数学课后导练：绝对值三角不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1已知｜a+b|=|a｜+｜b｜,a、b∈R,则一定有…()A.ab<0B.ab〉0C.ab≥0D.ab=0解析:由｜a+b｜=｜a｜+|b|,得(a+b）2=（｜a｜+｜b|）2.∴a2+b2+2ab=a2+b2+2｜ab|，即|ab｜=ab。∴ab≥0。答案：C2若|a—c｜〈|b｜，且a、b、c均为不等于零的实数，则下列不等式成立的是（)A.a〈b+cB.a>c—bC.｜a｜<｜b|+|c｜D.｜a|>｜b|〉｜c｜解析：∵|a-c｜≥|a|-｜c|,∴｜b|>｜a-c|≥|a｜—|c｜。∴｜a|<｜b｜+|c｜.答案:C3已知函数f(x）=-2x+1，对任意实数ε,使得｜f（x1）-f（x2)｜<ε的一个充分但不必要的条件是（)A.|x1—x2｜<εB。｜x1-x2|〈C。｜x1—x2｜<D.|x1—x2｜>解析：∵|f(x1)—f(x2)|=｜—2x1+2x2｜=2｜x1—x2|,若｜x1—x2|〈,则｜f(x1）-f(x2)|<〈ε。而|f(x1）-f（x2)|〈ε|x1—x2｜<，∴应选C。答案:C4不等式≤1成立的充要条件为（）A.ab≠0B。a2+b2≠0C.ab〉0D.ab<0解析:≤1故a≠0且b≠0，∴a2+b2≠0。∴应选B。答案:B5|a|<1，|b｜<1，a、b∈R,那么|a+b｜+|a—b｜与2的大小关系是______________—。解析：不妨设｜a｜≥｜b｜，则（｜a+b｜+|a—b｜）2=2（a2+b2）+2|a2-b2|=2(a2+b2）+2a2-2b2=4a2<4.∴|a+b｜+|a—b|〈2。答案：｜a+b|+｜a-b|〈2综合应用6不等式｜2x—log2x|〈2x+｜log2x|成立,则x的取值范围为_____________.解析:∵|a+b|≤｜a｜+|b｜取不等号“<”的条件是ab<0,又∵x>0，∴原不等式等价于2x·（-log2x）<0，即log2x〉0.∴x>1。∴x的取值范围为{x｜x〉1}.答案：{x|x>1}7已知函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），当x∈[—1，1］时,|f(x）|≤1.(1）证明｜b｜≤1;（2)若f（0)=-1，f(1)=1，求实数a的值。(1)证明:∵x∈［-1,1］时,｜f（x)|≤1，∴｜f(-1)｜≤1，|f（1)｜≤1.而b=［（a+b+c）—（a—b+c）］=［f（1)—f(—1）］，∴|b｜=｜f(1）—f(-1）|≤［｜f（1)|+|f(-1）｜］=1。(2)解析：∵f（0）=c=-1,f（1)=a+b-1=1,∴b=2—a.∴f（x）=ax2+(2—a）x-1.∵x∈［—1，1]时，|f（x）|≤1,∴|f（—1)|≤1,即|2a—3｜≤1。∴1≤a≤2。f（x）的对称轴x==-∈[—，0］[-1,1］。∴｜f(）|≤1，整理得|+1｜≤1。注意到a>0,∴≥0。∴+1≥1。∴=0.∴a=2.8(1)设p、q、x∈R，pq≥0,x≠0，求证:|px+｜≥.（2)设m是｜a|、|b｜和1中最大的一个，当|x｜>m时,求证：|｜<2。证明：（1)pq≥0，那么（px）·（）≥0，∴｜px+|=｜px｜+|｜≥(2）m是|a|、|b｜和1中最大的一个，则有m≥｜a｜,m≥|b|，m≥1。∵｜x｜>m≥|a|,｜x|>m≥｜b|，|x｜>m≥1,就有｜x｜2〉｜b｜,∴||≤=<=2。9(1）a、b∈R,且|a|≠｜b|,求证：≥|a｜-｜b|.（2)a、b∈R，c>0，求证:|a+b|2≤(1+c)|a|2+(1+)|b｜2.证明:（1）观察要证的不等式的左、右端，可以发现应用不等式｜a-b｜≥｜a|-｜b|的可能性。∵==·（｜a｜+｜b｜）=||a｜-|b｜｜（1+)≥｜|a｜—｜b｜｜≥|a|-|b｜.∴原不等式成立。（2)右式=|a｜2+｜b｜2+c|a|2+|b|2≥｜a｜2+｜b｜2+=（|a｜+|b｜)2≥|a+b｜2=左边，∴原不等式成立。拓展探究10对定义在［-1，1］上的函数f（x),若存在常数A〉0,使得对任意x1、x2∈［—1,1］，都有｜f（x1)—f(x2)|≤A·｜x1—x2｜,则称f（x)具有性质L.问函数f（x）=x2+3x+5与g（x）=｜是否具有性质L?试证明之。思路分析：要确定一个函数具有性质L，其关键是要能找到满足题设条件中的常数A,而要确定一个函数不具有性质L,则一般需通过反证法来证明或寻找一个反例.解析：(1)对于f（x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈［—1，1］,|f（x1)-f(x2）｜=|x12—x22+3（x1—x2)|=|(x1-x2）（x1+x2+3）｜=|x1—x2｜·|x1+x2+3｜≤|x1—x2｜·(|x1|+|x2|+3)≤5｜x1—x2｜.∴存在A=5,使f（x）具有性质L.(2)对于g(x)=,设它具有性质L,任取x1、x2∈［0，1]，则|g(x1)—g(x2）|=｜—｜=≤A|x1-x2｜,∴A≥,≤2.∴∈（0，2］。取x1=≤1，x2=,有,与≥矛盾,故g(x)=不具有性质L。备选习题11已知f(x)=—x2，x∈［0,1]，对于x1、x2∈［0，1],则|f（x1）-f（x2）|的最大值为________解析:画出函数y=—x2的图象,在x∈［0,1］上，函数单调递减.f（x)max=f（0）=0，f(x)min=f（1）=0—1，∴｜f（x1）-f（x2）｜的最大值为1.答案:112已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c,g（x)=ax+b,当—1≤x≤1时，｜f(x）｜≤1.(1）证明｜c|≤1;(2)证明当—1≤x≤1时，|g（x)｜≤2。证明:(1)∵-1≤x≤1时,｜f（x）｜≤1,∴|c｜=|f(0）|≤1.(2)注意到x=(）2—(）2，可得g(x)=ax+b=a［（）2—（）2］+b(-）+(c-c)=［a（)2+b（）+c］-［a()2+b(）+c］=f()—f(）.当-1≤x≤1时，有0≤≤1,-1≤≤0，∴|f（)|≤1,｜f（）|≤1。于是｜f()—f(）｜≤｜f（)｜+|f（）｜≤2,即｜g（x）|≤2.13已知函数f(x)=x2—1(x≥1）的图象是C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。(1)求曲线C2的方程y=g（x）；(2)设函数y=g（x)的定义域为M,x1、x2∈M且x1≠x2,求证:|g（x1)—g（x2）|〈｜x1—x2｜；(3)设A、B是曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交.解析:(1)由题设易知y=g（x)与y=f（x）互为反函数，所以g（x)=（x≥0)。（2)设x1≥0,x2≥0，且x1≠x2,则有|g(x1）-g（x2)｜=|｜=〈｜x1-x2｜。(3）设A(x1,y1）、B(x2,y2)是曲线C2上任意不同两点(x1≠x2)，则｜kAB|=〈1,即kAB≠1,故直线AB与直线y=x必相交。14（1）已知α1，α2，α3，…，αn为n个实数,求证:cosα1cosα2…cosαn+sinα1sinα2…sinαn≤m时,m的最小值为;（2）证明|sin（x1+x2+x3)|≤|sinx1｜+|sinx2|+|sinx3|;(3）已知数列通项公式an=，对于正整数m、n,当m>n时，求证:｜am—an|<.证明：(1）cosα1cosα2…cosαn+sinα1sinα2…sinαn≤｜cosα1cosα2…cosαn｜+|sinα1sinα2…sinαn|≤｜cosα1｜+|sinα1｜=≤，∴m的最小值为。（2）|sin(x1+x2+x3)|=｜sin［(x1+x2）+x3］|=｜sin(x1+x2）·cosx3+cos（x1+x2)·sinx3｜≤|sin（x1+x2)cosx3｜+|cos(x1+x2）·sinx3｜≤|sin（x1+x2）|+｜sinx3｜≤|sinx1|+|sinx2|+|sinx3|.（3）｜am-an｜=｜++…+｜≤||+|｜+…+||≤=15已知｜lga—lgb｜≤1，求证：。证明