人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业4：3 2 1 第1课时 双曲线及其标准方程练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1§3.2双曲线3．2.1双曲线及其标准方程第1课时双曲线及其标准方程课时对点练1．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,4)＝1〖答案〗B〖解析〗2a＝|eq\r(－5＋62＋22)－eq\r(－5－62＋22)|＝4eq\r(5)，所以a＝2eq\r(5)，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1.2．已知方程eq\f(x2,1＋m)＋eq\f(y2,m－2)＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)〖答案〗D〖解析〗∵方程eq\f(x2,1＋m)＋eq\f(y2,m－2)＝1表示双曲线，∴(m－2)(m＋1)<0，解得－1<m<2，∴m的取值范围是(－1,2)．3．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq\r(3)，0)〖答案〗B〖解析〗将双曲线方程化为标准方程为x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，∴a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(3,2)，∴c＝eq\f(\r(6),2)，故右焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)).4．(多选)双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．17B．7C．22D．2〖答案〗CD〖解析〗设双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝eq\r(34)，设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋eq\r(34))，∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为()A．4a B．4a－mC．4a＋2m D．4a－2m〖答案〗C〖解析〗不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.6．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A．3或7 B．6或14C．3 D．7〖答案〗A〖解析〗设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝eq\f(1,2)|PF2|，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝eq\f(1,2)|PF2|＝7或3.7．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4eq\r(2)，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．〖答案〗eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1〖解析〗设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得＝－1，∴eq\f(5,c)·eq\f(5,－c)＝－1，∴c＝5.设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点P(4eq\r(2)，－3)，∴eq\f(32,a2)－eq\f(9,b2)＝1，又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.8．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的值为________．〖答案〗2eq\r(10)〖解析〗由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－eq\r(10)，0)，F2(eq\r(10)，0)．设点P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(10)－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(10)－x，－y)．∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→)))＝eq\r(2x2＋y2＋20)＝2eq\r(10).9．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq\f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．解因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝eq\f(3,4)，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,96)＝1(x>2)．10．如图，若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．解(1)F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，则a＝3，b＝4，c＝5，设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，代入|PF1|·|PF2|＝32，可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2为直角三角形，所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32＝16.11．设椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,5)〖答案〗B〖解析〗设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2eq\r(6)，①|d1－d2|＝2eq\r(3)，②①2＋②2，得deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(1,3).12．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．1B．4C．7D．9〖答案〗B〖解析〗在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝eq\r(2)，设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A．双曲线的一支 B．圆C．椭圆 D．双曲线〖答案〗A〖解析〗设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．14．(多选)已知点P在双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有()A．点P到x轴的距离为eq\f(20,3)B．|PF1|＋|PF2|＝eq\f(50,3)C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2＝eq\f(π,3)〖答案〗BC〖解析〗因为双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以c＝eq\r(16＋9)＝5.又因为＝eq\f(1,2)·2c|yP|＝eq\f(1,2)·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；将|yP|＝4代入C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1得eq\f(x2,16)－eq\f(42,9)＝1，即|xP|＝eq\f(20,3).由对称性，不妨取P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，4))，可知|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)－5))2＋42)＝eq\f(13,3).由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝eq\f(13,3)＋8＝eq\f(37,3)，所以|PF1|＋|PF2|＝eq\f(13,3)＋eq\f(37,3)＝eq\f(50,3)，所以选项B正确；由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝eq\f(37,3)>2c＝10>|PF2|＝eq\f(13,3).且cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝－eq\f(5,13)<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(319,481)≠eq\f(1,2)，∠F1PF2≠eq\f(π,3)，所以选项D错误．15．已知P为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若，则△MF1F2的面积为()A．2eq\r(7)B．10C．8D．6〖答案〗B〖解析〗设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为，所以eq\f(1,2)(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝eq\f(1,2)·2c·R＝10.16.如图所示，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12eq\r(3)，求双曲线的标准方程．解由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，在