高考数学一轮复习：空间中的平行关系 学案

第3节空间中的平行关系

——、必备知识•回顾教材重“四基”/—

一、教材概念•结论•性质重现

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a--------b-------a--------

图形

/7nz/宁

aua,房a,a//a.,au6,

条件a—a=0a"Q

a"bQCB=b

结论a//ab//aaDa=0allb

微提醒・・・同

⑴证明线面平行常用的方法是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要

说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.

(2)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性

质定理，往往需要作辅助线(面).

2.两个平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

昆__/率'、/

图形

/a//a~7/o^a/h7

auB,6u£,a〃兄

an£=

条件aCb=P,aCly=a,a〃£,au(3

0

alla,b"ctBPly=b

结论a〃£口〃6a//ba//a

微提醒・・・・

判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线

分别对应平行，那么这两个平面平行.

3.常用结论

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

(5)同一条直线与两个平行平面所成角相等.

(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

二、基本技能•思想•活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“，错的打“X”.

(1)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a〃a.(X)

(2)如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平

行.(J)

(3)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平

面.(X)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(V)

2.已知加，〃是两条不同的直线，a,£,y是三个不同的平面，下列命题中

正确的是()

A.若mHa,n//a,则m//n

B.若m//a,m//£,则a///3

C.若a_Ly,6_Ly,贝a〃£

D.若m.La,nl.a,则m//n

D解析：选项A中，两直线可能平行，相交或异面，故选项A错误.选项B

中，两平面可能平行或相交，故选项B错误.选项C中，两平面可能平行或相交，

故选项C错误.选项D中，由线面垂直的性质定理可知命题正确.故选D.

3.平面a〃平面£的一个充分条件是()

A.存在一条直线a,a//a,a//£

B.存在一条直线a,auct,a///3

C.存在两条平行直线a,b,aua,bu0,a///3,blla

D.存在两条异面直线a,b,aua,buB,a〃£,b//a

D解析：若an£=/,a///,Ha,/£,则a〃a,a〃£,故排除A；

若aPl£=/,aua,a//I,则a//£,故排除B；若al~l£=/,aua,a///,

buB,b//I,则a〃£,b//a,故排除C.故选D.

4.在正方体力6/一48G〃中，E,F,G分别是48,CD,SG的中点，下列命

题正确的是()

DFC

o.

A<F.B,

A.然与CG是异面直线

B.四边形厂是正方形

C./E〃平面BGF

D.以上都不对

C解析：由于£G〃4G〃/C,故4E,G,C四点共面，故A项错误；在四边

形/四片中，AE=EG=aF=AF,但/尸与不垂直,故B项错误；由于AE//aF,

由线面平行的判定定理，可得平面BGF.故选C.

5.如图，在长方体切一48G〃中，F为〃〃的中点，则能与平面/&?的位

置关系为.

平行解析：连接做，设劭n/c=0,连接&7（图略）.在△6〃〃中，0为BD的

中点，E为如的中点，所以&7为XBDD、的中位线，则BD、//E0,而8ZM平面ACE,

驻平面/绥，所以8〃〃平面/宏

-----'关键能力•研析考点强“四翼”/------

考点1直线、平面平行的基本问题——基础性

多维训练」

1.过三棱柱/6C—48G的任意两条棱的中点作直线，其中与平面/即4平行的

直线共有（）

A.4条B.6条

C.8条D.12条

B解析：作出如图的图形，E,F,G,//是相应棱的中点，故符合条件的直线

只能出现在平面日为//中.由此四点可以组成的直线有£F,GH,FG,EH,GE,HF,

共有6条.

HC,

2.（多选题）如图，在下列四个正方体中，A,6为正方体的两个顶点，M,N,Q

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线48与平面桃。平行的是

)

B

BCD解析：A项，作如图①所示的辅助线，其中，为6c的中点，则①〃48

因为QDH平面MNO=O,所以初与平面MNQ相交,所以直线46与平面的V。相交.

B项，作如图②所示的辅助线，贝3,CD//MQ,所以阳

又ABX平面MNQ,Mg平面MNQ,所以/8〃平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，贝缈，CD//MQ,所以48〃他

又ABi平面MNQ,平面MNQ,所以46〃平面MNQ.

D项，作如图④所示的辅助线，则/8〃勿，CD//NQ,所以48〃M2.

又力因平面MNQ,Mfc平面MNO,所以/6〃平面MNQ.故选BCD.

3.(多选题)在正方体力成/一48G〃中，＜N,。分别是棱〃G,6c的中

2

点，点夕在能上且加=可劭，则下列说法正确的是()

A.椒〃平面APC

B.G0〃平面仍？

C.A,P,附三点共线

D.平面的V。〃平面力外

BC解析：如图，对于A,连接网AC,除MN"AC,连接/肌CN.

易得AM,a/交于点P,即MNu平面APC,所以A选项错误.

对于B,由A知肌/I/在平面/PC内，由题易知且4Vt平面初C,QG

。平面APC.所以B选项正确.

对于C,由A知，A,P,"三点共线，所以C选项正确.

对于D,由A知眼忙平面初C,又的Vt平面例/〃，所以D选项错误.

解题通法

直线、平面平行的判定方法

(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件.

(2)结合题意构造图形，结合图形做出判断.

(3)利用实物进行空间想象，比较判断.

(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等.

考点2直线、平面平行的判定与性质——综合性

典例引领」

例如图，在几何体tABCD中，四边形/成》是矩形，46,平面比C,BEX.

EC,AB=BE=EC=2,G,尸分别是线段AC的中点.

求证：GF〃平面ADE.

A,

D

证明：（方法一：线线平行，则线面平行）如图，取的中点//,连接//£HD.

因为G是房的中点,

1

所以GH//AB,且GH=^AB.

又尸是切的中点，

1

所以DF=/D.

由四边形ABCD是矩形得

AB//CD,AB=CD,

所以GH//DF,且GH=DF,

从而四边形Z/67刀是平行四边形，

所以GF//DH.

又力七平面ADE,G甩平面ADE,

所以G尸〃平面ADE.

（方法二：面面平行，则线面平行）如图，取43的中点肌连接断?，MF.

因为G是8F的中点，所以GM//AE.

又AEc平面ADE,GMZ平面ADE,

所以G〃〃平面ADE.

在矩形ABCD中，

由〃,尸分别是AB,CD的中点得MF//AD.

又A上平面ADE,MFI平面ADE.

所以肺〃平面ADE.

又因为GMCMF=M,G弧平面GMF,MFu平面GMF,所以平面G腿〃平面ADE.

因为GRz平面GMF,

所以6尸〃平面ADE.

解题通法

解决线面平行问题的关键点

（1）利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找出平面内与已知直线平行的直

线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑作三角形的

中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

（2）线面平行的性质定理是空间图形中产生线线平行的主要途径，常用于作截

面.

多维训练」

1.（多选题）（2020•济宁期末）已知加，〃为两条不重合的直线，a,£为两个

不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若m//a.,n//6且。〃£,则m//n

B.若勿〃m-La,nl.（3,则a//（i

C.若勿〃"，〃uq,a〃£,阑6,则勿〃6

D.若m//n,nl.a.,a_L。，则m///3

BC解析：若m//a,n//0且a〃£,则可能m//n,m,"异面，或勿，〃相

交，A错误；

若m//n,ml-a,则nl.a,又nl.B,故。〃6,B正确；

若m//n,nua,则m//a或归a,又口〃6,加（3,故m///3,C正确；

若m//n,nA-a.,则ml.a.,又aJ_£,则m//B或ma0,D错误.故选BC.

2.一个长方体被一个平面所截得的几何体如图所示，四边形为截面，则

四边形EFGH的形状为.

R

平行四边形解析：因为平面ABFE〃平面CDHG,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面£FG//n平面CDHG=HG,

所以EF//HG.同理EH//FG,

所以四边形仔'67/是平行四边形.

3.如图，已知点户是平行四边形/成浦所在平面外的一点，E,尸分别是必，BD

上的点，且用：EA=BF\FD.求证：炉〃平面PBC.

证明：（方法一）连接AF,并延长交BC于点G,连接PG.

,FGFB

因为BC//AD,所以三=百

「，PEBFPEGF~

又因为官=而，所以豆=豆，所以EF//PG.

匚ArU匚Ar/i

又因为QGu平面PBC,ERI平面PBC,

所以仔•〃平面PBC.

（方法二）过点尸作FM//AD,交48于点M,连接EM.因为FM//AD,AD//BC,所以

FM//BC.又因为放平面PBC,B0平面PBC,所以/W平面PBC.由FM"AD得不『

BFiPEBF~PEBM

行又因为豆=两所以豆=赤

p

忆

AMB

所以EM//PB.

因为PBu平面PBC,EMI平面PBC,所以日/〃平面PBC.

因为日/HFM=M,EM,F3平面EFM,

所以平面的/〃平面PBC,

因为仔t平面占W,所以EF〃平面PBC.

考点3面面平行的判定与性质及平行的综合问题——应用性

典例引领」

考向1面面平行的判定与性质

例❷，如图，在三棱柱48G中，E,F,G,〃分别是AC,48,4G

的中点.

求证：(1)8,C,H,G四点共面；

(2)平面方4〃平面BCHG.

证明：⑴因为G,〃分别是48,4G的中点，

所以G//是△48G的中位线，

所以GH//ByOx.

又因为8G〃回，所以G//〃8G

所以8,0,H,G四点共面.

⑵因为£尸分另U是AB,AC的中点，

所以EF//BC.

因为我平面BCHG,以七平面BCHG,

所以&〃平面BCHG.

又G,£分别为48,46的中点，且48=48,

所以A、G〃BEnA、G=BE,

所以四边形4砥G是平行四边形，

所以AyE//GB.

又因为4国平面BCHG,GBu平面BCHG,

所以4万〃平面BCHG.

又因为4三0户=£AyE,卮平面仔4,

所以平面日4〃平面BCHG.

同源异考/

1.在本例中，若将条件“£F,G,〃分别是AC,48,4G的中点”变为

“〃，，分别为8G,6c的中点”，求证：平面4劭〃平面力GZZ

证明：如图，连接4C,与/G交于点〃

因为四边形447G是平行四边形，所以"是4c的中点，连接

因为，为6c的中点，

所以A,B//DM.

因为ABu平面DMX平面ABB,

所以ZW〃平面A破.

由三棱柱的性质知，RG//BDSLaa=BD,

所以四边形BDGD、为平行四边形，

所以DGJ/Bd.

又DGQ平面A\BD\,BDu平面ABB,

所以4G〃平面AyBDx.

又。GHDM=D,Da,加仁平面AGD,

所以平面4初〃平面AGD.

2.在本例中，若将条件“£F,G,〃分别是AC,48,4G的中点”变为

AD

“点。，〃分别是4C,4G上的点，且平面平面，试求方的值.

解：连接A8,交48于点0,连接。仄.

因为平面〃平面ABQ,

且平面48GD平面BCiD=BCi,平面48GC平面A&Di=D、O,

4DyAy0

所以则行7='=1.

5U]UD

同理

又AD//DxG,

所以四边形47G4是平行四边形，

所以47=〃G.

〜4〃DC〜DC°AD

又4上4凡所以而=而，所以而=1,即而=「

解题通法

判定面面平行的方法

(1)利用定义，即两个平面没有公共点(不常用).

⑵利用面面平行的判定定理(主要方法).

⑶利用垂直于同一条直线两平面平行.

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面

平行.

考向2平行关系的综合问题

例❸户如图，在正方体力反沙一48G"中，万是棱，〃的中点.在棱G〃上是否存

在一点F,使8月〃平面ABE?证明你的结论.

解：在棱G〃上存在一点尸，使8尸〃平面4庇证明如下:

如图所示，分别取G〃和⑺的中点尸，G,连接8月，EG,BG,CD、,FG.

因为44〃8G〃比，且4〃=8a

所以四边形46州是平行四边形，

所以D、CHAB

又EG分别为。。3的中点，

所以EG//DC从而EG//4B.

这说明4,B,G,万四点共面.

所以BGc.平面AyBE.

因为四边形GCDD、与88CG皆为正方形，F,G分别为G〃和勿的中点，

所以&?〃GC〃笈8,nFG=GC=RB,

所以四边形88G尸是平行四边形，

所以&F〃BG,

而R再平面AyBE,BGu平面A,BE,

故8尸〃平面AyBE.

解题通法

解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，

再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的

方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和

研究的重要思想方法.

多维训练」

1.设a,£,Y为三个不同的平面，m,"是两条不同的直线，在命题“aA£

=m,〃uy,且,则勿〃〃”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该

命题为真命题.

①a〃y,/7U£；②加〃y,〃〃£；③〃〃/7,me

可以填入的条件有()

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

C解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当〃〃£,归y时，〃和加

在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.

2.在四面体①中，M,/1/分别是△力做切的重心，则四面体的四个面中

与的V平行的是.

平面4宓，平面480解析：如图，连接47并延长交缈于点£连接以/并延

EMEN

长交CD于点、F.由重心的性质可知，E,尸重合为一点且该点为切的中点E.由拓

MAfVD

1

=)将MN"AB,因此，MN"平出ABC,且椒〃平面45〃

3.如图，在正方体力成沙一48GA中，S是8〃的中点，E,F,G分别是8aCD,

SC的中点.

求证：⑴直线EG〃平面劭〃8;

(2)平面EFG〃平面BDDR.

证明：⑴如图，连接S8,因为E,G分别是8aSC的中点，所以&?〃SB

又因为S6u平面BDDB,

的平面BDDB,

所以直线EG〃平面BDDR.

⑵如图，连接S。，因为尸，G分别是切，SC的中点，所以&?〃S〃

又因为Sk平面BDDB,FOt平面BDDB,

所以&?〃平面BDDyBy.

入EG〃平面BDDB,Ek平面EFG,F和平面EFG,EGCFG=G,

所以平面9W〃平面BDDB、.

、一题N解•深化综合提“素养”/一

试题呈现」

如图，四边形/8（笫是边长为3的正方形，DEL平面ABCD,/尸，平面力仇力，DE

=3/f=3.

证明：平面尸〃平面〃宏

［四字程序］

读想算思

面面平行的证明平行的有关定理：

平面尸〃平面DCE,

方法；1.面面平行的判

巫，平面ABCD,构造平行关系证

线〃面=面〃面，定定理；

平面ABCD,明

线〃线=面〃面2.面面平行判定

DE=3AF=3

定理的推论

「一题多解」

解法IW

思路参考：应用面面平行的判定定理证明.

证明：因为DEA-平面ABCD,AFV平面ABCD,所以DE//AF.

因为/月平面DCE,DEu平面DCE,所以/尸〃平面DCE.

因为四边形/反沙是正方形，所以/8〃微因为力由平面灰如，所以48〃平面

DCE.

因为AB^AF=A,ABu平面ABF,"t平面ABF,所以平面四厂〃平面DCE.

解法❷1

思路参考：利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明.

证明：因为DEV平面ABCD,AFX.平面ABCD,

所以DE//AF.

因为四边形缈为正方形，际以AB"CD.

又47n45=4AF,/48u平面4町DECCD=D,DE,D纪斗曲DCE,

所以平面ABF”平&DCE.

解法gfl

思路参考：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明.

证明：因为巫，平面ABCD,所以D