2023年高考数学二轮复习试题：立体几何初步

专题12立体几何初步

一、核心先导

二、考点再现

【考点a空间几何体的结构

（1）棱柱的定义

定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面（底）：两个互相平行的面

侧面：其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的公共顶点

（2）棱锥的定义

定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面

体叫做棱锥

底面：多边形面

侧面：有公共顶点的各三角形面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

（3）棱台的定义

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间的那

部分多面体叫做棱台

上底面：原棱锥的截面

下底面：原棱锥的底面

侧面：除上下底面以外的面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点

（4）圆柱的定义

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

（5）圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

锥体：棱锥和圆锥统称为锥体

（6）圆台的定义

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

轴：圆锥的轴

底面：圆锥的底面和截面

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

台体：棱台和圆台统称为台体

(7)球

球的表面积和体积

（1）球的表面积：S=4%R2

3

（2）球的体积：V=4

3

【考点2］柱、锥、台、球的表面积和体积

1、柱、锥、台、球的表面积和体积

几何体表面积体积

柱体（棱柱，圆柱）S表=S侧+2S底V=Sh

椎体（棱锥，圆锥）S表=5侧+S底

V=-Sh

3

台体（棱台，圆台）

S表=5侧+5上+S下v=g（s上+s下+JS上S下注

球S=4%R2

V=-TVR3

3

2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

几何体圆柱圆锥圆台

图示13

C35.A/'，，'

1

*1•

侧面积公式S恻=2万〃5侧=万〃S恻=万(/+厂)/

【考点3】点、线、面的位置关系

1、与平面有关的三个基本事实

(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

数学语言：A,B,C三点不共线n有且只有一个平面戊，使Aea,Bea,Bea.

(2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

数学语言：74€/,8€/,且4€々，6€£=>/(=。

(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

数学语言：Pee,且Pe/?二〃=/,且尸e/

2、基本事实1的三个推论

推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面；

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面；

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

相图

交形

关语

系言

图

形

语ab-Aaa=AaB=1

言

独图

有形

关语

系言A/

图a与匕是异面直线

形

语

言

三、解法解密

方法一：平行

1、直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

aa

符号表述：buaaa

a|b

(3)直线与平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

符号表述：aa,au)3,a=b=>ab

2、平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

两个平面没有公共点

(2)平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

auB，bu8

符号表述：aC\b=P>nallP

/p/a//a,blla

(3)平面与平面平行的性质定理

性质定理

两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.

/符号语言

/性质

/两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行与另一平面

上符号语言：«IIB，auana/3

方法二：垂直

1,直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,那么直线/垂直于平面a,记为直,

线/叫做平面a的垂线，平面。叫做直线/的垂面,垂线与平面的交点P叫垂足.

符号语言：对于任意aua,都有

(2)直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.,--——7

简记：线线垂直n线面垂直

符号语言：/_La,ILb,aua,bua,ab=PnIA_a

i

(3)直线和平面垂直的性质定理

定义转化性质：如果一条直线/与平面2垂直，那么直线/垂直于平面a内所有直线.,/

符合语言：/_La,bua=1Lb.

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

ab

符合语言：a±a,Z?J_a=>ab

2、平面与平面垂直

2.1、平面与平面垂直的定义

（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

（2）符号语言：。，尸

（3）图形语言

2.2、平面与平面垂直的判定

（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.（线面垂直，则面面垂直）

（2）符号（图形）语言：a_La,

2.3、平面与平面垂直的性质定理

（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

（2）符号（图形）语言：aL/3,a\/3=l,aua,a工I=a工/3.

四、考点解密

题型一：空间几何体的结构、直观图

例1.（1）、（2022•全国•高一课时练习）如图，一个矩形边长为1和2,绕它的长为2的边旋转一周后所

得如图的一开口容器（下表面密封），尸是8c中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁尸处有一米粒，若

这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为.

（2）、（2022•全国•模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2,四边形A8C。是圆柱的轴截面，点E在圆柱的

下底面圆上，若圆柱的侧面积为12兀，且OE=4,则CE=（）

A.3亚B.4C.4A/2D.2石

【变式训练1-1】、（2022・吉林・长春外国语学校高一期末）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得

到如图所示的直观图，其中AC'//O'B',AC1.B'C',A:C'=2,0®=4,则原四边形AOBC的面积为

【变式训练1-2】、（2022•云南・玉溪市民族中学模拟预测（文））《几何原本》是古希腊数学家欧几里得

的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若一个直角圆锥的体积是

它的表面积的0-1倍，则该直角圆锥的高为（）

A.IB.V2C.2D.3

题型二:空间几何体的表面积与体积、三视图

例2.（1）、（2022•浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状

（如图所示），已知塔高2加，底宽34根，则塔身的表面积（精确到03毋）是（）（可能用到的参考数据:

27?=729,342=1156）

A.3674.52m2B.2993.26病

C.1837.26m2D.1682.26"，

（2）、（2023•全国•模拟预测）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看

作是半球与圆柱的组合体（如图2）,当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米,

半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（）

A.栏B.底D.届

（3）、（2022.浙江湖州.模拟预测）如图，某多面体的体积是《，其三视图如图所示，则正视图中的高，=

（）

321

A.IB.-C.-D.之

432

（4）、（2022•全国•模拟预测（文））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵已知某

“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为.

【变式训练2・1】、（2022.浙江・太湖高级中学高二学业考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫

做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高•球缺的体积公式为k=其中

R为球的半径，H为球缺的高.北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非

凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能•它的外形可近似抽象成一个球缺与

一个圆台构成的组合体（如图2）.已知该圆台的底面半径分别4和2,高为4,球缺所在球的半径为5,则该

组合体的体积为.

附：圆台体积公式丫=g（5上+S下+JS上S下）/7,其中S上,S下分别表示圆台上下底面面积，九为圆台高.

【变式训练2-2】、（2022・浙江•慈溪市三山高级中学高二学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江

桥北观，建于清同治H^一年（公元1872年）.光绪二十五（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂、

钟楼、偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体

组成的几何体，且正四棱锥的侧棱长为10m,其底面边长与正方体的棱长均为6m,则顶端部分的体积

为.

【变式训练2-3】、（2022・四川•模拟预测（文））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小

正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）

A.—B.8C.--D.10

33

【变式训练2-4】、（2022・四川成都•模拟预测（文））如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是

某几何体的三视图，则此几何体的外接球的表面积为.

题型三：空间点、线、面的位置关系

例3.（1）、（2022•北京•高三学业考试）设相，〃是两条不同的直线，名尸是两个不同的平面，则下列命

题中的真命题为（）

A.若机〃则若,则加〃九

C.若机〃/机〃/，则c〃/D.若m〃ajnu。,则a〃6

（2）、（2022•全国•模拟预测（文））设机，〃为不重合的直线，a,§,7为不重合的平面，下列是a〃月

成立的充分条件的有（只填序号）.

①根ua,mlI13

②%ua,n±/3,n±m

③a_L/,/?!y

®mLa,mL/3

（3）、（2020•四川泸州・一模（理））如图，棱长为1的正方体，中，尸为线段4出上的

动点（不含端点），有下列结论：

①平面42尸，平面44尸；

②多面体口-C。尸的体积为定值；

③直线2尸与BC所成的角可能为3；

④,APR可能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是（填上所有序号）.

【变式训练3-1】、（2022•浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）设a,夕，/为不重合的平面，加，〃

为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）

®a±/3,?_L7,则a〃6；®a±/3,a0=n,m±n,则相_L6；

③m_La,n±/3,m±n,则_L6；@a±/,;?!/,a（3=m,则根_L/.

A.①③B.②③C.②④D.③④

【变式训练3-2】、（2022•四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知/,根是两条不同的直线，a是平

面，且相〃a,则下列命题中正确的是（）

A.若/〃m，则/〃tzB.若I〃a,贝！］/〃加

C.若/_!_m，贝!J/_LaD.若/J_a,贝!

【变式训练3-3】、（2022・浙江•模拟预测）如图所示，在正方体钻。-4月GR中，点p在矩形B8QD内，

且尸到底面ABCD的距离是P到耳的距离的3倍，点Q在正方形ABCD内，且。到面BBRD的距离等于。到

直线AA的距离，则下列说法错误的是o

A.对于任意P,Q,直线PQ与直线CG不共面

B.对于任意尸，Q,直线PQ与直线8不垂直

C.至少存在两组P,。，使得直线尸。与直线AC共面

D.至少存在两组尸，Q,使得直线PQ与直线3。垂直

题型四:空间几何体的外接球

例4.（1）、（2022•江苏南京.模拟预测）已知A,B,C,。为球。的球面上的四点，记A3的中点为E,

且A3=2OC（X>0）,四棱锥O-AECO体积的最大值为百，则球。的表面积为（）

A.8»B.12»C.16%D.20TT

（2）、（2022•陕西・西安中学模拟预测（理））在三棱锥S-ABC中，ABJ.BC,AB=BC=42,SA=SC=2,

AC的中点为的余弦值是正，若S,A3,C都在同一球面上，则该球的表面积是.

3

【变式训练4-1】、（2023•全国•模拟预测（理））若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，ABC

是边长为3的正三角形，SC为球。的直径，三棱锥S-ABC的体积为述，则三棱锥S-ABC的外接球的

2

体积为（）

,4万n16万一267r—32%

A•—B.-----C.------D.------

3333

【变式训练4・2】、（2019・陕西・安康市教学研究室三模（理））同底面的两个正三棱锥S-ABC和尸-ABC

的顶点A,B,C,S,P均在球。的球面上，已知=且两个三棱锥的高的比为1:2,则球。的表

面积为.

五、分层训练

A组基础巩固

1.（2022.全国•模拟预测）如图1是文祥塔，位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上，初名象山塔，后人

重修时易名为文祥塔.已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高2.8m、底面边长为2m的正六

棱柱，塔顶可近似地视为一个高1m的正六棱锥，如图2所示，则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之

和约为（）

A.45.6m2B.（45.6+673jm2

C.（33.6+6>/5）m2D.（33.6+6>/5+6V3）m2

2.（2022.全国•模拟预测）米斗是我国古代官仓，粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米

斗，可盛米10升（1升=1000cm3）,已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm,下口宽为24cm,

则高约为（）

A.18.8cmB.20.4cmC.22.5cmD.24.2cm

3.（2022•河南新乡•一模（文））1360年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的

沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转.最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心

上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的

表面结构完全相同.已知一个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），

当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）

1237

A.彳小时B.§小时C.工小时D.§小时

4.（2022・广西北海•一模（理））如图所示几何体是底面直径为2,高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则

该几何体的表面积为（）

A.8/B.9万C.10/rD.11万

5.（2022・湖北•丹江口市第一中学模拟预测）如图，圆形纸片的四分之一扇形（阴影部分）是圆锥A的侧

面展开图，其余部分是圆锥B的侧面展开图，则圆锥A与圆锥8的表面积之比为（）

A.—B.—C.-D.—

2521316

6.（2022•四川省南充市高坪中学模拟预测（文））已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面

积等于（）

160r-r-

A.—B.160C.88+8V2D.64+320

7.（2019•陕西•安康市教学研究室三模（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几

何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.8B.12C.16D.18

8.（2018•陕西・安康市教学研究室三模（文））某几何体的三视图如图所示，其中正、侧视图中的三角形

是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（）

A.—B.3nC.—D.4兀

22

9.（2022・上海•模拟预测）如图，正方体A8CD-AqGR中，M是4。的中点，贝|（）

A.直线MB与直线8a相交，直线MBu平面ABG

B.直线MB与直线。。平行，直线MB_L平面AG。

C.直线MB与直线AC异面，直线平面AOGB]

D.直线MB与直线AQ垂直，直线MB〃平面4AC

10.（2017•上海普陀・二模）设/、机是不同的直线，a、夕是不同的平面，下列命题中的真命题为（）

A.若/〃a,m_LP,l^-m,则aJ_/B.若/〃a,〃z_LB,l^Lm,则a//B

C.若I〃a,m0,/〃能，则aJ_pD.若I〃a,m1。,l//m,则a〃/

11.（2022.全国•安阳市第二中学模拟预测（理））已知/、m、〃是三条不同的直线，a和夕是两个不重合

的平面，则下列说法正确的是（）

A.若相_1_〃，n//[5,则〃?_L〃

B.若小J_a,nI,Iuf},m±n,则a〃6

C.若muc,ml。,n//a,贝U“，口

D.若mJ_a,m±[3,nLa,n\I,则/_L£

12.（2022.福建福州•三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴。。1作圆柱的轴截面A8CD,其中母

线AB=2,E是弧BC的中点，尸是的中点，则（）

A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AEwCF,AC与EF是共面直线

C.AE=CF,AC与EP是异面直线D.AE^CF,AC与EP是异面直线

13.（2021・陕西・安康市教学研究室二模（文））设直四棱柱ABC。-4qAR的每个顶点都在球。的球面

上，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD,侧面人。。4的面积为6,则球。表面积的最小值为（）

A.10&B.12辰C.24万D.20万

14.（2022・陕西•武功县教育局教育教学研究室一模（文））北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的

重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km

（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径厂为6400km的球，其上点A

的纬度是指。4与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度

最大值为该卫星信号覆盖地球表面的表面积S=2兀/（1-costz）（单位：km2）＞则S与地球表面积之比

为.

15.（2022・陕西渭南.一模（文））我国古代《九章算术》中将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.

如图是一个刍童的三视图，其中正视图与侧视图为全等的等腰梯形，两底的边长分别为1和3,高为4,则

该刍童的表面积为.

16.（2022・湖北・恩施市第一中学模拟预测）如图，正方形ON'3'C'的边长为1,它是一个水平放置的平面

图形的直观图，则原图形的周长为.

17.（2022•吉林.东北师大附中模拟预测（文））如图为某几何体的三视图，该几何体的表面积是.

18.（2022•黑龙江・佳木斯一中三模（文））如图，在棱长为2的正方体qGR中，M,N、P分

别是AA，cc,,G2的中点，。是线段2A上的动点，则下列命题：

①不存在点。，使尸。〃平面MBN；

②三棱锥B-CNQ的体积是定值；

③直线耳。，平面

④经过C、A、B、N四点的球的表面积为97.

正确的是.

19.（2023•河南・洛宁县第一高级中学一模（文））在长方体ABC。-4qAR中，底面A3CD是边长为4

的正方形，AA=3,过点4作平面a与AB,AZ）分别交于N两点，且他与平面。所成的角为30。，给

出下列说法：

①异面直线48与BXC所成角的余弦值为卷；

②AB”平面40C；

③点B到平面与C?的距离为拽1；

17

④截面面积的最小值为6.

其中正确的是（请填写所有正确说法的编号）

20.（2022•江西・赣州市第三中学模拟预测（文））正方体ABC。-44GR的棱长为1,E、F、G分别为

8C,CG，8瓦的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是.

①点C与点B到平面AEF的距离相等；

②直线AG与平面心平行；

9

③平面的截正方体所得的截面面积为三；

O

④直线AG与直线EF所成的角的余弦值为一叵.

10

B组能力提升

21.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（文））在四棱锥尸-ABCD中，已知底面ABC。为矩形，底

面ABC，PA=6,AB=1,AD=y/3,则四棱锥P—ABCD的外接球。的表面积是（）

A.80兀B.16071c.60reD.40兀

22.（2022•浙江.模拟预测）如图，平面ABCD1平面四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形,

且AB=4,AF=1,若G是线段所上的动点，则三棱锥C-ABG的外接球表面积的最小值是（）

A.16TIB.20TI

C.32兀D.36兀

23.（2022.山东潍坊.三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多

面体“鳖席”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖席”的所有顶点都在球。的球面上，且该“鳖席”

的高为2,底面是腰长为2的等腰直角三角形.则球。的表面积为（）

A.127rB.46式C.67D.2娓兀

24.（2022-山西・忻州一中模拟预测（文））在三棱锥A-BCD中，已知AC，平面BCD,3C，,且AC=g,

BC=2,BD=^/5,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12%B.771c.9%D.8万

25.（2022•黑龙江・哈尔滨三中模拟预测）在三棱锥尸一ABC中，二面角尸-AB-C尸-AC-3和P—5C-A

JT

的大小都为孑，AB=5,3c=12,AC=13,则三棱锥尸-ABC的外接球与内切球的表面积的比值为

26.（2018•甘肃・西北师大附中一模（理））在三棱锥P-ABC中，24,平面ABC,ZS4C=60°,AB=AC=2^,

上4=2,则三棱锥尸-A5c外接球的表面积为.

27.（2022•陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图为一个三棱锥的三视图，则其外接球的表面

积为.

C组真题实战练

28.（2018•全国•高考真题（理））中国古建筑借助樟卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樟头，凹进

部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方

体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A.B.C.............:------------D.'----------------------

29.（2020•全国•高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱

锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的

高与底面正方形的边长的比值为（）

AA/5—1RA/5—1„A/5+1nA/5+1

A.----D.----c.----u.-----

4242

30.（2018•全国•高考真题（理））设A,3,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三

角形且其面积为96，则三棱锥ABC体积的最大值为

A.12A/3B.18A/3C.24A/3D.54也

31.（2019•全国•高考真题（理））如图，点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三角形，平面ECDL平

面A2C2M是线段即的中点，则

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM手EN,且直线是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM#EN,且直线比W,EN是异面直线

32.（2020.全国.高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A.6+472B.4+472C.6+2石