图形类解三角形综合-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第10讲图形类解三角形综合

（核心考点精讲精练）

1%.考情探究.

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形

2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解

【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复

习

知识讲解

1.正弦定理

ahc

——=2R（其中火为A4BC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

2.余弦定理

222222222

a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB，c=a+b-labcosC

3.三角形的面积公式

^\ABC二万S\ABC=—absmC=—acsmB~—besinA

222

考点一、图形类解三角形综合考查

典例引领

1.（江苏,高考真题）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=V^,3=45。.

A

(1)求sinC的值；

4

(2)在边BC上取一点。，使得COSN/DC=-M，求tan/ZMC的值.

【答案】(1)sinC=^^；(2)tanADAC=—.

511

【分析】(1)方法一：利用余弦定理求得6,利用正弦定理求得sinC.

(2)方法一：根据cosNADC的值，求得sinZADC的值，由1)求得cosC的值，从而求得sinADAC,cosADAC

的值，进而求得tanNEMC的值.

【详解】(1)［方法一］:正余弦定理综合法

由余弦定理得尸=/+°2_2碇侬8=9+2-2x3x后xJ=5,所以6=遥.

2

由正弦定理得^=—竺=sinC=回巨=@.

sinCsin5b5

［方法二］【最优解】：几何法

过点/作4E_LBC,垂足为£.在RtZ\4BE中，由。=板,8=45°,可得/E=8E=1,又。=3,所以

EC=2.

在RtA/CE中，AC=ylAE2+EC2=V5-因止匕sinC=3=g.

（2）［方法一］:两角和的正弦公式法

由于cosN/DC=-1,ZADC,所以sinNADC=J1一cos?/ADC=g.

由于NzLDC所以Ce（0,1^,所以cosC=Jl-sin?C=竽.

所以sinZDAC=sin（%一ADAC）=sin（Z^DC+ZC）

=sinNADC•cosC+cosZADC-sinC=-x^^~+f-—>Ix.

55［5525

由于RCe吧，所以侬皿八7?3^^二嘤.

sin/ZMC2

所以tan/£UC=

cosZDACn

［方法二］【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

44

在（1）的方法二的图中，由cos乙4。。=-：,可得cos/ZQ£=cos（乃—乙4。。）=—cos//DC=1，从而

•/八,厂//cl4/八,厂sinZDAE4

sin/DAE=cosZADE=—,tan/DAE=--------------=—

5cosNDAE3

「।、一/口,L/CEC小ll……―/tanAEAC-tanZEAD2

又由（1）可得tan/£/C=----=2,所以tan/ZX4C=tan（/£/4。一/£4£））=---------------------------------=一

AE1+tan/EAC•tan/EAD11

［方法三］:几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得/E=1,CE=2,NC=>A.

4Er-4

在RtAADE中，AD=------------=^5,ED=ADcosZADE=—

sinZADE3

2

所以CD=C£—O£=§.

在△/CD中，由正弦定理可得sin/£MC=型6皿^二撞，

AD25

2

由止匕可得tan/ZX4C=—.

［方法四］:构造直角三角形法

如图，作4ELBC,垂足为E,作。GL/C,垂足为点G.

在（1）的方法二中可得46'=1,。£=2,力。=石.

由cosZADC=-y,可得cosZADE=1,sinZADE=71-cos2ZADE=1.

在放△NOE中，AD=-------------=-,DE=^AD2-AE2=-,CD=CE-DE=-.

sinZADE333

由（1）知sinC=@，所以在RtZ\C7X?中，DG=CD-sinC=拽,CG=dCD?-DG2=述,从而

51515

AG=AC-CG=^^-

15

DG2

在Rt/^ADG中,tan/D4G-——.

AG11

2

所以tan/D4C=H.

【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得6=追，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。角

的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两

角和的正弦公式求得/D/C的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解,

运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得/D/C的正弦值，进而得解；

方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方

法.

2.（全国•高考真题）A48C的内角4B,C的对边分别为a/,c,已知sin/+6cos/=0,a=2V7/=2.

（2）设。为8c边上一点，且4D_L/C,求AARD的面积.

27r

【答案】（1）y,4；（2）V3.

【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tanN=-6从而可得A的值，再根据余弦定理

列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC,求出CD的长，可得CD=：8C,从而得到

2

S^BD=^S^BC,进而可得结果•

2万

试题解析：（1）,「sin/+VJcos4=0,「.tanZ=—g\,.,0<4<肛，/=-^-,由余弦定理可得

a1-b2+c2-IbccQsA,即28=4+片—2x,gpc2+2c-24=0,解得。=一6（舍去）或c=4,故

c=4.

.•.cos。-2AC=2Y

（2）,/c2=b2+a2-2abcosC,/.16=28+4-2x2^/7x2xcosC»y/l'cosC2,

正

:.CD=-BC,SMBC=^-AB-AC-sinZBAC=^x4x2x^-=243,---^=1^c=V3.

3.（四川•高考真题）如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.

,«、、了口口m_或

⑴证明：

(2)若,4+C=18O11B=6,3C=3CD=4.10=5：求八卷母—畀—等的值

蜀彗蜀蜀

【答案】（1）详见解析；（2）生叵.

3

.A

sin—2sin2-

A221-cosA

【详解】（1）tan-=

sin/

cos—2sin—cos—

222

(2)由N+C=180°,得C=180°-4D=180°-反

由⑴,Wtan|+tanf+tan|+tanf

22

-----------1----------

sinAsin5

连结BD,

在AARD中，＜BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA,

在A8CD中，有BD?=BC?+CD2-2BC-CDcosC,

所以AB2+AD2-2AB-ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

则cos/J乙,二BC-C,=6&-七4、3

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)7

于是sinA=71-cos2A=A/TO

连结AC,同理可得

AB1+BC1-AD1-CD162+32-52-421

COS5=

2(AB・BC+ADCD)2(6x3+5x4)-19,

76y/lQ

于是sin§=71-cos2B二

,19

所以tan——Ftan——Ftan——Ftan一

2222

22

=-----1----

sinAsinB

—--1-4--1__2_x_1_9

一2屈2V10

4VW

3

考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、

推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

4.（2024・山东济南•二模）如图，已知平面四边形/BCD中，AB=BC=2y[2,CD=2,AD=4.

⑴若48,C,。四点共圆，求/C；

（2）求四边形48CD面积的最大值.

【答案】（1）/C=3也

（2）377.

【分析】（1）在“8C、A/CD中分别利用余弦定理表示出再由四点共圆得到

cosZADC=-cosZABC,即可求出/C；；

1<?

(2)由(1)可得cosNNDC-cos/48C=—,再由面积公式得到sinNNOC+sinN/BC=—，将两式平方再

44

1+S2

相力口得至!J2-2cos(ZADC+NABC)=,结合余弦函数的性质计算可得.

16

【详解】(1)在小8C中，由余弦定理得：AC2AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8-cosZABC=16-16cosZABC,

在“CD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cos^fADC=20-16cos^ADC,

因为48,C,。四点共圆，所以48C+/ADC=5T,因此COSN4DC=—COS/4BC,

上述两式相加得：22c2=36,所以/C=3收（负值已舍去）.

（2）由（工）得：16-16cos//8C=20-16cos//OC,

化简得COSAADC-cosNABC=一，

4

则cos2ZADC-2cosAADCcosZABC+cos2/LABC=-1-①，

16

四边形ABCD的面积S=~AB-BCsmZABC+^AD-CDsinZADC

「x2行x2国n/ABC+-x2xAsinZADC

22

=4(sin/4DC+sin^ABC),

整理得sinZADC+sinNABC=-,

4

c»2

贝ljsir?ZADC+2sinZADCsin/ABC+sin2/ABC=——②

16

_1c2

①②相力口得：2-2(cosZADCcos/ABC-sinZADCsin/4BC)=----

16

1+S2

即2-2cos(/ADC+/ABC)

16

由于0<N4DC<7i,0</ABC<兀,

所以当且仅当NADC+NABC=兀时，cos(ZADC+NABC)取得最小值-1,

1Ic2

此时四边形/BCD的面积最大，由上二=4,解得S=3后，

16

故四边形ABCD面积的最大值为3行.

5.(23-24高三上•江西•期末)如图，在AIBC中，AB=BC=2,。为3c外一点，AD=2CD=4,记乙B4D=a,

(1)求2cosa-cos£的值；

(2)若A48。的面积为S-△BCD的面积为邑，求$；+%的最大值.

【答案】⑴:3

【分析】(1)利用余弦定理，进行转换即可;

331

(2)根据题意，由(1)知2cosa-cos/7=7，求出S；+S；取得最大值，最大值为一.

22

【详解】（1）在△45。中，由余弦定理，WBD2=AB2+AD2-2AB-coscr=20-16coscr,

在ABC。中，由余弦定理，得B。=BC?+CD?-2BC•CDcos。=8-8cos0,

所以20-16cosa=8-8cosy0,

所以8（2cosa-cos夕）=12,

c。

2cosa-cos//=—3.

（2）由题意知Sj=；432Osin/84D=4sina,52=-CDsinZBCD=2sin^,

所以S；+S；=16sin26r+4sin2；0=16^1-cos26z）+4（^l-cos2

=20-16cos之a-4cos之0

33（1、

由（1）矢口，2cosa-cosP=5,所以cosy0=2cosa—5，cosaJ，

所以S：+S；=20-16cos26Z-4^2cosof--1^=-32cos26Z+24cos6/+11

3丫3i

=-321coscc—H----,

I8j2

所以当cosa=|e[,l]时，S；+S；取得最大值，最大值为号.

即照测

1.(湖南•高考真题)如图，在平面四边形,必。＞中，

幽口工翱口飞机嬲口口簿，-BEC

⑴求血NCED的值;

⑵求BE的长

【答案】⑴浮(2)477

【分析】⑴在ACOE中已知两边与一角，利用余弦定理即可求出第三条边DC的长度，再利用余弦定理即可求

出角CED的正弦值.

(2)由⑴三角形。EC的三条边，根据正余弦直角的关系可得角DEC的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也

可求的)，角/DEC,班之和为180°,其中两个角的正余弦值已知，则可以利用余弦的和差角公式求的

角4EB的余弦值,4E■长度已知，利用直角三角形ZEB中余弦的定义即可求的BE长.

【详解】如图设=e

(1)在ACDE中，由余弦定理可得EC?+。炉-2＜7)力EcosNEDC,于是又题设可知7=。)？+I+Q),即

。2+。£>-6=0,解得8=2(。。=-3<0舍去),

DECDCD-sin—2--用

在ACAE中，由正弦定理可得3__2=721,

sinZ.EDCsina=>sina=

EC

即sinNCED=回

7

2

⑵由题设可得0＜。＜弓，于是根据正余弦之间的关系可得cosa=71-sina=，而

NNEZ)=-a,所以cosN/EB=cos[-^--a\=coscosa+sin—sina=--cosa+--sin«

313)3322

1277V3V21小天“办0H/R_EA_2

=—x-------1-----x------=,il：RDtNEAB中r,cosZ-AAEJ7B=-----=-----,

272714BEBE

考点：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系

2.(湖南•高考真题)如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=布.

(1)求cos/CAD的值；

(2)若cos/BAD=~,sinzCBA=,求BC的长.

146

【答案】⑴cosACAD=—(2)3

7

【详解】试题分析：

⑴利用题意结合余弦定理可得cosZCAD=垣:

7

(2)利用题意结合正弦定理可得：BC=3.

试题解析:

（I）在△4QC中，由余弦定理得cos/。。=冬夕

7

(II)设N8/C=a，则a=

,/cosACAD=cosABAD=-

714

sinZCAD=^~

7

sin/BAD=^^~

4

..M

..sina=—

2

在A/BC中，由正弦定理,

BC/C

sinesinZCBA

故8C=3

点睛：在解决三角形问题中，面积公式S=gabsinC=y6csin/=gacsinB最常用，因为公式中既有边

又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

3.（2024•青海海西•模拟预测）如图，在四边形N8CD中，

⑴求4C；

3

（2）若A/CD的面积为求CD.

【答案】（1）/C=20：

（2）CD=—

2

【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式求出/C48,再由正弦定理得解;

（2）由三角形面积求出4D,再由余弦定理求出CD.

【详解】（1）由cosB=^,cosNNCD=巫，

510

Vio|23M

则sinB==i^sin//CO=1-I10

5lo-

又由ZCAB=n-ZABC-ZACB,

所以)=也

cosZCAB=-cos(NABC+ZACB=一7,

又由NC48e(O,;r),可得=

BC

在。BC中，又由正弦定理得:

sinZBACsinZABC

所以sin4—2垂＞，可得4C=2女;

4亍

TTTT

(2)由=—,可得NC/D=-,

44

又由A/CD的面积为：，有1x2Vl4Oxsin；=I，可得=

22422

在A/CD中，由余弦定理有CD=+(2扬2_2xgx2&sin;=孚.

4.(2024•山东荷泽•二模)已知在“3C中，S3.无=_2,A42C的面积为百.

C

⑴求角C的度数；

(2)若8C=2,O,E是48上的动点，且/。CE始终等于30。，记NCED=c.当。£取到最小值时，求a的

值.

【答案】⑴/C=120。；

(2)75°.

【分析】(1)设CA=b,CB=a,贝|a6cosC=-2,ga加inC=6求解即可；

DE________1_______

(2)根据三角形面积公式结合正弦定理得到.八“。、代，根据角的范围求解即可.

sin(26r-60°)+—

【详解】(1)设CA=b,CB=a,贝!JabcosC=-2,又;absinC=J§\因此tanC=-JJ,

由。为“BC的内角，所以/C=120。.

（2）由（工）知，5"疝120。=/，又。=2,贝股=2,因此C/=CB=2,//==30。,

「Ar开i

在中，由正弦定理得——=一^鬲，即。£二一

smasm30sma

CEDE

在△CDE中,由正弦定理得

smZCDE~sin30°?

D“E—-C-^-s-in-3-00=------1-----=-------1-1=---

sinZCDE2sinasin(150°-a)sin6rcoscr+<3sin2a

____________1____________________1_______

1•°百)上邪•°rno\,'

一sm2a------cos2a+——sm(2a-60)+——

2222

显然30。(04120。，则有0«2a-60。4180。，因此当sin(2a-60。)=1时，DE取到最小值,

此时2a-60。=90。，即a=75。，

所以。的值75。.

IN.好题冲关

基础过关

1.23-24高三上•陕西汉中•阶段练习）如图，在“3C中，角48,C的对边分别为a,6,c,AB=6,AC=2班,

5c=2而，点。在边BC上，且//OC=60°.

⑴求sin8；

⑵求线段力。的长.

【答案】⑴立

3

(2)4

【分析】（1）利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解;

（2）利用正弦定理即可得解.

【详解】⑴根据题意得：cos八片+片一〃=（2码+62―（2回=76,

2ac2X2A/6X63

又0<5<兀，所以sin5=Vl-cos2B=——.

3

（2）因为乙4。。=60。，所以N4O5=120。,

在中，由正弦定理嗯=-^g可得，"I；：：_^=4.

sin5sinZADBsmZADB也

2.（23-24高三上•湖北•期末）如图，在。3C中，/5=/。=6,点。是边5C上一点，且

opy__

AD_LAB,cos^CAD-.......,A,E-2EB

3

⑴求ABCE的面积;

⑵求线段的长.

【答案】（1）4&

（2）ND=3后

【分析】（1）根据ZBCE=；S.C求解即可；

（2）解法1：在AA8C中根据余弦定理求出BC,结合等腰三角形的性质求cosB,在△450中勾股定理求

AD即可；

=

解法2:由&ASCSAABD+S"cz）求得AD.

—►—►1

【详解】⑴・・・/£=2郎.•.S“=]S"5

而S/BC=gN8.NC•sin/2/C=gX6义6Xsin（NC/O+]）

=18cos/OLD=18x冬®=12"

3

S、BCE=]SJBC=4G.

（2）解法1：•.•cosZCAD=^^,ZCADe（0,7t）,.\smZCAD-71-cos2ZCAD=1,

cosNCAB=cosjZCAD+^\=-sinZCAD=-1,

在中，2c2=/22+/C2-2/BZC.cos/C/8=36+36-2x6x6x（-gj=96,

.•.8C=4n,.^.在等腰。BC中，〃产276灰,

BA63

中，cosB=-=1^-=-6-,:.BD=3y/6,

3BDBD

AD=^BD2-BA2=J54-36=372.

解法2：cosZCAD=^y-,ZCADe（O,7i）,.\smZCAD=71-cos2ZC^D=1,

由S4ABe=S&ABD+S&ACD得,

12近」x6xAD+』x6xNDsinNC皿

22

即12后=；*6./。+/（6/。）.；，

解得4。=3vL

3.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如图，在平面四边形/BCD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

⑴求cos/ADB；

（2）若△BCD的面积为4A，求2c.

【答案】（1）叵

5

（2）10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sin//D8,再结合结合同角的三角函数关系即可求解;

（2）先结合（1）及三角形面积公式求出DC,再根据余弦定理即可求解.

BDAB

【详解】（1）在△48。中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

46

即提解得sin/AD5=J

sin/ADB5

又0°<//。吕<90°,

所以cosZADB=sin2NADB=｛一.

(2)结合⑴可得cos/8OC=cos(90°-//D2)=sin/4)8=、-,

则sin/BDC=Vl-cosVfi/JC=孚,

又S.BCD=：DBDC.sinNBDC,即4历=!xlO*DCx叵，解得。。=4公，

225

则由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD-DC-cosZBDC=100.

又BC>。,所以BC=10.

4.(2023・河南•模拟预测)如图，在四边形48co中，48，3C,NNOC=120。,48=C£>=的面

积为®

2

⑴求sinNC48；

（2）证明：NCAB=NCAD.

【答案】（1）叵

7

（2）证明见解析

【分析】（1）设CZ）=2/Z）=2q,Q>0,根据△4C。面积得到方程，求出。=1,在△/C。中，利用余弦定理

求出/C=J7,进而求出5C,从而求出sin/CZB的值；

（2）在△ZCQ中，由正弦定理得sin/C4D=叵，结合（1）中sin/C45=变，由角的范围得到

77

/CAB=ZCAD.

【详解】（1）^CD=2AD=2a,a>0,

因为△ZCZ）的面积为立,/4DC=120°,

2

所以工x2axqxsinl20°=，解得Q=1,

22

所以43=CQ=2,ZZ)=1.

在“CD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-240-CZ)cosl20。=l+4-2x2xlx，；j=7,

所以/C=J7.

在Rt^ABC中，ABIBC,AB=2,所以BC=J/C'-/炉=J7-4=5

5C_V3_V21

所以

sinNC48=~AC~4y~~

(2)由(1)可得CD=2,/C=V7,

CDAC

在A/C〃中,由正弦定理得

sinZCADsmZADC

所以./一八CDsmZADC2x~后,且0。</C/D<60。.

sinZC^D=-----------=—--------

AC7

由(1)可得sin/C45=X^,又0。</08<90。，

7

所以/C/5=/C4Z).

5.（2024•江西南昌•一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边4。=10,

ITJT

ZBAC=-,ZDAC=-,BD交AC于点E.

⑴求8》；

(2)求NE.

【答案】(1)50+2573；

(2)573-5.

TTJT

【分析】（1）由锐角三角函数求出月8、AD,又/胡。=§+“利用两角和的余弦公式求出cos/B/D,

最后由余弦定理计算可得；

（2）解法1：首先求出sin/历1。，再由$.皿及=54班+邑3£，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到

管==再由/£+=10计算可得.

匕C>pen3

【详解】（1）由已知，48=/C-cos/B/C=10x；=5,

AD=AC-cos^DAC=10x—=5s/2,

2

jrjr

因为ABAD=NBAC+ADAC=NBAC=~+~,

所以cos/5/Z）=cos^y+=cosgeos；—singsin；

1V2V3V2V2-V6

=—X-------------------X--------=--------------------,

22224

所以在/\ABD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB•AD-cosZBAD

=25+50—2x5x5后义行一八

4

=50+256

（2）解法1：因为sin/5/D=sin[Z+=sin'cos'+cos至=

{34J34344

又因为SAZBO=S“BE+S4ADE，

所以L•/D-sinZBAD^-AB-AE-sin/BAE+--AE-AD-sinZEAD,

222

叫x5x5。早三瑛心圣白人》：

解得/£=56-5.

解法2：因为Z8/Z>+Z8CZ>=7t,所以5沿/8/。=5M（兀一/867））=5诒/8。/）,

又AD=CD=56，5C=5V3,

—xAB-AD-sinZBAD—x5x5-V2sin^BAD国

所以在AT7=。c=2__________________=二__________________=也，

EC3

S-BCDLXBC-CDsm^BCD1x573x5VIsin^SCD

又因为NC=10,所以/E+EC=10,贝Ij/E+JI4E=1O,

所以N£=5>A-5.

6.（23-24高三上•广东江门•阶段练习）己知/,B,C,。四点逆时针排列于同一个圆。上，其中

BC=2/8=4,△ABC的面积为2g,/ABC吟.

B

⑴求边/C的长;

⑵当圆心。在40上时，求tan/C/Z).

【答案】(l)AC=2y/l.

喈

【分析】(1)由已知，结合三角形面积公式及余弦定理求解即得.

(2)由(1)的信息，结合圆的性质求出即可得解.

【详解】(1)在。8c中，2。=2/8=4公/5。的面积为26，

则Sm=9'8CsmN"2C=4sinN/8C=26'解得sm42c=9'

^ZABC>~,于是/ABC上,由余弦定理得4C=J/32+8C2-2/8-8CCOS@

23V3

=^22+42-2x2x4x(-1)=277.

27rjr

(2)由⑴知/42C=丁，而线段为圆。的直径，则乙4助=—,

32

27r7T7T

因此NC4Z)=NC5D=--------=—，

326

所以tan/CAD=tan--.

63

7.(23-24高三上•江西•阶段练习)如图，在梯形/3C。中，AD//BC,BD=5,ZCBD=60°.

⑵若AD=2,求cos/ABD.

【答案］⑴106

(2噜

【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可;

（2）利用余弦定理进行求解即可.

BDCD

【详解】（1）在中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

BDsmZCBD5sin60°

=20x

贝1JsinZBCD~i-

4

(2)因为4Z)〃5C,所以N4DB=/C5D=60。.

由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB=19,

则715=^25+4-2x5x2x1=719，

4B2+BD2-4D219+25-44M

所以cosAABD=

2ABBD2xMx5-19

8.（23-24高三上•安徽•期末）如图，在。3C中,/C48的平分线交边于点£,点。在边上,/£=7,

spj

=3疗,cos/G4E=△—.

14

⑴求N4DE的大小；

2兀

（2）若Z.ACB■，求△CZ）£的面积.

【答案】（呜

（2）短

4

【分析】（1）因为NE是/C48的角平分线，所以cosNC4E=cosND4E=±，在△4DE中利用余弦定理求

14

出DE的长,再次利用余弦定理即可求出ZADE的大小.

（2）在LACE中，由正弦定理求出CE的长,再根据四边形内角和为2兀可得到NCED+/。。=兀,从而求出

sinZCED的值,再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）因为/£是/G48的角平分线，所以cosNC4E=cosND4E=%^,

14

5Fl

在LADE中，根据余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AEADcos/DAE=49+63-2x7x377x1=7,

14

所以。E=V7,

AD2+DE2-AE263+7-49_1

则cosZADE=

2ADDE2x377x77-2

因为//OEe（0,兀）,

IT

所以44QE二§.

（2）因为cosNCAE=出，所以sin/CAE=Jl—cos?/CAE=Jl—±=—

14'114J14

CEAECE7「厂片

------------=------------=>-"nCE=V7

在△4CE中,由正弦定理得sin/CZEsmZACE而百,

2冗71

在四边形ADEC中，ZCED+ZCAD=2n-ZACB-NADE

所以sin/CED=sin/G4D=2sin/C4Ecos/CZE=2x些x@=在，

141414

则SeF=LcE-DE9nNCED=Lx5x5x^=^.

“CDE22144

9.（2024・陕西西安•模拟预测）如图，在平面四边形48CD中，ABHCD,AD-sinD^y/3AC-cosZACD,

NA4c的角平分线与8C相交于点E,且/E=l,/8=6.

⑴求的大小;

（2）求8C的值.

【答案】⑴]7T

（2）1

【分析】（1）在“CD中利用正弦定理结合已知条件求出tan/NCD,即可得解;

冗

（2）依题意可得/R4C=§,由&胡求出4。，再在。中利用余弦定理计算可得.

4。AC

【详解】（1）在△ZCQ中，由正弦定理得

sinAACDsin。

所以/ZbsinZ）=4C・sin/4CD,

又4D•sinD=拒AC•cosZACD,

所以2c•sinNACD=y/3AC-cosZACD，因为cosZACD丰0,

所以tanNHCD=6.

JT

因为0〈44co＜兀，所以//CD=—.

3

IT

(2)因为/3//CZ),所以的C=N/CD=§.

TT

因为/月平分NA4C,所以NBAE=NCAE=—.

6

因为S&BAE+SQE=S^BAC