2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）零诊数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）零诊数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2A.272 B.270 C.157 D.1532.直线l：x+y=1，圆C：x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆A.2 B.23 C.23.若f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=x22+3xf′(3)，则A.−152 B.−92 C.4.某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为(

)

①a的值为0.005

②估计这组数据的众数为75

③估计这组数据的下四分位数为60

④估计成绩高于80分的有300人A.1 B.2 C.3 D.45.已知数列{an}满足a1=1,A.n−1 B.1n−1 C.n D.6.设函数f(x)=2x−2x−alnx在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)7.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率(

)A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.528.设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0A.[−32e,1) B.[−32e,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是7.5

B.随机变量X∼B(4,p)，若E(X)=43，则D(X)=89

C.已知随机事件A，B，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，若P(B|A)+P(B−)=1，则事件A，B相互独立

D.若随机变量10.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A.AA1⋅BC=1

B.AA1⊥BD

C.A11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第n次“美好成长”后得到的数列为1，x1，x2，…，xk，3，并记anA.a3=12 B.k=2n−1

C.an+1=3a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(1,1,0)、B(0,3,0)、C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量是______．13.在(2x−1x)5的展开式中，x的系数为______14.已知双曲线x264−y257=1左右焦点分别为F1，F2，点P为右支上一动点，圆M与F1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M为BC的中点．

(1)求点B到平面PAM的距离；

(2)求平面PAM与平面PDC16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且该数列满足an+1=2an+3，a1=−2．

(1)求证：数列{an+3}17.(本小题15分)

已知O为坐标原点，点P到点F(1,0)的距离与它到直线l：x=4的距离之比等于12，记P的轨迹为Γ.点A，B在Γ上，F，A，B三点共线，M为线段AB的中点．

(1)求证：直线OM与直线AB的斜率之积为定值；

(2)若直线y=kx−2与曲线Γ交于G，T两点，求△OGT面积的最大值．18.(本小题15分)

现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n−1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．

(1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当n=3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；

(3)记n号盒子中红球的个数为Xn，求Xn的期望19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−2lnx．

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)当x>1时，不等式f(x)<(x−2)lnx+2x+a−1恒成立，求整数a的最大值；

(3)当a=0，b>0时，关于x的不等式bebx+f(x)≤2ln2有解，求正实数b的最大值．参考答案1.D

2.D

3.A

4.D

5.D

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.(113.80

14.3

15.解：(1)依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直．以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系．

则B(2,1,0)，P(0,0,1)，A(2,0,0)，M(22,1,0)．

可得PB=(2,1,−1)，AM=(−22,1,0)，AP=(−2,0,1)，

设平面PAM的一个法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅AM=0n1⋅AP=0，即−22x+y=0−2x+z=0，

令z=22，则x=216.解：(1)证明：因为an+1=2an+3，a1=−2，

所以an+1+3=2an+3+3=2(an+3)，a1+3=1，

显然an+3≠0，则an+1+3an+3=2，

故{an+3}是首项为1，公比为17.解：(1)证明：设P(x,y)，

因为点P到点F(1,0)的距离与它到直线l：x=4的距离之比等于12，

所以(x−1)2+y2|x−4|=12，

整理得x24+y23=1，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，

可得x0=x1+x22，y0=y1+y22，

因为A，B两点均在Γ上，

所以3x12+4y12=123x22+4y22=12，

两式相减得

3(x1−x2)(x1+x2)+4(y1−y2)(y1+y2)=0，

此时3(x18.解：(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P=C2lC21C42=23；

(2)由题可知，ξ可取1，2，3，

P(ξ=1)=C2ξ

1

23

P7

117(3)记an−1为第n(n≥2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a1=16，

bn−1为第n(n≥2)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则b1=23,b2=1118，

则第n(n≥2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1−an−1−bn−1，且bn−1=23bn−2+12an−2+119.解：(1)函数f(x)=ax−2lnx的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=a−2x=ax−2x(x>0)，

当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，无单调递增区间．

当a>0时，令f′(x)=0，解得x=2a，

令f′(x)<0，解得x∈(0,2a)；令f′(x)>0，解得x∈(2a,+∞)，

所以f(x)的单调递减区间是(0,2a)，单调递增区间是(2a,+∞)；

综上，a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，无单调递增区间；

a>0时，f(x)的单调递减区间是(0,2a)，单调递增区间是(2a,+∞)．

(2)当x>1时，不等式f(x)<(x−2)lnx+2x+a−1恒成立，

即ax−2lnx<(x−2)lnx+2x+a−1，整理得a<xlnxx−1+1x−1+2，

原题等价于a<xlnxx−1+1x−1+2

对任意x>1恒成立，

令g(x)=xlnxx−1+1x−1+2(x>1)，

则g′(x)=(1+lnx)(x−1)−xlnx(x−1)2−1(x−1)2=x−lnx−2(x−1)2，

令ℎ(x)=x−lnx−2，x>1，则ℎ′(x)=1−1x=x