第07讲 指数函数（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第07讲指数函数（12类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2023年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域2.能掌握指数函数的图像特征3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。知识讲解知识点一.指数函数的图象与性质1.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.2.指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．知识点二.指数函数图象的特点1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3.函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．注意解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．考点一、指数函数的解析式1.（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=1A．f(−x)+f(x)=0 B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1 D．f(−x)−f(x)=2.（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要1.（21-22高三上·广东江门·阶段练习）若函数fx同时具有下列性质：①fx1+x2=fx1fx2.（2020高三·全国·专题练习）函数y=(2a2−3a+2)3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数fx=ax+b,x<02x,x≥0，且f(−2)=3，考点二、指示函数求参问题1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexA．−2 B．−1 C．1 D．22.（江西·高考真题）已知函数f(x)={a⋅2x,x≥0,2A．14 B．12 C．11.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若f(x)=1−aexA．1 B．0 C．−1 D．22.（2024·全国·模拟预测）设a>0且a≠1，若函数fx=4x−A．66 B．63 C．333.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)=ex−aA．1 B．−1 C．±1 D．04.（2024·全国·模拟预测）已知f(x)=m⋅2x+n⋅2A．－4 B．0 C．2 D．4考点三、指数函数的定义域与不等式1.（2022高三·全国·专题练习）设函数fx=4−A．2,+∞ B．4,+∞ C．−∞2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数fxA．−∞,−5∪−5,−3 B．−∞,−31.（21-22高三上·内蒙古乌海·阶段练习）已知函数fx的定义域为-2,2，则函数g(x)=f2x2.（2024高三·全国·专题练习）设函数fx=2−x,A．(−∞,−1] B．(0,+∞) C．3.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3x−2−A．−∞,4 B．−∞,2 C．4.（2024高三·全国·专题练习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1)=2，且对任意0≤x1<x2A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．考点四、指数函数的值域1.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数f(x)=1−3A．(−∞,1) B．(−∞,1] C．2.（2024·上海杨浦·二模）若函数gx=2x−1,x≤0,fx1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数fx=12.（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=2−x2+2x+33.（2024·全国·模拟预测）函数fx=44.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数y=12−x2考点五、由指数函数定义域与值域求参1.（2022·海南·模拟预测）已知函数fx=2x−a的定义域为2,+2.（2023·上海浦东新·模拟预测）设fx=x12x−a+12.若函数y=f1.（2022高三·全国·专题练习）函数f(x)=x12x−a+2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数fx=2x+m,x>0,3.（2024·四川成都·二模）已知函数fx=2ax2−x+1A．−∞,14 B．0,14考点六、指数函数过定点1.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数y=2ax−2−3（a>0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P2.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点k,b，若m+n=b−k且m>0,n>0A．9 B．8 C．92 D．1.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数fx=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与xA．−23 B．23 C．32.（21-22高三上·上海奉贤·阶段练习）已知fx=ax−2+2(a>0,a≠1)过定点P，且P点在直线mx+ny=1(m>0,n>0)考点七、指数函数的单调性1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞A．f(x)=−lnx C．f(x)=−1x 2.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−aA．−∞,−2 C．0,2 D．2,+1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（

）A．fx=lnx B．fx=−2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2A．fx=4x−xC．fx=−sin3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数fx=13x−aA．0,6 B．−2,0 C．6,+∞ D．4.（2024·广东广州·三模）函数fx=ax,x≤2ax考点八、指数函数的图像1.（2020·山东·高考真题）已知函数y=fx是偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=axA． B．C． D．【变式8-1】2.（2023·天津·高考真题）已知函数fx的部分图象如下图所示，则f

A．5ex−5C．5ex+51.（·四川·高考真题）函数y=12xA． B．C． D．2.（2024·河北保定·二模）函数f(x)=1−A．

B．

C．

D．

3.（2024·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fA．fx=ex+1ex−1 考点九、指数函数模型的实际应用1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=ex−eA．13 B．3 C．1 D．12.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6A．1 B．2 C．3 D．41.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．y=eA．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=2πA．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)=aex+be−x（其中a,bA．此时x=lna B．此时C．此时2a+2b的最小值为2考点十、指数函数比较大小1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=eA．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b2.（2024·河北沧州·二模）若a=logA．b<a<c B．c<b<aC．a<b<c D．c<a<b1.（2024·甘肃兰州·二模）故a=57−57A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a2.（2024·陕西西安·模拟预测）若e2aA．4a2>C．(14)3.（2024·北京石景山·一模）设a=20.3，b=sinA．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c考点十一、指数函数综合应用1.（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数fx满足f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，fx=2x.函数g2.（23-24高三上·四川·期末）已知fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−1−1,0<x≤22xA．−2,−1∪1,2 B．−2,2 C．−1,0∪1.（2024·广东深圳·一模）已知函数fx是定义域为R的偶函数，在区间0,+∞上单调递增，且对任意x1A．y=lnx B．y=x3 C．2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且a=log52，A．f(c)>f(a)>f(b) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(c)>f(b)>f(a)3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数fx=1A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4.（2024·全国·模拟预测）设函数fx=axlna+1+aA．0,5−12 B．0,5−12考点十二、指数函数的奇偶性与对称性1.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知fx是定义在R上的偶函数，且周期T=6.若当x∈−3,0时，f(x)=4A．4 B．16 C．116 D．2.（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当0<x<2时，f(x)=3x−lnx1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数fx为指数函数，gx为幂函数，若ℎx=fx+gx2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数fx与偶函数gx满足A．f20242−C．g2024=f3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f2−x=fx，当0≤x≤1A．−13 B．−14 C．4.（2024高三下·全国·专题练习）已知f(x)=4⋅2010x+22010x+1A．M+N=8 B．M−N=8C．M+N=6 D．M−N=61．（2024·山东青岛·二模）函数fxA．0 B．1 C．1,0 D．a2．（2024·江西·模拟预测）函数fxA．−∞,0 B．−1,0 C．0,1 3．（2024·福建南平·模拟预测）函数fxA．

B．

C．

D．

4．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：fx=kab−x（其中k>0,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年x=2的产量将是今年的A．5−12 B．5+12 C．5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a>0且a≠1,b>0，且b≠1，若函数f(x)=aA．ab2=2C．ab=2 D．6．（2024·广西河池·模拟预测）已知a>0且a≠1，则“b=−1”是“函数fxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024·四川成