数学课后导练：直线和圆的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是(）A.（t为参数）B。（t为参数)C.（t为参数）D.(t为参数)解析一：根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A选项的斜率是1,B选项的斜率是—2，C选项的斜率是2,D选项的斜率是.所以只有C符合条件,这里C虽然不是标准式的参数方程，但是只有C能化成2x-y+1=0.解析二：化各参数方程为普通方程,再去比较.答案：C2。已知参数方程（a、b、λ均不为零,0≤θ≤2π).当（1）t是参数；（2）λ是参数;（3）θ是参数,则下列结论中成立的是(）A.（1)（2)(3）均为直线B。只有(2）是直线C。（1）(2）是直线，(3）是圆D。（2)是直线，(1）（3)是圆锥曲线解析:若t是参数,a、b、λ、θ为常数,消去t得一个关于x、y的二元一次方程,故t是参数时,参数方程表示直线，若λ是参数，a、b、t、θ是常数，消去λ后方程化为关于x、y的二元一次方程,故λ是参数时，参数方程仍表示直线;若θ是参数，a、b、t、λ是常数,消去θ后方程化为(x-at)2+（y—bt）2=λ2,参数方程表示圆。答案:C3。两条曲线的参数方程分别是(θ为参数),(t为参数）,则其交点个数为……(）A.0B。1C.0或1D。2解析：两个参数方程分别表示线段x-y+2=0(-1≤x≤0,1≤y≤2）和椭圆+=1,所以两曲线只有一个交点。答案：B4.若（λ为参数）与(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是()A。λ=5tB.λ=—5tC.t=5λD。t=-5λ解析：依题意,由得—3λ=tcosα，由,得4λ=tsinα，消去α的三角函数,得25λ2=t2，得t=±5λ,借助于直线的斜率可排除D。答案：C5。直线(t为参数)被圆x2+（y-1)2=9所截得的线段长等于（）A.3B。6C。9D.与α的值无关解析:把x=tcosα,y=1+tsinα代入圆的方程，得t2cos2α+t2sin2α=9,得t2=9,得t1=3，t2=—3，线段长为|t1-t2｜=6。答案:B6.按照规律(t是参数）运动后，质点从时间t1到t2经过的距离是____________。解析:时间t1对应的点A的坐标是(a+t1cosθ,b+t1sinθ），时间t2对应的点B的坐标是(a+t2cosθ,b+t2sinθ)，利用两点距离公式可以求得质点从时间t1到t2经过的距离|AB|===|t1—t2|。答案:｜t1-t2|7。直线l经过点M0（1，5），倾斜角为，且交直线x-y—2=0于M点,则|MM0｜=___________.解析：直线l的参数方程为（t为参数），代入方程x—y—2=0中得1+t-(5+t)—2=0t=—6（—1).根据t的几何意义即得|MM0|=6(—1).答案：6(-1)8。已知直线l的参数方程是(t为参数),其中实数α的范围是（0,),则直线l的倾斜角是_____________.解析:首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角.答案:—α9.过点A(1,1）作直线,被椭圆+=1所截得的弦被此点平分,则此直线方程为__________。解析：设直线为（t为参数)代入椭圆方程并整理得(4cos2α+9sin2α）t2+(8cosα+18sinα)t-23=0.∵t1+t2=0,∴8cosα+18sinα=0。∴tanα=.∴直线方程为4x+9y—13=0。答案：4x+9y—13=010。下表是一条直线上的点和对应参数的统计值：参数t262横坐标x2—12—30纵坐标y5+65+37根据数据可知直线的参数方程是___________，转化为普通方程是(一般式)___________,直线被圆(x-2）2+（y—5)2=8截得的弦长为_______________。解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的综合问题。充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程(t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5）,恰好是所给圆的圆心，所以直线被圆所截的弦长恰好是圆的直径，易知直径长为4.答案：(t为参数）x+y-7=04综合运用11。给出两条直线l1和l2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y轴上的截距相等,那么直线l1和l2叫做“孪生直线".（1)现在给出4条直线的参数方程如下：l1：(t为参数)；l2: (t为参数)；l3:(t为参数）;l4:(t为参数)。其中构成“孪生直线”的是_________________.(2）给出由参数方程表示的直线l1：(t为参数),直线l2:(t为参数）,那么,根据定义，直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是________________.解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0，互为相反数，且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点。对于题(1）,首先可以判断出其斜率分别为—1，1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值，代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反，可以构成“孪生直线”。对于题（2）首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2，即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcosα1=0，可得t=代入得y=y1-x1tanα1。同理，可得直线l2在y轴上的截距是y=y2—x2tanα2。由定义中的条件“截距相等”可得y1—x1tanα1=y2-x2tanα2,即y1—y2=x1tanα1-x2tanα2。如果把tanα1=—tanα2代入式子还可以进一步得到y1—y2=x1tanα1+x2tanα1，即y1-y2=(x1+x2）tanα1。答案：（1）直线l1和直线l4（2）tanα1+tanα2=0且y1—y2=x1tanα1-x2tanα2〔也可以写成y1—y2=(x1+x2）tanα1〕12。过原点作直线l,交直线2x-y—1=0于A,交2x+y+3=0于B，若原点为线段AB的中点，求l的方程.解：设l的倾斜角为α,则l的参数方程为（t为参数）.将方程分别代入两直线方程中，2tcosα-tsinα=1,得t1=;2tcosα+tsinα+3=0，得t2=。∵O（0，0)为AB中点,∴t1+t2=0.-=04cosα=4sinα。∴k=tanα=1,所求l的方程为y=x.13.直线l经过点(0，）斜率为2,交椭圆+=1于A、B两点,求AB中点到点(0,）的距离.解：由k=2=tanα，∴sinα=，cosα=，直线l的参数方程为（t为参数)。代入椭圆方程9（t）2+4（+t)2—36=05t2+16t-16=0.所求距离d=|t1+t2|=｜｜=.拓展探究14.已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为θ，与抛物线y2=—8x交于A、B两点。（1)求｜PA｜·|PB｜的最小值及此时l的方程；（2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程；(3)若线段AB被P（—1，1）三等分,求l的方程.分析:由于题目所求部分有明确几何意义，可考虑用直线的参数方程.解:设直线l的参数方程为(t为参数）,代入抛物线方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα—7=0.∵Δ=（2sinα+8cosα）2+28sin2α=48+16sin(2α+）＞0,∴它的两根t1、t2为AB对应的参数值。(1）|PA|·｜PB｜=|t1｜·|t2|=|t1t2|=.(α≠kπ，否则直线与抛物线只有一个交点)当sinα=±1时，|PA｜·｜PB｜有最小值7,此时直线方程为x=—1。（2）若P为中点,则t1+t2=0,∴=0。∴k=tanα=-4.直线l的方程为4x+y+3=0.(3）P为AB的三等分点，不妨设｜PA｜=2|PB｜，即t1=—2t2,∴t1+t2=-t2，t1t2=—2t22。∴—2(t1+t2)2=t1t2.由韦达定理知,整理得（3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.∴k1=tanα1=，k2=tanα2=-8.故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0。15。已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P（4,0）,若点M分所成的比为1∶2，求点M的轨迹.分析:本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化，要求的是动点的轨迹，可以先求出其轨迹方程，然后根据方程得知其轨迹.解：设点Q（2cosθ,2sinθ）、M（x,y），则由题意得即。两式平方相加，得点M的轨迹方程为(－2）2+(）2=4，即（x－)2+y2=。故其轨迹为以点（,0)为圆心、为半径的圆.16.已知实数x、y满足(x+1)2+（y—2)2=16，求3x+4y的最值。分析:这样的题目可考虑利用数形结合，把满足方程的x、y视为圆（x+1)2+（y－2）2=16上的动点，可考虑利用圆的参数方程来求解，也可引入向量来求解。解:由题意,设代入3x+4y=3(－1+4cosθ)+4(2+4sinθ）=20cos（θ+α)+5.于是3x+4y的最大、最小值分别为25、15.17.如图，圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程。分析：本题是一道很综合的题目.由题意建立坐标系,写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=PN,即（PM）2=2（PN）2，结合图形由勾股定理转化为PO12－1=2（PO22－1