数学课后导练：直线与平面的夹角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ,a是平面α的斜线，b是平面α内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）A.最小值为θ，最大值为π—θB.最小值为θ，最大值为C.最小值为θ,无最大值D.无最小值，最大值为答案：B2。如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D(）A。30°B。60°C.45°D.90°答案：A3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1A.15°B。45°C.60°D。30°答案：D4。如左下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1答案：5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________.答案:锐角三角形6。四面体S—ABC中,SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：(1）BC与平面SAB所成的角；（2)SC与平面ABC所成角的正弦值。解析:（1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直，∴SC⊥面SAB.∴∠CBS是BC与平面SAB所成的角.∵∠CBS=60°,∴BC与平面SAB所成的角为60°。（2)连结MC，在Rt△ASB中,∠SBA=45°,则SM⊥AB.又SC⊥面SAB,∴SC⊥AB,∴AB⊥面SMC。过S作SO⊥MC于点O,则SO⊥AB,∴SO⊥面ABC,∴∠SCM是SC与平面ABC所成的角.设SB=a，则SC=a，SM=a，在Rt△CSM中,CM=a,∴sin∠SCM=.7.在Rt△ABC中,∠A=90°，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，（1）求PA与平面ABC所成角的大小;（2)PA的长等于多少时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上?解：(1）如右图，过P作PO⊥平面ABC于O,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角，易证AO为∠BAC的平分线,则∠OAB=45°。由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得cos∠PAO==，∴∠PAO=45°.∴PA与平面ABC所成的角为45°.（2）若O∈BC，在△AOB中,BO=，sinB=,由正弦定理可求得AO=.∴PA=f，即PA=时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上。8.如右图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3。解:建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1，0，0)，B（1,1，0），P（0，1,，m)，C(0，1,0），D(0，0,0），B1（1,1，1),D1(0，0,1）所以=（—1，1，0),=(0，0,1）,=（-1，1，m），=（—1,1，0)，又由·=0，·=0知,为平面BB1D1D的一个法向量。设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ=cos（—θ）=依题意有,解得m=，故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32。9.如右图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F当λ=3时，求EF与平面ABCD所成的角。解析：如右图建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，E（1,2，0)。当λ=3时，F(0，2，1）,=（—1,0，1).设平面ABCD的法向量为n,则n=(0,0，1）。设与n的夹角为θ，则cosθ=∴EF与平面ABCD所成的角为45°.综合运用10.如下图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1求：BD1和底面ABCD所成的角。解：正四棱柱AC1中,CC1⊥底面A1C1∴CC1⊥D1C1∵底面是正方形,∴D1C1⊥B1C∴D1C1⊥侧面BC1∴D1C1⊥BC1∴∠D1BC1就是BD1与侧面BC1所成的角。∴∠D1BC1=30°,∵D1B=8，∴D1C1=4,B1D1==BD。∵D1D⊥底面AC，∴∠D1BD就是BD1与底面AC所成的角。△D1BD中，cos∠D1BD=。∴∠D1BD=45°，即BD1和底面ABCD所成的角为45°。11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长为a。（1）建立适当的坐标系,并写出点A、B、A1、C1的坐标;(2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角。解：（1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1由已知，得A（0，0,0)、B（0,a，0)、A1（0，0，2a）、C1（-a，，a).(2)坐标系如右图，取A1B1的中点M,于是有M(0,,a），连结AM、MC1，有=(a，0，0)且=(0,a，0），=（0，0,a)。由于·=0，·=0,∴MC1⊥面ABB1A1∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1∵=(a，,a)，=(0，,a），∴·=0++2a2=a2.而||==a，|｜==a。∴cos〈,〉=。∴与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。12.如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面C证明:因为ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以A1连结AC，则AC是A1C在平面ABCD内的射影。又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A1C。又A1B1⊥平面B1BCC1，连结B1C，则B1C是A1C在平面B1BCC1内的射影.因为BC1⊥B1C,所以由三垂线定理知BC1⊥A1C因为BD∩BC1=B，所以A1C⊥平面C1BD。拓展研究13.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。（1)证明PA∥平面EDB；(2）求EB与底面ABCD所成的角为正切值.分析:如下图所示建立空间直角坐标系，D是坐标原点,设DC=a.（1）证明:连结AC，AC交BD于G,连结EG。依题意得A（a,0，0),P（0,0,a)，E(0，，)。因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心.故点G的坐标为(，,0).所以=(a,0,—a）。=(,0，—）。所以=2.这表明PA∥EG.而EG平面EDB且PA平面EDB，因为PA∥平面DEB.(2)解:依题意得B（a，a，0)，C（0,a,0).取DC的中点F（0,,0),连结EF