利用导数证明不等式（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第05讲利用导数证明不等式

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

证明函数的对称性

利用导数求函数的单调性

2024年新I卷，第18题,17分利用导数证明不等式

利用导数研究不等式恒成立问题

利用不等式求取值范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式

导数中的极值偏移问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

3能进行函数转化证明不等式

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识点1基本方法

核心知识点知识点2常见类型

考点1直接法证明简单不等式

利用导数证明不等式考点2构造函数证明不等式

考点3转为两个函数类型证明不等式

核心考点考点4数列类型不等式的证明

考点5三角函数类型不等式的证明

考点6切线放缩法证明不等式

知识讲解

1.基本方法

在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e葭Inx有关的常

用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明.

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.常见类型

与e,有关的常用不等式：

(1)ex>1+x(xGR)；(2)ex>ex(xeR).

与Inx有关的常用不等式：

x-l11

(1)------<Inx<x-1(x>0)；(2)------<lnx<—x(x>0)；

xexe

2(x—1)2(x—1)

(3)lnx<-^——乙(0<x<l),lnx>-^——(x>l)；

x+lx+1

(4)lnx>—|x-—|(0<x<l),lnx<—|x-—|(x>1).

xx

用x+l取代x的位置，相应的可得到与ln(x+l)有关的常用不等式.

考点一、直接法证明简单不等式

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)求证：hwZl-L

X

2.(2022高三・浙江•专题练习)证明以下不等式:

⑴e—x+l;

(2)lnx<x-l；

(3)e、T>ln(x+l).

即时性冲

1.(2023高三・全国•专题练习)求证:

(l)ex>x2+1(x>0)；

(2)ex>ex；

(3)ex>ex+(x-l)2(x>0).

考点二、构造函数证明不等式

典例引领

1.(2024・湖南益阳•模拟预测)已知。,6为正实数，构造函数〃x)=®7.若曲线>=/(x)在点(1J。))

处的切线方程为y

(1)求Q+Z?的值；

21

⑵求证：)(x)N------―一.

X+1X

2.(2024・重庆•模拟预测)已知函数/(》)=。(了+°)-1门(0€可

⑴讨论函数/'(X)的单调性；

(2)证明：当。>0时,/(x)>31na+2

3.(2024•山东济南•二模)已知函数/(工)="2-111丫-1£(力=工，一"2(0€11)・

(1)讨论〃龙)的单调性；

(2)证明：/(x)+g(x)>x.

电，即时检测

1.(2024•河北•三模)已知函数/(%)=cosx+2%.

⑴当》£(-00,0)时，证明：/(x)<e\

⑵若函数g(x)=ln(x+l)+e=/(x),试问：函数g(x)是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在,

请说明理由.

0.。(2024•河北保定•三模)已知函数/(%)=——Qx+lnx,x=1为/(%)的极值点.

⑴求a；

(2)证明：/(x)<2x2-4x.

3.(2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数/(x)=e'+(a-l)x-1,其中a$R.

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)当〃=2时，证明：/(x)>xlnx-cosx.

考点三、转为两个函数类型证明不等式

典例引领

1.(全国•高考真题)设函数/(x)=Q/lnx+曲线尸f(x)在点(1/⑴)处的切线方程为y=e(x-l)+2.

⑴求(2)证明：/«>1

1.(2024高三•阶段练习)已知函数/(x)=1-Inx+a*2x32-ax(ae7?).

(1)讨论/(x)的单调区间；

(2)当。=0且%£(0,1),求证：")+x<1.

ex

考点四、数列类型不等式的证明

典例引领

L(2022•全国•高考真题)已知函数/(x)=xe*-el

(1)当。=1时，讨论“X)的单调性；

(2)当x>0时，/(%)<-1,求a的取值范围；

111,,,、

(3)设〃eN*,证明：/,+/2+…+/2+

V?+lV22+2\ln2+n

2.(2023・天津・高考真题)已知函数/(x)='+£|ln(x+l).

⑴求曲线尸在x=2处的切线斜率；

(2)求证：当尤>0时,/(x)>1；

⑶证明：|<ln(w!)-^«+1-^lnn+«<1.

3.(2024•北京三模)已知函数/(x)=ln(x+l)+Mx+l).

⑴求的单调区间；

(2)若/(x)V-l恒成立，求实数上的取值范围；

,ginzn(n-l}

⑶求证：V-----<-----------.(〃wN且“22)

Mi+l4

即时

1.(2024•河北・三模)已知函数/(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x-a+l(aeR).

⑴若/(x)<0在[1,+s)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：」一+」一+」一+…+—*—+工>1112.

77+1〃+2几+3n+n4n

2.(2024•安徽马鞍山•模拟预测)已知函数〃x)=(x+2)ln(x+l).

(1)证明：x>0时，/(x)>2x；

(2)证明：ln(n+l)>^——-

匿2左+1

3.(2024•江苏苏州•三模)已知函数/(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

⑴a=l时,求尸(x)=/(x)-g(x)的零点个数；

⑵若/a"g(x)恒成立，求实数。的最大值；

⑶求证:jsin]?-3>，(〃-2左1左eR).

考点五、三角函数类型不等式的证明

典例引领

I_________________________

1.(2024•山东枣庄•模拟预测)已知函数/(xhe-M-x,/(x)为/(x)的导数

⑴讨论/(X)的单调性；

(2)若x=0是/(x)的极大值点，求。的取值范围；

⑶若6e]o,|j,证明：esin"-1+ecos"-1+ln(sin^cos61)<l.

1.2.3.4.2.(2024・陕西•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-x+1(aeR),g(x)=sinx-x.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)证明：(neN*);

(3)证明：ln2>sin^—+sin---+sin---+---+sin—(GN*).

n+1n+2n+32n

即阻性M

1.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数了(xhsinx-lMsinx),xe(l,2)

⑴求/(x)的最小值;

(2)证明：sinx-ex-sl,K-In(sinx)>1.

2.(2024•陕西西安・模拟预测)己知函数/(x)=2sinx-ax

⑴若函数在［0,兀］内点A处的切线斜率为-,求点A的坐标；

(2)①当。=1时，求g(x)=/(x)-ln(x+1)在0,y上的最小值;

6

.1.1.1,n+\,z、

②证明:sin—+sin—H-------1-sin—>In-----\ne>

23n2v

考点六、切线放缩法证明不等式

典例引领

1.(2024高三■全国■专题练习)已知函数/(x)=e，-办+2(aeR),g(x)=xe*+3.

(1)求函数的极值；

⑵当x20时，/(x)Wg(x)恒成立，求证：a>0.

即时便测

1.(2023高二•上海•专题练习)已知函数/(刈=蛆¥(后为常数，e=2.7182&.是自然对数的底数)，曲线

e

V=〃x)在点(1,/(1))处的切线与X轴平行.

⑴求上的值；

(2)求/(x)的单调区间；

⑶设g(x)=(x2+X)八X),其中/'(X)为了(X)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.

2.(2023・山东济南•一模)已知函数〃尤)=上詈.

(1)求函数〃x)的极值；

(2)若求证：aev>|1+—|(l+lnx).

IN.好题冲关

基础过关

1.(2024高三・全国•专题练习)求证：若xwO,则e"〉l+x.

2.(2024高三・全国•专题练习)证明：当Ovxvl时，x-x2<sinx<x;

3.(22-23高二下•河北沧州•阶段练习)求证：,”,,<字

Ina-lnb2

x-2

4.(2022高三•全国•专题练习)讨论函数/(刈=0片的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e'+x+2>0.

12

5.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=xlnx-ox,证明：对一切xe(0,+oo),都有lnx+l>17r--—

成立.

6.(22-23高二下•北京•期中)已知函数/(尤)=皿-匕

XX

(1)求曲线了=在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵求证：/(x)<2x-3.

7.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=e-x(其中e是自然对数的底数)，g(x)=1x2+l.

⑴求证：/(x)>l；

(2)当xNO时，求证：/(x)>g(x).

8.(2024・湖北武汉•模拟预测)已知/(x)=-T(l)/+x+21nx.

⑴求/'⑴并写出了(无)的表达式；

(2)证明:f(x)<x-l.

9.(2023・吉林长春■模拟预测)已知函数/(无-Inx.

⑴求〃x)的最小值;

47

(2)证明：ln§>豆.

10.(2023•广西南宁•一模)/(x)=x-dn(l+x),

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵当4=1时，证明/(1)之0；

⑶证明对于任意正整数〃，都有一+7H------7-1--------------+>21n2.

nn+ln+24〃-14〃

能力提升

1.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数〃x)=lnx+"+l,awR.

⑴讨论f(x)的单调性;

2x

(2)当aW2时，证明：^l<e.

X

2.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数"x)=e，-；x2—x.

⑴求函数/(x)在x=1处的切线方程.

⑵证明：VXG[0,+oo),/(x)>sinx.

3.(2024•青海西宁•二模)已知函数/(%)=工2+(2-2〃卜一2〃1111：(4£11).

⑴若a=2,求的极值；

(2)^g(x)=f(x)+2a2-2x+ln2x,求证：g(x)2；.

4.(2024・陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=Tnx+eX-(e-l)x-l.

⑴求/(x)的最小值;

»+1

(2)证明：V〃£N*/n(〃+l)+〃<£e，.

Z=1

1.2.3.4.5.(2024,河北邢台•二模)已知函数〃尤"电詈+e'T-a,

⑴当a=0时，求函数y=〃x)在x=：处的切线方程；

1

(2)若恒成立，求实数。的取值范围；

QQ

(3)证明：ln(«+l)!>/i+-----(«>2).

Zin+1)z

6.(2024局三,全国•专题练习)已知/(x)=(%-1)e'+5a二2.

⑴当a=e时，求〃x)的极值；

(2)对Vx>l,求证：/(x)>-1ax2+x+l+ln(x-l).

7.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=ln(l+x)+ax2-x(a>0).

(1)讨论)(x)的单调区间；

⑵若函数g(x)=x-ln(l+x),证明：g(sin«)+g(coscir)<1.

8.(2024•北京昌平•二模)已知函数/(x)=x+£.

⑴求曲线y=〃x)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵求/⑺在区间[0川上的最小值；

⑶若a>0,当x>0时，求证：/(lna-x)>/(lna+x).

9.(2024・湖南长沙•三模)已知函数<(x)=x"+x"T+…+x-l(〃eN+).

(1)判断并证明力(x)的零点个数

(2)记力(x)在(0,+s)上的零点为匕，求证；

(i){%}是一个递减数列

/..、〃+1n,

(ii)-^-<xx+x2+---+xw<-+1.

10.(2024・四川南充・模拟预测)已知函数"x)=l-x[(lnx)"-x],aeR.

12

⑴若函数/(%)在'=-处切线的斜率为一，求实数。的值；

ee

(2)当〃=2时，Vxw[l,+e)J(x)-加xNO恒成立，求实数加的最大值；

(3)当。=2时，证明：£/>ln(2"+l)”N*.

«V(2z)7

真题感知

I___________________

1.(2019,北京,高考真题)已知函数/'(x)=-x~+x.

4

(I)求曲线了=/(好的斜率为1