2025年中考数学复习之因式分解

2025年中考数学复习新题速递之因式分

选择题（共10小题）

1.（2024春•高新区校级期中）已知2f-3x-"z分解因式的结果为（2x+l）（x+〃），则（）

A.-4B.4C.1D.0

2.(2024•东莞市模拟)把多项式fy-y因式分解正确的是()

A.y(X2-1)B.y(x-1)2

C.y(x+y)(x-1)D.y(x-1)(x+1)

3.(2023秋•齐齐哈尔期末)下列式子从左到右的变形属于因式分解的是()

A.x2-5x+6=x(x-5)+6B.8了2>3=2f♦4、3

C.(x-2)(x-3)-5x+6D.x2+2x+l=(x+1)2

4.(2024春•项城市校级月考)若/+QX=X(%+4),则〃的值为()

A.2B.3C.4D.8

5.(2023秋•咸安区期末)将下列多项式分解因式,结果中不含有因式（尤+2）的是（)

A./+2xB.x2-4

C.(x-2)2+8(尤-2)+16D.xi+3x1-4尤

6.(2023秋•淄川区期末)计算(-5)2。13+(-5)2014的结果是（）

A.4X52013B.-5C.-4X52013D.-4

7.(2024春•兰州期末)已知a+6=8.ab=6,则a2%+。户的值是（）

A.14B.36C.48D.64

8.（2023秋•商水县期末）将下列多项式分解因式,结果中不含有因式（尤+2）的是（)

A.x2-4B.（%-2）2+8（%-2）+16

C.x3-4X2+4XD./+2X

9.（2023秋•广饶县期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：尤-y,a-

b,2,J?-y2,a,x+y,分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2-j2）-2b（x2

-/）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美

10.（2024春•桂平市期中）多项式87y4-12孙2z的公因式是（）

A.4x2/B.4xyzC.4^y4D.4xy2

二.填空题（共5小题）

11.（2024•长沙模拟）分解因式：n2m-9m=.

12.（2024春•张店区校级月考）分解因式：?-6X2+9X=.

13.（2024春•聊城月考）将多项式（a-3）2-（2a-6）因式分解的结果是.

14.（2024•开福区校级三模）分解因式：2/-8=.

15.（2023秋•南阳期末）利用因式分解计算：2012-1992=.

三.解答题（共5小题）

16.（2023秋•南阳期末）因式分解：

（1）jc'y-xy；

（2）（尤+y）2+14（尤+y）+49.

17.（2023秋•历下区期末）已知x+y-2是二次六项式/+叼+力2-5x+y+6的一个因式，求0、6的值.

18.（2023秋•永吉县期末）下面是某同学对多项式（/-4x+2）（？-4x+6）+4进行因式分解的过程

解：设/-4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=/+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（f-4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的.

A.提取公因式

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？.（填“是”

或“否”）如果否，直接写出最后的结果.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（7-2尤）（?-2x+2）+1进行因式分解.

19.（2024春•永寿县月考）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写

了下面两道题目让学生解答：

因式分解：（1）x2-xy+6x-6y；（2）25-x2-9-6x.

下面是晶晶和小舒的解法：

晶晶：x~-xy+6x-6y小舒：25-尤2-9-6x

=(X2-孙)+(6x-6y)(分成两组)=52-(?+6x+32)(分成两组)

=x(x-y)+6(x-y)(直接提公因式)=52-(x+3)2(直接运用公式)

=(x-y)(x+6)=(5+x+3)(5-x-3)

=(8+x)(2-x)

请在她们的解法启发下解答下面各题：

(1)因式分解:cr+b1-16-2ab；

(2)若a-b=-1,c-a=3,求ab-bc+ac-cF的值；

(3)已知△ABC的三边a,b,c满足/-启-女+儿=。，ZVIBC是什么三角形？

20.(2024春•肥乡区期末)【发现】一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,且a+b=10,

若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍

数.

【解决问题】

(1)用含。的代数式表示：

原来的两位数为,新的两位数为；

(2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确.

2025年中考数学复习新题速递之因式分解(2024年9月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.(2024春•高新区校级期中)已知2?-3x-根分解因式的结果为(2x+l)(x+及)，则加+〃=(

A.-4B.4C.1D.0

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【专题】分式；运算能力.

【答案】D

【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出出〃的值，即可得出答案.

【解答】解：1•多项式2/-3x-机分解因式的结果为(2%+1)(%+〃)，

2x2-3x-m=(2x+l)(x+九)=2x2+(2n+l)x+n,

••2n+l=-3,n=~m,

・••几=-2,

.\m=2,

m+n=2-2=0.

故选：D.

【点评】此题主要考查了因式分解-十字相乘法，正确掌握运算法则，将原式展开是解题关键.

2.(2024•东莞市模拟)把多项式Wy-y因式分解正确的是()

A.y(7-1)B.y(尤-1)2

C.y(x+y)(x-1)D.y(x-1)(尤+1)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

【分析】先提公因式，然后再用平方差公式进行因式分解即可.

【解答】解：J^y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).

故选：D.

【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

3.(2023秋•齐齐哈尔期末)下列式子从左到右的变形属于因式分解的是()

A.x2-5x+6—x(x-5)+6B.

C.（x-2）（尤-3）=/-5x+6D.X2+2X+1—（X+1）2

【考点】因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可.

【解答】解：A、？-5x+6=x（尤-5）+6的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题

忌；

B、8/y3=27.4y3不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C、（A--2）（x-3）=/-5x+6的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D、f+2x+l=（x+1）2,属于因式分解，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键.

4.（2024春•项城市校级月考）若W+ax=x（尤+4）,则a的值为（）

A.2B.3C.4D.8

【考点】因式分解-提公因式法；单项式乘多项式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据单项式乘以多项式的计算法则求出尤（x+4）的结果即可得到答案.

【解答】解：''J?+ax=x（尤+4）,

x^+ax=x^+4x>

故选：C.

【点评】本题考查因式分解-提公因式法、单项式乘多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

5.（2023秋•咸安区期末）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（龙+2）的是（）

A./+2xB.x2-4

C.（x-2）2+8（尤-2）+16D.尤3+3―-4尤

【考点】因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据因式分解的意义求解即可.

【解答】解：A.原式=尤（x+2）,故此选项不符合题意；

B.原式=（尤+2）（尤-2）,故此选项不符合题意；

C.原式=（x-2+4）2=（尤+2）2,故此选项不符合题意；

D.原式=x（?+3尤-4）=x（x+4）（x-1）,故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键.

6.（2023秋•淄川区期末）计算（-5）2013+（-5）2014的结果是（）

A.4X52013B.-5C.-4X52013D.-4

【考点】因式分解-提公因式法；有理数的混合运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】A

【分析】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解.

【解答】解：（-5）2013+L5）2014

=_52013+52014

20132013

=5X5-5

=52013X（5-1）

=4X52013,

故选：A.

【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用提公因式法因式分解.

7.（2024春•兰州期末）已知a+b=8.ab=6,贝U/打。.的值是（）

A.14B.36C.48D.64

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】C

【分析】首先把/计"2化成油（a+b）,然后把o+b=8.油=6代入化简后的算式计算即可.

【解答】解：：a+b=8,ab=6,

crb+ab1

=ab（a+Z?）

=6X8

=48.

故选：c.

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确提取公因式法的应用.

8.(2023秋•商水县期末)将下列多项式分解因式，结果中不含有因式(尤+2)的是()

A.?-4B.(x-2)2+8(x-2)+16

C.x3-4X2+4XD./+2无

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】C

【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式=(x+2)(x-2),不符合题意；

B、原式=(%-2+4)2=(x+2)之，不符合题意；

C、原式=尤(x2-4x+4)=无(尤-2)2,符合题意；

D、原式=%(尤+2),不符合题意.

故选：C.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

9.(2023秋•广饶县期末)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y,a-

b,2,x2-y2,a,x+y,分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a(x2'J2)-2b(x2

-/)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；应用意识.

【答案】A

【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2(x+y)(x-y)(a-b),然后找出对应的汉

字即可对各选项进行判断.

【解答】解：2a(x2-y2)-2b(x2-y2)—2(x2-y2)(a-b)=2(x+y)(尤-y)(a-6),

信息中的汉字有：华、我、爱、中.

所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.

故选：A.

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用

因式分解简化计算问题.

10.(2024春•桂平市期中)多项式8/y4-12孙2z的公因式是()

A.4/y2B.4xyzC.4j^y4D.4xy2

【考点】公因式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据三定法：系数的最大公因数，相同字母的最低次幕进行判断即可.

【解答】解：多项式8?/-12盯2z的公因式是4盯2；

故选：D.

【点评】本题考查公因式，熟练掌握公因式定义是关键.

二.填空题(共5小题)

11.(2024•长沙模拟)分解因式：n2m-9m=m(〃+3)(〃-3)..

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】m(n+3)(n-3).

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案.

【解答】解:n2m-9m=m(n+3)(〃-3),

故答案为：m(n+3)(n-3).

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

2

12.(2024春•张店区校级月考)分解因式：?-6X2+9X=-5x+9x.

【考点】因式分解-运用公式法.

【专题】计算题；整式；运算能力.

【答案】-5?+9x.

【分析】合并同类项得法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变.

【解答】解：x2-6x1+9x—(1-6)x1+9x--5X2+9X.

故答案为：-5怔+9心

【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.

13.(2024春•聊城月考)将多项式(a-3)2-(2a-6)因式分解的结果是(a-3)(a-5)

【考点】因式分解-提公因式法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(a-3)(a-5).

【分析】直接提取公因式。-3,即可.

【解答】解：(。-3)2-(2a-6)

=(a-3)(tz-3)

=(a-3)-(。-3-2)

=(a-3)(a-5).

故答案为：(a-3)(a-5).

【点评】此题主要考查了因式分解-提公因式法，掌握因式分解-提公因式法的定义是解题关键.

14.(2024•开福区校级三模)分解因式：2a2-8=2(a+2)(a-2).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】2(a+2)(a-2).

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

【解答】解：2/-8

=2(cz2-4)

—2(a+2)(a-2),

故答案为：2(a+2)(a-2).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须

先提公因式.

15.(2023秋•南阳期末)利用因式分解计算：2012-1992=800.

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先利用平方差公式分解因式，然后计算即可求解.

【解答】解：2012-1992=(201+199)(201-199)=800,

故答案为800.

【点评】本题考查了因式分解在进行有理数的乘法中的运用，涉及的是平方差公式的运用，使运算简便.

三.解答题(共5小题)

16.(2023秋•南阳期末)因式分解：

(1)xy-xy；

(2)(x+y)2+14(尤+y)+49.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】(1)xy(x+1)(x-1)；

(2)(尤+y+7)2.

【分析】(1)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；

(2)利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：⑴炉厂孙

=xy(x2-1)

=xy(x+1)(x-1)；

(2)(x+y)2+14(x+y)+49=(x+y+7)2.

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

17.(2023秋•历下区期末)已知无+y-2是二次六项式x2+ory+by2-5x+y+6的一个因式，求“、。的值.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】7；-2.

【分析】设？+叼+力2-5x+y+6=(x+y-2)Qx+ky-3),展开比较系数即可得解.

【解答】解：由已知可设

x^+axy+by2-5x+j>+6=(x+y-2)(x+ky-3),

展开比较系数得：

l+k=a,k=b,-2k-3=1,

解得k--2,b—-2,a--1.

【点评】本题主要考查了因式分解，题目难度中等，根据题意，把一个整式写成两个因式之积的形式是

解答的关键.

18.(2023秋•永吉县期末)下面是某同学对多项式(尤2-以+2)(？-4.r+6)+4进行因式分解的过程

解：设/-4x=y

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(j+4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.

A.提取公因式

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？否.(填“是”

或“否”)如果否，直接写出最后的结果(X-2)4.

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(/-2尤)(/-2x+2)+1进行因式分解.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(1)C；

(2)否，(x-2)4；

(3)(x-1)4.

【分析】(1)分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；

(2)明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底；

(3)首先设/-2x=y,对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；接下来，只需

将所设/-2x=y换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果.

【解答】解：(1)第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式.

故选：C；

(2)否，最终结果为(尤-2)4.

故答案为：否,(尤-2)%

(3)设/-2x=y,

则原式=y(y+2)+1

=y1+2y+\

=(y+1)2

=(x2-2x+l)2

—(x-1)4.

【点评】此题考查的是因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法.

19.(2024春•永寿县月考)在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写

了下面两道题目让学生解答：

因式分解：(1)/-xy+6x-6y；(2)25-x2-9-6x.

下面是晶晶和小舒的解法:

晶晶：x2-xy+6x-6y小舒：25-%2-9-6x

=(x2-xy)+(6x-6y)(分成两组)=52-(?+6x+32)(分成两组)

=x(x-y)+6(尤-y)(直接提公因式)=52-(x+3)2(直接运用公式)

=(x-y)(x+6)=(5+x+3)(5-x-3)

=(8+x)(2-x)

请在她们的解法启发下解答下面各题：

(1)因式分解:c^+b1-16-2ab；

(2)若a-b=-1,c-a=3,求ab-bc+ac-o2的值；

(3)已知△ABC的三边a,b,c满足/-廿一改+儿=0,是什么三角形？

【考点】因式分解的应用；因式分解的意义.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】(1)(a-6+4)(a-6-4)；

(2)-3；

(3)△ABC是等腰三角形.

【分析】(1)分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可;

(2)分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可；

(3)整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解.

【解答】解：(1)原式=/+d-2必-16

=(a-Z?)2-42

=(a-b+4)(a-b-4)；

(2)原式=4。-a2+ac-be

=Cab-a2)+(ac-be)

-a(〃-b)+cQa-b)

=(a-/?)(c-a).

•ci~b~~~1,。1。=3,

，原式=(a-b)(c-〃)=-1X3=-3；

(3)*.*a2-b2-ac+bc=0,

(a+b)(a-Z?)-c(a-b)=0,

(a+b-c)(a-b)=0.

a+b-c>0,

.,.a-b=0,HPa=b,

...△ABC是等腰三角形.

【点评】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重

新分组后进行因式分解.

20.(2024春•肥乡区期末)【发现】一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,。>6且。+6=10,

若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍

数.

【解决问题】

(1)用含。的代数式表示：

原来的两位数为9a+10,新的两位数为100-9a；

(2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确.

【考点】因式分解的应用；列代数式.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)依据题意，根据十位上的数字为。，且a+b=10,则个位上的数字为(10-。)，再根据两

位数的表示方法列出代数式即可得出答案；

(2)依据题意，先计算这两个数的平方差，再进行判断即可.

【解答】解：(1)•••一个两位数的十位上的数字为。，个位上的数字为6,且a+b=10,

.".b=10-a.

,原来的两位数为：10a+10-a=9a+10.

将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，

新的两位数为：10(10-a)+a=100-9a.

故答案为：9«+10；100-9a.

(2)根据题意得，(9a+10)2-(100-9a)2

=(9a+10+100-9a)(9ti+10-100+9。)

=110(18a-90)

=1980(.a-5)

=99X20(a-5).

..•。是整数，

/.(9a+10)2-(100-9a)2能被20整除，即【发现】中的结论正确.

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用公式是关键.

考点卡片

1.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计

算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化

为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积

为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

2.列代数式

(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式.

(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义.如

“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列

代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，

先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起

来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写,

数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称

什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”简写作“；，或

者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“+”(除号)，而是写成分数的形式.

3.单项式乘多项式

(1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把

所得的积相加.

(2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏

乘；③注意确定积的符号.

4.因式分解的意义

1、分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.