2024-2025学年福建省厦门十一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省厦门十一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各式中，是最简二次根式的是(

)A.8 B.9 C.62.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(

)A.1，1，1 B.5，12，14 C.3，4，5 D.2，3，23.下列计算中，正确的是(

)A.2+5=7 B.4.已知点A(1,y1)，B(2,y2)都在正比例函数y=3x的图象上，则yA.y1>y2 B.y1<5.若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为(

)A.−16 B.−4 C.4 D.166.某校艺术节歌唱比赛中，有15位评委对选手的表现打分，某位选手所得15个分数组成轮一组数据.根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余13个分数作为一组新数据.下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是(

)A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数7.如图，长30m，宽20m的矩形基地上有三条宽xm的小路，剩余522m2种花，依题意列方程(

)A.20x+30×2x=600−522 B.20x+30×2x−x2=600−522

C.(20−2x)(30−x)=5228.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是(

)A.42

B.25+2

9.如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE.如图2所示的图象中，M(95,125)是该图象的最低点对应关系可以用图2所示图象表示的是(

)A.点P与B的距离为x，点P与C的距离为y

B.点P与B的距离为x，点D与E的距离为y

C.点P与D的距离为x，点P与E的距离为y

D.点P与D的距离为x，点D与E的距离为y二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.若x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.如果二次函数y=(2a−1)x2的图象开口向下，则a的取值范围是______．12.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若DE=12，则AB的长为______．13.若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，则m+(n−2)14.小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家.小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆(小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计).在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．

(1)小华从家出发______min时，爸爸追上小华；

(2)图书馆离小华家______m.15.函数y=2mx2−4mx−3(x≥0)−2mx2−4mx−3(x<0)，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．

(1)当m=12时，图象G与x轴的交点坐标为

．

(2)若直线三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

解下列方程：

(1)(x−2)2−9=0；

17.(本小题8分)

如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．18.(本小题8分)

已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…−3−2−101…y…0−3−4−30…(1)这个二次函数的解析式是______；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(3)当−4<x<0时，y的取值范围为______．19.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．

(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；

(2)若▱ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根.当m取何值时，▱ABCD20.(本小题8分)

刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．

(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？

(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？21.(本小题10分)

某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售.设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x<85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x<90.从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径(单位：mm)，所得数据整理如下：

80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98

(1)这20个苹果的果径的众数是______，中位数是______；

(2)如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀.从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．包装盒1的苹果果径808182828384包装盒2的苹果果径868687878789其中，包装盒______中的苹果大小更均匀(填“1”或“2”)；

(3)请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？22.(本小题12分)

如图，已知直线l1//l2．

(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l//l1//l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B23.(本小题12分)

综合与实践

问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．

方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：

第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；

第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．

方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：

(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．24.(本小题12分)

如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．

(1)求证：AO=BO；

(2)求证：∠HEB=∠HNB；

(3)过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE−PAPB的值．

参考答案1..C

2..C

3..D

4..B

5..C

6..D

7..C

8..D

9..B

10..x≥5

11..a<112..24

13..7

14..10

1760

15..(3,0)

3或−1

16..解：(1)(x−2)2−9=0；

x−2−3=0或x−2+3=0，

所以x1=5，x2=−1；

(2)(2)x2+3x−4=0．

(x+4)(x−1)=0，

x+4=017..证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF．

∴OE=OF，

∴四边形EBFD是平行四边形；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，

∴∠BAC=∠DCA，

∵∠BAC=∠DAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴DA=DC，

∵OA=OC，

∴DB⊥EF，

∴平行四边形EBFD是菱形．

18..

19..(1)证明：∵Δ=(−m)2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2≥0，

∴无论m取何值，方程总有两个实数根；

(2)解：当AB=AD时，▱ABCD是菱形，

∴Δ=(m−2)2=0，

解得m=2，

20..解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，

根据题意得：x+2y=7002x+3y=1200，

解得：x=300y=200．

答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；

(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200−m)件，

根据题意得：300m+200(200−m)≤50000，

解得：m≤100，

∴m的最大值为100．

答：最多能购买100件A21.(1)87

86.5

(2)2

22..解：(1)如图1，直线l即为所求作的直线；

(2)①当∠BAC=90°，AB=AC时，如图2，

∵l//l1//l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，

根据图形的对称性可知：BC=2，

∴AB=AC=2，

∴S△ABC=12AB⋅AC=1，

②当∠ABC=90°，BA=BC时，

如图3，分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足为M，N，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∵l//l1//l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，

∴CN=2，AM=1，

∵∠MAB+∠ABM=90°，∠NBC+∠ABM=90°，

∴∠MAB=∠NBC，

∴△AMB≌△BNC(AAS)，

∴BM=CN=2，

在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2=AM2+BM23..解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，

∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，

∴OA=OB=12AB=12×6=3．

∴点B的坐标为(3,0)，

∵OP=9，

∴点P的坐标为(0,9)，

∵点P是抛物线的顶点，

∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+9，

∵点B(3,0)在抛物线y=ax2+9上，

∴9a+9=0，

解得：a=−1．

∴抛物线的函数表达式为y=−x2+9(−3≤x≤3)；

(2)点D，E在抛物线y=−x2+9上，

∴设点E的坐标为(m,−m2+9)，

∵DE//AB，交y轴于点F，

∴DF=EF=m，OF=−m2+9，

∴DE=2m．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB，

∴OC=12AB=12×6=3．

∴CF=OF−OC=−m2+9−3=−m2+6，

根据题息，得DE+CF=6，

∴−m2+6+2m=6，

解得：m1=2，m=0(不符合题意，舍去)，

∴m=2．

∴DE=2m=4，CF=−m2+6=2

答：DE的长为4米，CF的长为2米；24..(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，AD//BC，

∴∠DAB=∠ABE，∠ADO=∠BCO，

∵AB=BE，

∴AD=BE，

∴△ADO≌△BEO(ASA)，

∴AO=BO；

(2)证明：延长BC至F，且使CF=BE，连接AF、DF，如图1所示：

则BF=CE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°，

在△ABF和△DCE中，AB=DC∠ABC=∠DCBBF=CE，

∴△ABF≌△DCE(SAS)，

∴∠DEC=∠AFB，

∵EB=CF，BN=CN，

∴N为EF的中点，

∴