2025年高考数学复习之解答题：相等关系与不等关系（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：相等关系与不等关系

(10题)

一.解答题(共10小题)

1.(2024•雅安模拟)已知“+6=3(40,6>0).

(1)若吐1|<3-a,求6的取值范围；

(2)求-a+3+7b+2+(a+1)6的最大值.

2.(2023•绵阳模拟)已知函数/(x)=m-\x-2\,机ER,且/(x+2)》。的解集为[-1,1].

(1)求机的值；

111

(2)右a,b,cG.(0,+8),且—+—+——m,证明：a+26+3c29.

a2b3c

3.(2023•陕西模拟)已知a,b,c为正实数且a+2b+3c=5.

(1)求tz2+/?2+c2的最小值；

(2)当V2ab+73ac+、6bcN5时,求a+b+c的值.

4.(2022•花山区校级模拟)已知正数〃，b,。满足〃+0+c=2.

(1)若c=i,证明：Vfl+VF<V2；

22

(2)求X+炉+V/?+C+VQ2+的最小值.

5.(2023•仁寿县校级三模)已知函数/(%)=+2|+|%—4|一m的定义域为R.

(1)求实数m的范围；

41

(2)若根的最大值为小当正数〃，/?满足...—+-----〃时，求4。+7/?的最小值.

a+5b3a+2b

6.(2022•上海模拟)已知函数y=/(x)的定义域为。，值域为A.若。则称/(x)为型函数”；

若AU。，则称/(x)为“N型函数”.

(1)设/(£)=必一了+8,。=口，句，试判断了(X)是型函数”还是“N型函数”；

1

(2)设〃乃=久2,g(x)=af(2+x)+bf(2-x),若g(x)既是型函数”又是“N型函数”，求

实数a,6的值；

(3)设/(无)-2ax+b,。=口，3],若/(x)为“N型函数”，求/(2)的取值范围.

7.(2022•浦东新区校级二模)设实数a、bER,f(x,a,b)=a^2x+b\og2x+x.

(1)解不等式：f(x,1,1)>3；

(2)若存在xi,尤26R,使得了(xi,2,0)=9,f(%2,0,1)=10,求xi+尤2的值；

M

(3)设常数a>0,若a>0,v>0,f(M,a,0)-f(v,0,1)—t.求证：(v-a*2)C/+log2a)WO.

8.(2022•建水县校级模拟)已知函数/(x)=d\x+3|+|%—3|—m的定义域为R.

(1)求实数m的范围；

41

(2)若根的最大值为〃，当正数〃，满足...-+-----〃时，求4。+76的最小值.

a+5b3a+2b

9.(2022•全国四模)已知不等式以2-(〃+2)%+/?>0的解集为A,a,bER.

(1)若4={小<1,或%>2},求|%-〃|+仅+臼的最小值；

3+。3

(2)若b=2,且2E4,求一丁的最小值.

3a2

10.(2022•东湖区校级三模)已知％,y,z是正实数，且3x+y+4z=9.

311

(1)求一+-+一的最小值m；

xyz

(2)若不等式枕-l|+〃|x-8|2相对任意实数x恒成立，求正实数。的取值范围.

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：相等关系与不等关系

(10题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.(2024•雅安模拟)已知a+6=3(a>0,b>0).

(1)若|b-l|<3-a,求6的取值范围；

(2)求Va+3+7b+2+(a+1)6的最大值.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)8，3).

(2)8.

【分析】(1)由。+6=3得|6-1|<6,则可得结果.

(2)利用基本不等式先求出GI+VF不I的最值，再求出(o+l)。的最值，可得结果.

【解答】解：(1)因为a+b=3(cz>0,b>0),所以。=3-6且0<b<3,

所以则

1

解得b>2，

又0<b<3,所以6的取值范围为8,3).

(2)(a+l)bW(。+；+")2=(若与=4,当且仅当a+l=b,即a=l,6=2时，等号成立，

V4XVE+3+V4X<+2<^^+^1^=^13=8,

即-a+3+，++244,当且仅当a=l,Z?=2时，等号成立，

所以A/Q+3+7b+2+(a+l)b的最大值为4+4—8.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题.

2.(2023•绵阳模拟)已知函数/(x)=m-\x-2\,meR,且/(x+2)20的解集为[-1,1].

(1)求相的值；

111

(2)若a,b,cE(0,+8),且—+—+—=m,证明：a+2〃+3c29.

a2b3c

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)运用绝对值的解法，即可得到所求值;

(2)运用乘1法和基本不等式，即可得到证明.

【解答】解：(1)函数/(%)=m-\x-2\,mGR,且/(x+2)20的解集为[-1,1],

可得根-国20的解集为[-1,1],即有[-如m]=[-1,1],

可得m=1；

111

(2)证明：a,b,cE(0,+8),且一+—+—=1,

a2b3c

…111

则。+2。+3。=(〃+2Z?+3c)(-+—+—)

a2b3c

2baa3c2b3c

=3+(一+—)+(―+—)+(一+一)

a2b3ca3c2b

23+2I-.—+2I—•—+2I—•—

13a2b十气3ca十，73c2b

=3+2+2+2=9,

当且仅当〃=2。=3c=3,取得等号.

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不

等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题.

3.(2023•陕西模拟)已知〃，b,c为正实数且Q+2Z?+3C=5.

(1)求c^+b2+c2的最小值；

(2)当V2ab+73ac+、6bcN5时,求〃+b+c的值.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)〃2+廿+°2的最小值为一；(2)〃+b+c=暮

14

【分析】(1)由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；

(2)由基本不等式可得J2ab+73ac+、6bc45,结合条件得基2ab+\3ac+、6bc=5,从而求〃、Z?、

c的值，即可得”+b+c的值.

【解答】解：(1)由柯西不等式得，

(a2+b2+c2)(12+22+32)2(a+2b+3c)2=25,

故«2+Z?2+c2>磊

当且仅当;=&=§,即。=/,/?=9，。=行时，等号成立;

故«2+Z?24-C2的最小值为一；

14

(2)由基本不等式可得，

a+2b2272ab,

a+3c^2y/3ac,

2/7+3c>yj6bc,

故2(a+2Z?+3c)22Q、2ab+73CLC+，6bc),

故，2ab+V3ac+76bc<5,

当且仅当a=2b=3c,且〃+2b+3c=5,

即a=I，b=,，c—,时，等号成立，

又*/72ab+、3ac+\6bc>5,

：.、2ab+V3ac+yj6bc=5,

即a=q,b=7，c—Q,

.55

〃+/7+c=.

【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题.

4.(2022•花山区校级模拟)已知正数a,b,c满足a+b+c=2.

(1)若c=l,证明：y/a+Vb<V2；

(2)求Va?+炉+7b2+c2+Va2+c2的最小值.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)详见解答过程；

(2)2V2.

【分析】(1)由题意可得a+6=l,结合不等式妇蛆<a2+M分析证明；(2)由等式妇好<a2+b2

22

可得+炉力孝色+力),进而求最值.

【解答】证明：(1)因为正数。，b,c满足〃+b+c=2,

若c=l,则a+b=l,可得卜万;<(Va)2+(V^)2=a+b=1,

当且仅当V^=VF,即a=b=J时，等号成立，

所以+y[b<V2.

2

解：(2)因为小+非之胞岁

即&12+炉为"9+5)2,

同理可得+。2之孝(a+c),y/b2+C2>(b+c),

2222

所以A/Q2+b?+y/b+c+y/a+c之孝(2a+2b+2c)=2V2,

当且仅当a=b=c=,时，等号成立，

所以Ma?+炉+Vfe2+c2+"a?+c2的最小值为2式.

【点评】本题主要考查了基本不等式在不等式证明及最值求解中的应用，属于中档题.

5.(2023•仁寿县校级三模)已知函数/(x)=工+2|+|久一4|一m的定义域为R.

(1)求实数m的范围；

...41.1

(2)若山的最大值为"，当正数a,b满足----+-----时，求4a+76的最小值.

a+5b3a+2b

【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用绝对值不等式的性质即可得出；

(2)利用柯西不等式的性质即可得出.

【解答】解：(1):函数的定义域为R,，|x+2|+|x-4|-机》0在R上恒成立，即机W(|尤+2|+|尤-4|)

mm9

：.k+2|+|x-4|^|(x+2)-(x-4)|=6,・・・依6；

,,141141

(2)由(1)知〃=6,4a+7b=z(4a+7b)(-----+-------)=吉(a+5b)+(3a+2b)](-----+-------)

6a+5b3a+2b6a+5b3a+2匕

>□，

当且仅当a=1b=亲时取等号，

3

：Aa+lb的最小值为,

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.(2022•上海模拟)已知函数y=/(x)的定义域为。，值域为A.若。UA,则称/(x)为型函数”；

若AUD,则称/(X)为“N型函数”.

(1)町⑺=/一产+8,。=口，句，试判断了(x)是型函数”还是“N型函数”；

(2)设/(久)=久2,g(x)=af(2+x)+/(2-尤)，若g(x)既是型函数”又是“N型函数”，求

实数。，6的值；

(3)设/(无)=?-2ax+b,。=[1,3],若/(x)为“N型函数”，求/(2)的取值范围.

【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域.

【专题】数形结合；整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)ftx)是型函数”；

(2)a—-1,b=l；

(3)[1,2].

【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；

(2)分a>0,b<0和。<0,6>0结合函数的单调性分类讨论求解；

(3)分a不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围.

【解答】解：(1)当4]时，/(x)=y2-^%+8=x+1-5>4V2-5,

当且仅当x=2a时取等号，

由于/(I)=4,/(4)=1,

所以函数/(%)的值域为4=[4夜—5,4],

因为4鱼一5VI,所以。UA,

所以了(无)是型函数”；

(2)g(K)=aVT亏+6•二V，定义域为L2,2],

由题意得函数g(x)的值域也为[-2,2],

显然MVO,否则值域不可能由负到正，

当a>0,6co时，g(无)在[-2,2]上单调递增，

则”2)「蓝2得『1,b=-1；

当a<0,b>Q时，g(无)在[-2,2]上单调递减，

,-,,,(0(2)=2a=—2„”,«

则I(•?、ni.)俗Za=-l，b=1；

(g(-2)=2匕=2

(3)f(x)—J?-2ax+b=(x-a)2+b-a2,D=[l,3],

由题意得函数/(x)的值域A[l,3],

当aWl时,f(x)的最小值/(I)=1-2a+b^l,

当l<aW3时，f(x)的最小值/(a)—b-a2^l,

当a23时，f(x)的最小值/(3)=9-6a+62l,

当aW2时，f(x)的最大值/(3)=9-6a+6W3,

当a>2时，f(x)的最大值/(I)=l-2a+6W3,

因为/(2)=4-4a+b,由点(a,b)所在的可行域,

当。=2,6=6时，f(2)取最大值，最大值为2,

当/(2)=4-4a+6与6=/+1相切，

即a=2,6=5时，f(2)取最小值，最小值为1,

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题.

7.(2022•浦东新区校级二模)设实数a、beR,f(x,a,6)=a-2x+blog2x+x.

(1)解不等式：f(x,1,1)>3；

(2)若存在xi,X26R,使得了(xi,2,0)=9,f(X2,0,1)=10,求xi+x2的值；

(3)设常数a>0,若〃>0,v>0,/(M,a,0)-/(v,0,1)=t.求证：(v-a*2u)(Z+Iog2a)WO.

【考点】其他不等式的解法；指、对数不等式的解法.

【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由/(I,1,1)=3及无，1,1)的单调性求不等式的解集；

(2)问题转化为求y=9-x与>=2>1、y=log”-的交点横坐标，根据>=2户1与y=k»g”-1关于y

=X对称，即可求X1+X2的值；

(3)由题设可得a•2&+a-/。比：一v=t+2092a，根据y=a-2x与y=切出券于y=x对称及其单

调性，由反函数性质讨论v>a・2&、v=a・2"、v<a・2"对应r+log2a的符号，即可证结论.

【解答】解：(1)由题设/(x,1,1)=2，+log”+x>3,

又/(x,1,1)在定义域上递增且/(1,1,1)=3,

所以/（X,1,1）>/（1,1,1）,则X>1,

故解集为（1，+8）；

（2）由题设，f（x,2,0）=2%+i+x,f（x,0,1）=log»+x,

由/（xi,2,0）=9,f（%2,0,1）=10,贝U2%i+i=9—%i，log2x2-l=9-x2f

所以％1,%2分别是y=9-%与y=logzx-1的交点横坐标，

而>=2户1与y=logzx-1关于产元对称，即互为反函数，

所以％1=9-X2,即Xl+X2=9；

证明：（3）由/（小a,0）=a*2u+u,f（v,0,1）=log2v+v,

由题设有/（〃，CL,0）—f（v,0,1）+/。比。=。•2a+a—/。比，-u=t+1002。，

又Q>0,y=a・2］与y=10922关于对称，且在定义域上均递增，

9u

当u>〃・2"时，u<log2^贝Uf+log2〃V0,此时（v-a2）（什log2〃）<0,

当u=a・2"时，u=log2\则什log2〃=0,此时（v-〃・2"）（什log2〃）=0,

当v<〃・2"时，u>log2\则/+log2”>0,止匕时（v-〃・2"）（/+log2。）<0,

综上，（v-a92lt）（什log2。）WO.

【点评】第二、三问，结合反函数的对称性和指对数函数的单调性，求参数值或讨论参数的大小关系证

明不等式.

8.(2022•建水县校级模拟)已知函数/(x)=、\x+3|+|%—3|—m的定义域为R.

(1)求实数m的范围；

41

(2)若根的最大值为小当正数〃，/?满足..-+-----〃时，求4o+7b的最小值.

a+5b3a+2b

【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)7底(-8,6].

3

(2)44+7b的最小值为5.

【分析】(1)由题意,得W+3|+|尤-3|-在R上恒成立工即%W(|x+3|+k-3|)min,利用绝对值不

等式的几何意义可得实数m的范围；

141

(2)由(1)知w=6,4a+lb=1(4a+76)(-------+----------),利用基本不等式的性质即可得出答案.

6a+5b3a+2b

【解答】解：(1).••函数的定义域为R,

k+31+k-3|-杉0在R上恒成立，即mW(|尤+31+1尤-3|)min,

：|x+3|+|x-3|2|(x+3)-(x-3)|=6,

(|X+3|+|X-3|)min—6,

即加6(-8,6]；

(2)由(1)知w=6,

141

4a+76,(4〃+7b)(-------+----------)

a+5b3a+2b

41

(〃+5Z?)+(3a+2b)](-------+----------)

Q+5Z?3a+2b

4(4+1+笔件+射综)

6a+5b3a+2匕

>1(4+1+2.隼瑞科,磊”不当且仅当即白时取等号,

3

，4〃+76的最小值为了

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.(2022•全国四模)已知不等式ox2-(a+2)无+6＞0的解集为A,a,beR.

(1)若4={小＜1,或尤＞2},求|尤-a|+|x+例的最小值；

3+a?

(2)若b=2,且2E4,求一了的最小值.

3a2

【考点】基本不等式及其应用；一元二次不等式及其应用；等式与不等式的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)仅-〃|+|x+"的最小值为3；

(2)3+；的最小值等于工证.

3a22

【分析】(1)不等式的解可转化为方程"2-(a+2)x+b=0的两个根为1,2,由根与系数的关系求°,

b,再利用绝对值的性质求解|x-a|+|x+例的最小值即可；

(2)由6=2,且2e4,可得。>1,再利用基本不等式求解即可.

【解答】解：(1)由于不等式的解集为或尤>2},

fl+2=—

所以《,a,可得。=1,b—2,即a+b=3.

1x2=-

Ia

\x-a\+\x+b\^\x-a-(x+Z?)\=\a+b\=3(当且仅当(x-a)(x+Z?)WO时，等号成立),

(2)当b=2时，不等式为一(〃+2)x+2>0,(x-1)(ax-2)>0,

因为2B4,b=2,所以可得〃>1,

3+Q31a1aa3/1

所以•—+-=—+-+->3—=部

3a2Q23a266-xi36

(当且仅当a二遍时,等号成立)，所以警的最小值等于1泥.

【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题.

10.(2022•东湖区校级三模)已知x,y,z是正实数，且3x+y+4z=9.

311

(1)求一+—+一的最小值m-,

xyz

(2)若不等式仇-l|+a|x-8|\"z对任意实数x恒成立，求正实数。的取值范围.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)m=4；

(2)正实数。的取值范围为g,+8).

311

【分析】(1)利用基本不等式，即可求-+-+-的最小值相；

xyz

(2)丁优-l|+a|x-8|2相对任意实数x恒成立等价于(|x-\\+a\x-8|)小加24,而仇-l|+〃|x-8|2o|x-

1|+小-8|+(a-1)枕-1|2小-1|+小-8|27a,由此可求实数a的取值范围；另解:可将函数写成分

段函数，求出最小值，再求。的范围.

3111311

【解答】解：(1)一+-+-=一(一+-+-)(3%+y+4z)

xyz9xyz

=枭9+苴+必+更+1+生+包+¥+4)*(14+21^+2户・包+2目)=葡4+6+12+4)

9xxyyzz9yjxyyxzyjyz9

=4,

当且仅当x=y=2z时等号成立.所以加=4.

(2)当时，|x-l\+a\x-8\=\x-l|+|x-8|+(a-1)\x-S\^\x-l|+|x-8|^7,

而724成立，故a>l.

当OVaWl时，\x-l|+a|x-8|=。|尤-l|+a|x-8|+(a-1)\x-l|^a|x-l|+a|x-8|27a,

所以7a\4成立，故a2今

综上，正实数a的取值范围为g，+8).

—(a+1)%+1+8ax<1

(1-a)x-1+8a1<x<8,由〃>O,

{(a+l)x—1—8ax<1

则/(X)在(-8,1)上递减，在(8,4-00)上递增，

则/(x)min=mm{f(1),f(8)、则{谓)yjQa23

【点评】本题主要考查绝对值的意义，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合

的数学思想，属于中档题.

考点卡片

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数a,b,有且只有以下三种情况之一成立：

①a>b=a-b>0；

②〃-b<0；

(3)^—~Z?=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>b^b<a；

②传递性：a>b,b>c=^a>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c,

④同向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<O^ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>O=>ac>bd；

⑦平方法则：a>b>O^an>bn(neN,且〃>1)；

⑧开方法则：a>b>O=>\/a>y/b(MGN,且〃>1).

2.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：-^―>yTab(a20,620),变形为(―^―)?或者常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2abX2+242

A：a,b均为负数，则一+—>2.8：「—>2.C：sinx+^>4.D：aER+,(3-a)(l<0.

b2aVx2+1smxa

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、2、。均满足条件.

对于C选项中sinx#+2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：c.

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成

/+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=熹的最值？当0<%<1时，如何求y=程的最大值.

解：当％=0时，y=0,

当“。时，"熹=5'

用基本不等式

若x>0时，OVy〈孝，

若x〈0时，一

综上得，可以得出-孝〈孝,

•,-y=w5的最值是一¥与苧.

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1：求下列函数的值域.

（1）y=3x2+*（2）产x+1

解：（1））=3x2+专之2y3x2.圭=戊...值域为所，杵）

（2）当x>0时，y=x+：小昌=2；

当x<0时，v=x+1=~（-x-：）=-2

值域为（-8,-21UF2,-MO）

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、人CER-,且a+b+c=l。求证：（2.—1）（；一1）（2.—1）之8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

工_1=匕£="£*返，可由此变形入手。

aaaa

初・・K=一,又,i.1,1一々b+c、2&i=h由1-2-Jac1

解：.a、b、ceR>a+b+c=l。..——1=-----=-------2--------。1cd理一一12------->——1之-----。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

-1'；>迹.亚.蛆=8。当且仅当a=6=c==时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

19

例3：已知％>0,y>0且一+—=1,求使不等式x+yN冽恒成立的实数次的取值范围。

xy

次以-7八19,x+v9x+9v,10y9x.

解：令x+y=七x>0A：y>0,—+―=1,.;——-+--------=1.J.一+二+—=1

xykxkykkxky

ina

/.1-->2-».\jt>16,we(^o16]

kks

4、均值定理在比较大小中的应用

例4:若+则只。小的大小关系是.

分析：>1:.Iga>0,1g。>0

Q=；(lga+lg6)>Jlga-lgb=p

R=>lg4ab=；lgab=Q

；.R>Q>Po

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<*>求函数丫=4叉-2+---的最大值。

4"4x-5

解：因4x-5<0,所以首先要‘调整节号，又（4x-2）.一!一不是常数，所以对公-2要进行拆、凑项,

4x-5

vx<7，.-.5-4x>0^/.j=4x-2+——=-；5-4x+—-—：+34-2+3=1

4」4x-5I5-4xJ

当且仅当5-4》=丁。，即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，以红=1。

5—4r

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0<尤<4时，求y=;c(8-2x)的最大值.

解析：由0<%<4知，8-2尤>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.

112x+8-2x,

尸尤(8-2x)=i［2x«(8-2x)］<j(——-——)2=8

当2x=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-无2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求y='置:一(%>-1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离.

三率£=(x+J+誓+1)+4=W

/x+1x+1x+1

当x>-1,即无+1>0时，］(久+1)x2+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令£=X+1,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(尤)=x+£的单调性.

例4:求函数［，=冬三的值域。

解：令行+4=/«之2),则、，一尸j—=

■Jr2+4t

因。>0,入；=1,但/=；解得，=±1不在区间［2+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为N=在区间［L+o。)单调递增，所以在其子区间口内)为单调递增函数，故

L2

所以，所求函数的值域为

技巧六：整体代换

1Q

例5：已知x>0,y>0,且一+-=1,求x+y的最小值。

xy

错解：:>0,且L?=l,,x+y=•1X+T)±2区2五？=12故(x+y)=12。

XyVxyj'孙

错因：解法中两次连用基本不等式，在X+PN2向等号成立条件是x=y,在_L+2之2区等号成立条

xvRxy

件是乙1=已Q即3，=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

xy

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛤转换是否有误的一种方法。

1Q，[9'I，9x

正解：—+—=1>y=(x+J)—+—=—+—+10^6+10=16

xy\xy)xy

v*Qy19

当且仅当上=三时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，(》+〉，)强=16。

xyxy

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6:求函数尸衣口+信西(一4)的最大值。

解析：注意到2x_1与5_2x的和歹定值。

y2=(，2x-1+，5-2x)2=4+2J(2x-1)(5-2x)44+(2x-1)+(5-2x)=8

又y>0,所以。<”2/

当且仅当2X-1=5-2X,即x=j时取等号。故4al=2&。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积

极创造条件利用基本不等式.

3.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：-^―>y[ab(cz^O,b\0),变形为abW?或者。+6\27^尻

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式的

最小值，可以利用均值不等式久+2从而得出最小值为2,并且在x=l时取到最小值.需要注意

的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

【命题方向】

均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等.例如，求解一个代数

式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大.这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求

解，并能正确代入和计算.

已知正数a,6满足a+b=l,则+VF不I的最大值是.

解：因为正数a,b满足a+6=l,

所以a+1+b+l—3,

则+VFTT<2Ja+11+1=V6,

1

当且仅当a=6=寺时取等号.

故答案为：V6.

4.指、对数不等式的解法

【知识点的认识】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(aWO)解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

黑>0=/(x)g(x)>0;

----------SLUO

gwg(x)|g(x)*0

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解.

ij(x)>烈X)

/(x)>0

◎"(X)<以X)=,四)20

v、)=徽3瞅:/(x)<[g(x)]*

(4)指数不等式：转化为代数不等式

></<*'(a>l)of(x)>g(x):>o*«，(0<a<l)of(x)<g(x)

>b(a>0,d>0)of(x)iz,a>lz,b

(5)对数不等式：转化为代数不等式

f/(x)>0[/(x)>0

log4f(x)>10g5g(x)(a>1)c=><'g(x)>0;log4/(x)>logsg(xX0<a<1)<=><'g(x)>0

|/(x)>g(x)l/(x)<g(x)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化.

"(X)1<g(x)O像X：<f(x)<g(x)

I/(x)l>g(x)og(x”0Cmg(x坏同时为。域｛%f砌(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例(X为正数)：

0x(l-x):=y2x(l-xXl-Jt)^y(j-)■=、

@y=x(l-x2)=>y2=2x2(l一心1」<"吟=”2^_

>'=sinxcos=sinx(l-sin2x),③|x+L|=|x|+p|(x与工同号，故取等)32

Yxr

5.其他不等式的解法

【知识点的认识】

指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和

指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解.

【解题方法点拨】

例1：已知函数/(x)="一1(e是自然对数的底数).证明：对任意的实数无，不等式/(x)2尤恒成立.

解：(/)设/?(无)=/(x)-x=ec~1-x

.'.h'(x)—e^1-1,

当x>l时，h'(x)>0,h(x)为增，

当x<l时，h(x)<0,h(x)为减，

当x=l时