⊙O于A，AB是弦，∴∠D=∠CAB。又∵∠D=∠AOB,∴∠AOB=2∠CAB=110°。答案:C4。如图2-4—10,∠ABC=90°,O是AB上一点，⊙O切AC于D,交AB于E，连结DB、DE、OC，则图中与∠CBD相等的角共有()图2—4-10A。1个B.2个C.3个D。4个解析:∵AB⊥BC,∴BC与⊙O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.同理,∠CDB=∠BED.∴∠CBD=∠CDB.又OC⊥BD,DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴共3个。答案：C5.如图2—4—11，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（)图2—4—11A。65°B。115°C.65°或115°D。130°或50°解析：点P可能位置有两种情况，点P在优弧上或在劣弧上。图2-4—12(1)如图2—4-12，在优弧上,∵AB、AC是切线,∴∠ABC=∠P1,∠ACB=∠P1，∠ABC=（180°—∠A）=65°.(2）如图2—4—13,在劣弧上,可在优弧上任取一点Q,图2-4—13由(1）知∠Q=65°，∵四边形BP2CQ内接于圆O,∴∠BP2C∴∠BP2C综上，∠BPC=65°或115°。答案:C温馨提示本题运用了运动变化思想、分类思想和化归思想.综合运用6.如图2—4—14,AD是圆内接△ABC的∠A的平分线,交圆于D,E为BC中点，BF为圆的切线,DF⊥BF.求证：DE=DF。图2-4-14证明：连结BD,∵BF是切线,BD是弦,∴∠DBF=∠BAD。∵=,∴∠DBC=∠DAC.又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC。∴∠DBF=∠DBE，即BD是∠EBF的平分线。∵∠BAD=∠DAC,∴=,即D是中点。∵E是BC中点,∴DE⊥BC.∴DE=DF。7。如图2-4—15,梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于点E,⊙O的切线EF交BC于F，求证：EF⊥BC。图2—4-15证明：∵AD是直径,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°。∵EF切⊙O于点E,DE是弦，∴∠DEF=∠A.∴∠A+∠BEF=90°.∵AD=BC，AB∥DC，∴∠B=∠A。∴∠B+∠BEF=90°.∴∠BFE=90°.∴EF⊥BC.8。两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B、C。求证：∠APB=∠CPD。图2-4—16证明：过P作两圆的公切线MN。∵PB是小圆弦,MN是切线，∴∠BPM=∠BCP.∵PA是大圆弦,MN是切线，∴∠APM=∠D.∴∠BPM—∠APM=∠BCP—∠D。又∠BCP=∠D+∠CPD，∴∠BCP-∠D=∠CPD。∴∠APB=∠CPD.9.如图2-4—17，AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上一点M的切线.图2—4—17求证:(1）AB∥CD时,AM=MB。(2）AM=MB时，AB∥CD。证明:(1)∵AB∥CD，∴∠A=∠AMC.∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠A=∠B。∴AM=BM。(2）∵AM=MB,∴∠A=∠B。又∵CD切⊙O于M,AM是弦，∴∠AMC=∠B.∴∠AMC=∠A.∴AB∥CD.拓展探究10。如图2—4—18,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动（不与点M重合),点Q在半圆O上运动且总保持PQ=PO,过Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.图2—4-18(1)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状作出猜想，并证明；(2)当QP⊥AO时,△QCP的形状是___________三角形。(3）由(1）、(2)得出的结论,请你进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时△QCP一定是___________三角形。解析:（1）△QCP是等边三角形，证明:连结OQ,则CQ⊥OQ.∵PQ=PO，∠QPC=60°，∴∠POQ=∠PQO=30°。∴∠C=∠CQO—∠POQ=60°。∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°。∴△QPC是等边三角形.(2）等腰直角（解析:略）（3）等腰（解析:略）备选习题11.如图2-4—19，BC为⊙O直径，DE切⊙O于A点，BD⊥DE于D，若∠ABD=50°,则的度数为_________________.图2-4-19解析：∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°。∴∠ABD+∠BAD=90°。∴∠BAD=90°-50°=40°。∵AB是弦，AD是切线,∴∠C=∠BAD=40°。∴BC是直径.∴∠BAC=90°。∴∠C+∠ABC=90°.∴∠ABC=90°—∠C=50°。∴的度数为100°.答案:100°12。如图2-4-20,AB为⊙O的直径,DA、DE为⊙O两切线,A、C为切点，A、B、E共线，若的度数为60°,则∠CAD的度数为____________，∠E的度数为_____________.图2-4-20解析：∵度数为60°，∴∠BAC=30°,∠BCE=30°。∵AD为切线,∴BA⊥AD。∴∠BAC+∠CAD=90°.∴∠CAD=90°—∠BAC=60°.∵AB为直径,∴∠ACB=90°。∴∠ABC=90°-∠BAC=30°.∴∠E=∠ABC—∠BCE=30°。答案:60°30°13。两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于C，求证：∠APC＝∠CPB.图2—4—21证明:过P作两圆公切线MN,设PB交小圆于D，连结CD.∵PC是小圆弦,MN切小圆于P,∴∠MPC=∠PDC.∵PA是大圆弦,MN切大圆于P,∴∠MPA=∠B。∴∠MPC-∠MPA=∠PDC—∠B。∵∠PDC=∠B+∠BCD，∴∠PDC-∠B=∠BCD.∴∠APC=∠BCD.又AB切小圆于C，CD是小圆弦,∴∠BCD=∠CPB。∴∠APC=∠CPB.14。如图2-4—22，△ABC中，过A与BC相切于D的圆分别交AB、AC于E、F,且EF∥BC。求证:AD平分∠A。图2—4-22证明:连结DF，∵BC切圆于D，DF是弦，∴∠3=∠2.∵EF∥BC,∴∠3=∠4。又∠1=∠4,∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC。15。如图2-4—12(1)，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB,P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q,过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R，易证RP=RQ(不要求证明）.(1)现将PA向上平移至图2—4—23（2)位置,结论还成立吗?若成立,请证明。(2)若将PA向上平移至⊙O外,结论还成立吗？如图2-4—23(3）,若成立，请证明.(1）(2)(3）图2-4-23解析：(1)成立.证明：连结OQ,则QR⊥OQ。∴∠PQR+∠BQO=