中考数学复习培优练一全等模型高效拆分特训

01几何压轴题高效拆分特训专题一全等模型高效拆分特训特训1旋转全等(一)一线三等角模型模型解读条件A，P，B三点共线，CP＝PD，∠1＝∠2＝∠3.A，P，B三点共线，CP＝PD，∠1＝∠2＝∠DPC.图示同侧型异侧型结论△ACP≌△BPD.背景常以等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、矩形、正方形为背景.典题训练1．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为________．2．如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD＝AF＝AC，∠DAC＝90°，作CE⊥AF于E，连接DE.若CE＝12，DE＝DF，求AC的长．

特训2旋转全等(二)手拉手模型模型解读条件：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.结论：△ACD≌△ABE.顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形→全等三角形.典题训练【熟悉模型】如图①，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；【运用模型】如图②，P为等边三角形ABC内一点，且PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，求∠APB的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手模型”，以BP为边构造等边三角形BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为________；【深化模型】如图③，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．

特训3旋转全等(三)半角模型模型解读等腰直角三角形中的“半角模型”(如图)：条件：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF.结论：△ADE≌△AFE，DE2＝BD2＋CE2.正方形中的“半角模型”(如图)：条件：在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.方法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG.结论：△AEF≌△AEG，EF＝BE＋DF，EF2＝CE2＋CF2，FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.典题训练如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点(不与端点重合)，且∠EAF＝45°.(1)求证：EF＝BE＋DF；(2)连接BD，分别交AE，AF于点M，N，试探究BM，MN，DN之间的数量关系，并说明理由．

特训4中点模型(一)倍长中线(或作平行线)模型解读题眼：中线、中点条件：如图，AO为△ABC的中线．方法1：如图①，延长中线AO至D,使得DO＝AO，连接BD.方法2：如图②，过点B作BD∥AC交AO的延长线于点D.结论：△AOC≌△DOB.典题训练1．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF.求证：AE＝FE.2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试猜想线段BE，CF，EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．特训5中点模型(二)构造中位线模型解读题眼：中线、中点方法1：再构造另一个中点，变中线为中位线．示例：如图①，AO为△ABC的中线，延长BA至D，使得AD＝AB，连接CD,可证OA＝eq\f(1,2)CD，OA∥CD.方法2：构造双中位线示例：如图②，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，取对角线BD的中点M，连接ME，MF.典题训练1．如图，在正方形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为________．2．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是边BC，AD的中点，延长BA，CD，分别交EF的延长线于P，Q.求证：∠BPE＝∠Q.特训6中点模型(三)平行线证中点模型解读方法：作平行或作垂直，证中点．在未知中点的问题中，不能采取倍长中线法，可作平行或垂直，通过三角形的全等证中点.典题训练在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE.连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F.(1)当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF；(2)过点D作DH⊥BC交直线BC于点H.若BC＝4，CF＝1，求BH的长．特训7中点模型(四)斜边中线模型解读条件：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°.方法：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，得到OC＝OD＝eq\f(1,2)AB，∠ODB＝∠OBD＝eq\f(1,2)∠AOD，∠ODA＝∠OAD＝eq\f(1,2)∠BOD，∠OCB＝∠OBC＝eq\f(1,2)∠AOC，∠OAC＝∠OCA＝eq\f(1,2)∠BOC.典题训练1．如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，D是BC的中点，DE⊥MN于点E.(1)求证：E是MN的中点；(2)若BC＝12，MN＝8，则DE＝________．2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点，连接OA，AC.若∠ADC＝135°，求证：AC＝eq\r(2)OA.特训8角平分线模型模型解读条件：OP平分∠AOB.方法一：(垂两边)如图①，过点P分别作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E；方法二：(垂中间)如图②，过点P作DE⊥OP，交OA于D，OB于E；方法三：(截等线段)如图③，截取OD＝OE(点D，E分别在OA，OB上)，连接PD，PE.典题训练1．如图，△ABC的面积为10，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为________．2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠C＝60°，BD平分∠ABC.求证：AD＝CD.3．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：BC＝AD＋AC.特训9十字架模型模型解读图示结论正方形ABCD中，若AM⊥BN，则△ADM≌△BAN，∴AM＝BN，即eq\f(BN,AM)＝1.将AM，BN如上图所示进行平移，易得HK＝BN＝AM＝EF，∴eq\f(HK,EF)＝1.正方形ABCD中，若EF＝HK，则过点E，K分别作EN⊥CD于N，KM⊥BC于M，易证△ENF≌△KMH，从而得到EF⊥HK.典题训练(1)感知：如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，连接DE，AF，若BE＝CF，求证：DE＝AF.(2)应用：在(1)的条件下，求证：AF⊥DE.(3)探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O，若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，则GH的长为________．特训10对角互补模型模型解读类型90°的对角互补模型60°、120°的对角互补模型图示条件∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC.∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC.作法过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F.结论1.AD＝CD；2．AB＋BC＝eq\r(2)BD；3．S四边形ABCD＝eq\f(1,2)BD2.1.AD＝CD；2．AB＋BC＝BD；3．S四边形ABCD＝eq\f(\r(3),4)BD2.典题训练1．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为________．2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，DB平分∠ADC.若∠ADB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．特训11设参导等角方法技巧含有等腰三角形的图形中，要