2025年高考数学复习之圆与与方程

2025年高考数学复习新题速递之圆与与方

选择题（共8小题）

1.（2024•碑林区校级开学）直线/过点（2,1）,且与圆C：（x-2）2+（y-4）2=10相交所形成的长度

为整数的弦的条数为（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2024•珠海模拟）己知点A（-1,0）,B（0,3）,点P是圆（x-3）2+/=1上任意一点，则

面积的最小值为（）

119同

A.6B.—C.-D.6-空

222

3.（2024•王益区校级模拟）已知A（-2,0）,B（2,0）,若圆（x-a-1）2+（厂3a+2）2=4上存在点

产满足占•而=5,则。的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

4.（2024•新县校级模拟）直线/：y=fcr-2与圆C：/+/-6尤-7=0交于A,8两点，则的取值范围

为（）

A.[V7,4]B.[2V7,8]C.[遮，4]D.[2W，8]

5.（2024秋•开福区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（2,0）为圆心且与直线产尤+2相切的圆

的标准方程为（）

A.（%-2）2+y2=2V2B.（x-2）2+/=8

C.（x+2）2+/=8D.（X-2）2+J2=16

6.（2023秋•哈尔滨期末）已知mER,直线Zi：）nx+y+2m=Q与b：x-my+2m=Q的交点P在圆C：（x-2）

2+（j-4）2=r（r>0）上，则厂的最大值是（）

A.4V2B.3V2C.2A/2D.V2

7.（2024•德阳模拟）已知OC：（x-2）2+，=i,过坐标原点。作OC的两条切线，切点为A、B,则四

边形0AC8的面积为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

8.（2023秋•越城区校级期末）若直线以+勿=1与O：x2+y2=i相离，则点尸（0,匕）与圆。的位置关系

为（）

A.点尸在圆。内B.点P在圆。上

C.点P在圆。外D.无法确定

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•鞍山月考）已知直线/：kx-y+k^0,圆C：Ay2-6x+5=0,P（xo,yo）为圆C上

任意一点，则下列说法正确的是（）

A.诏+据的最大值为5

Vn2

B.一的最大值为一^

工05

C.直线/与圆C相切时，k=士亭

D.圆心C到直线/的距离最大为4

（多选）10.（2024秋•濮阳月考）已知直线y=x与圆。：/+/_2nly=4-有两个交点，则整数机的

可能取值有（）

A.0B.-3C.1D.3

（多选）11.（2024秋•永州月考）已知点A（-2,0）,B（1,0）,圆C：/+/-4x=0,则（）

A.圆M■:?+（y-1）2=1与圆C公共弦所在直线的方程为3尤-y=0

B.直线>=左（%-3）与圆C总有两个交点

C.圆C上任意一点M都有|MA|=2|MB|

D.b是a,c的等差中项，直线/：ax+2by+c=0与圆C交于P,。两点，当|PQ最小时，/的方程为x+y

=0

（多选）12.（2024•芝景区校级模拟）圆01：-2x=o和圆。2：N+V+Zx-4y=0的交点为A,B,

则有（）

A.公共弦A8所在直线方程为尤-y=0

B.线段A3中垂线方程为x+y-1=0

V2

C.公共弦A8的长为匚

2

_V2

D.尸为圆。1上一动点，则尸到直线A8距离的最大值为台+1

三.填空题（共4小题）

13.（2024•如东县校级开学）圆G；Q—1）2+y2=1与圆（x—4产+（y—4产=9的位置关系

为.

14.（2024•屯溪区校级模拟）己知圆G：/+y2=4和圆Q—2）2+（y—2）2=4,若点P（m,后（加

>0,n>0）在两圆的公共弦上，则"0+/-〃的最小值为.

15.（2024•余江区校级开学）已知圆C：（x-1）2+y2=i,以圆心C和p（3,2）为直径的圆的标准方程

是

11

16.(2024•新县校级模拟)已知A为圆C：久2+⑶-=今上的动点，8为圆及(x-3)2+y2上的

动点，尸为直线、久上的动点，则|PB|-|刖的最大值为.

四.解答题(共4小题)

17.(2024•章贡区校级开学)若圆C经过点A(-1,1)和2(1,3),且圆心在无轴上，则：

(1)求圆C的方程.

(2)直线y=x与圆C交于E、/两点，求线段的长度.

18.(2024•漳州开学)如图，在。。中，A8是直径，点C是圆上一点.在的延长线上取一点。，连接

CD,使NBCD=NA.

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)若/ACD=120°,CD=2V3,求图中阴影部分的面积(结果用含TT的式子表示).

19.(2023秋•哈尔滨期末)已知的圆心为(8,6),且过点A(4,3).

(1)求的标准方程；

(2)若直线/与OM相切于点A,求/的方程.

20.(2023秋•盐田区校级期末)已知圆C：x2+y2+2x-4y-4=0.

(1)从圆外一点尸(2,1)向圆引切线，求切线方程；

(2)若圆C2：尤2+y2=4与圆。相交于。、石两点，求线段的长.

2025年高考数学复习新题速递之圆与与方程（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2024•碑林区校级开学）直线/过点（2,1）,且与圆C：（尤-2）2+（y-4）2=10相交所形成的长度

为整数的弦的条数为（）

A.6B.7C.8D.9

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】分类讨论；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】D

【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定

弦的条数.

【解答】解：由题设，圆C的圆心为（2,4）,且半径r=

因为（2-2）2+（1-4）2=9<10,即点（2,1）在圆内，

且圆心到该点的距离d=3,

当直线/与（2,1）、（2,4）的连线垂直时，弦长最短为2，八-d2=2,

而最长弦长为圆的直径为2同，故所有弦的弦长范围为[2,2V10],

所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6,

根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，

综上，共9条.

故选：D.

【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断及直线与圆相交弦长的求法，属于中档题.

2.（2024•珠海模拟）已知点A（-1,0）,B（0,3）,点P是圆（x-3）2+/=1上任意一点，则

面积的最小值为（）

119同

A.6B.—C.-D.6-当

222

【考点】圆上的点到直线的距离及其最值.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】D

【分析】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线距离的最小值

即可求得最小值.

【解答】解：已知两点A(-1,0),B(0,3),

则|4B|=7(-1)2+32=V10,

直线AB方程为y=3尤+3,

圆(x-3)2+y2=i的圆心c(3,0),半径r=l,

点C到直线AB：3x-y+3=0的距离d=1"=誓，

柠+(一1)2

因此点P到直线AB距离的最小值为d—r=空—1,

1/—6V10Vio

所以△B43面积的最小值是3X。10X(飞一―1)=6.

故选：D.

【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了圆的性质，属中档题.

3.(2024•王益区校级模拟)已知A(-2,0),B(2,0),若圆(%-«-1)2+(厂3。+2)2=4上存在点

尸满足占•而=5,则。的取值范围是()

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数；平面向量数量积的坐标运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；数学运算.

【答案】A

—>—>

【分析】设尸的坐标为(无，y),根据P/hPB=5列式算出P的轨迹方程为:+9=9,再根据两圆相交

建立关于。的不等式，解出实数a的取值范围.

【解答】解：根据题意，圆Cx-a-1)~+(y-3a+2)?=4是以C(a+1,3a-2)为圆心,半径n—2

的圆，

—>—>

设尸(尤，y),贝l|P4=(—x—2,-y),PB=(一无+2,—y),

所以易•丽=(-x-2)(-x+2)+y2=5,整理得/+俨=9,

因此，点P的轨迹方程为/+尸=9,是以。(0,0)为圆心，半径为己=3的圆.

结合题意，可知圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y?=9有公共点，

可得|〃-胡W|0C|Wn+r2,即1<J(a+1)2+(3a—2尸<5,解得-lWaW2.

即实数。的取值范围是[-1,2].

故选：A.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算法则、两点之间的距离公式、圆与圆的位置关系等知

识，属于中档题.

4.(2024•新县校级模拟)直线/：>=依-2与圆。：-6x-7=0交于A,B两点，则|48|的取值范围

为()

A.[V7,4]B.[2V7,8]C.[V3,4]D.[2b，8]

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】D

【分析】直线/经过圆心C时，弦长取得最大值，当直线/J_OC时取得量小值.

【解答】解：由题意可得直线/过定点。(0,-2),圆C的圆心C(3,0),半径r=4.|Z)C|==V13

<4,

所以。在圆的内部，

22

当直线/经过圆心C时，\AB\max=2r=8,当直线/J_DC时，\AB\min=2J4-(V13)=2>/3,

综上，|A8|的取值范围是[2b，8].

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆中的弦长问题，属中档题.

5.(2024秋•开福区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，以点(2,0)为圆心且与直线产尤+2相切的圆

的标准方程为()

A.(%-2)2+y2=2V2B.(%-2)2+/=8

C.(x+2)2+/=8D.(尤-2)2+J2=16

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解.

【解答】解：由圆心(2,0)到直线x-y+2=0的距离d=之二丝蛋=2/，

即所求圆的半径为r=2a,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+/=8.

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，是基础题.

6.(2023秋•哈尔滨期末)已知mER,直线h：iwc+y+2m=0与但x-my+2m=0的交点P在圆C：(x-2)

2+(j-4)2=r(r>0)上，则厂的最大值是()

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】A

【分析】求得点P的轨迹方程，由题意可得W|CO|Wr+VL可求厂的取值范围，进而可求最

大值.

【解答】解：由直线A,/2的方程知直线人过定点A(-2,0),

直线/2过定点8(0,2),又加X1+1X(-m)=0,所以/1JJ2,BPAPLBP,

所以点尸在以48为直径的圆。上，即尸在圆。：(x+1)2+(y-1)2=2上，

又P在圆C上，所以圆C与圆。有交点，

BP|r-V2|<\CD\<r+V2,又|CD|=J(—l-2乃+(1-4尸=3vL

所以2四工?工4鱼，即r的取值范围是[2&，4V2].

故选：A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题.

7.(2024•德阳模拟)己知OC：(x-2)2+y2=l,过坐标原点。作(DC的两条切线，切点为A、B,则四

边形0AC2的面积为()

A.1B.V3C.2D.2V3

【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，由切线长公式求出|。4|的长，又由四边形0AC8的面积S=2SA0AC,计算可得答案.

【解答】解：根据题意，OC：(x-2)2+y2=l,其圆心为(2,0),半径厂=1,

|。0=2,则10Al=[08|=J|OC|2-产=VTZTJ=遮,

1

则四边形。AC8的面积S=2SAOAC=2(-|AC|X|OA|)=V3.

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题.

8.（2023秋•越城区校级期末）若直线水+力=1与O：/+尸=1相离，则点P",6）与圆。的位置关系

为（）

A.点P在圆。内B.点P在圆。上

C.点P在圆。外D.无法确定

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】A

1

【分析】由题设及点线距离公式有>1,进而可得〃2+必<1,即可判断位置关系.

\a2+b2

1

【解答】解：由题设。（0,0）到直线ax+by=1的距禺d=1:>1,

Ja2+b2

即a2+b2<l,

所以点尸（a,6）在圆。内.

故选：A.

【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及点与圆的位置关系的判断方法，属于基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•鞍山月考）已知直线/：kx-y+k=0,圆C：x2+y2-6x+5=0,P（xo,yo）为圆C上

任意一点，则下列说法正确的是（）

A.据+据的最大值为5

y2A/5

B.一n的最大值为二一

第05

C.直线/与圆C相切时，k=

D.圆心C到直线/的距离最大为4

【考点】圆上的点到直线的距离及其最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】BCD

【分析】求解圆的圆心与半径，然后求解距离是最大值判断A;结合斜率的最值判断8,圆心到直线的

距离，转化求解直线的斜率，判断C；圆心到直线的距离判断D

【解答】解：直线/：h-y+左=0恒过（-1,0）,圆C/+/-6x+5=0的圆心（3,0）,半径为2；

所以尸(xo,yo)为圆C上任意一点，无o2+y02的最大值为25；所以A不正确.

生的最大值为7^^=+，所以3正确；

22

x0V3-25

直线/与圆相切时，直线的斜率为：k=±=±—,所以C正确.

V42-223

圆心C到直线/的距离最大为3+1=4,所以。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

(多选)10.(2024秋•濮阳月考)已知直线y=x与圆。：-2:冲=4-有两个交点，则整数机的

可能取值有()

A.0B.-3C.1D.3

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】AC

【分析】利用点到直线的距离小于半径，可求参数的范围，从而可得正确的选项.

【解答】解：圆。：了+夕-2加y=4-即为：D：/+(j-m)2=4,

故圆心。(0,m),半径为2,

因为直线y=x与圆。有两个不同的交点，

故d=蹩＜2,

故-2近＜m＜2近,结合选项可知AC符合题意.

故选：AC.

【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

(多选)11.(2024秋•永州月考)己知点A(-2,0),B(1,0),圆C：尤?+/-以=0,贝！］()

A.圆M：/+(y-1)2=1与圆C公共弦所在直线的方程为3x-y=0

B.直线y=Z(x-3)与圆C总有两个交点

C.圆C上任意一点M都有|AM|=2|MB|

D.b是a,c的等差中项，直线/：ar+26y+c=0与圆C交于尸，。两点，当|PQ|最小时，/的方程为x+y

=0

【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】BCD

【分析】A通过圆的方程相减即可判断；8通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得M的轨迹方

程即可判断；。通过等差中项得到2b="c,确定直线过定点，由|PQ最小，得到圆心和弦中点的连线

与直线/,即可求解.

【解答】解：对于A：两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：y=2x,错误;

对于B：y—k（x-3）过定点（3,0）,而（3,0）在圆C：一+9-4尤=0的内部，所以直线y=Z（x-

3）与圆C总有两个交点，正确；

对于C：设M（尤，y）,由可得：J（x+2Y+y2=27（%-I）2+y2.

化简可得：/+/-〃=0,所以满足条件的M轨迹就是圆C,正确；

对于D：因为b是a,c的等差中项，所以26=a+c（不同时为0）,

所以：ax+2by+c=0可化为ar+（a+c）y+c—0,即a（x+y）+c（y+1）=0,

可令

解得则直线/过定点N（1，-1），

设（X-4）2+y=12的圆心为C,

当CN与直线/垂直时，|PQ最小，此时hwXh=-l,

0+1,

S|J-~~-x=-1,#ki--1,结合以+（a+c）y+c=0,

所以的=—a'=一1，解得c=0,

.•.直线/的方程为x+y=0,正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

（多选）12.（2024•芝景区校级模拟）圆。1：W+y2-2%=0和圆。2：7+9+2尤-4y=0的交点为A,B,

则有（）

A.公共弦AB所在直线方程为x-y=0

B.线段AB中垂线方程为x+y-1=0

V2

C.公共弦A8的长为匚

2

V2

D.尸为圆。1上一动点，则尸到直线距离的最大值为三+1

【考点】圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算.

【答案】ABD

【分析】两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求

出线段的中垂线的方程，即可判断选项艮

求出圆心01到直线AB的距离d,d+r即为圆Oi上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦

长，即可判断选项CD

【解答】解：：圆。1：/+y2-2x=0和圆02：/+y2+2x-4y=0的交点为A,B,

...圆。1与圆。2公共弦A8所在的直线方程为x-y=0,故A正确；

V01(1,0),02(-1,2),0102所在直线斜率为-1,

线段A8的中垂线的方程为y-0=-(x-1),BPx+y-1=0,故8正确；

圆Oi：f+y2-2尤=0的圆心为Oi(1,0),半径ri=l,

圆心。1(1,0)到直线x-y=0的距离公意=孝.

V2

；.尸到直线AB距离的最大值为3+1,

圆。1与圆。2公共弦4B的长为=鱼，故C错误，。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2024•如东县校级开学)圆G；(x—l)2+y2=i与圆(%—47+(y—4)2=9的位置关系为外

离.

【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】外离.

【分析】分别求出两圆的圆心坐标及半径求解即可.

【解答】解：已知圆CjQ—l)2+y2=1与圆(%—4)2+(y—4)2=9,

贝UCi(1,0),Ci(4,4),n—1,n—3,

又IG,C2I=J(1—+(0—4尸=5>n-n,

则两圆的位置关系为外离.

故答案为：外离.

【点评】本题考查了两圆的位置关系，属基础题.

14.(2024•屯溪区校级模拟)已知圆G：/+y2=4和圆C2；Q—2)2+(y—2)2=4,若点、P(m,n)(m

>0,n>0)在两圆的公共弦上，则"，+“2-相〃的最小值为1.

【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】1.

【分析】两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得m+〃=2,再利用基本不

等式即可求最小值.

【解答】解：圆C1：+*=4和圆。2：(久一2)2+0-2)2=4的两个方程相减即可得到两圆的公共

弦所在直线方程为x+y=2,

故点尸(〃3n)(m>Q,M>0)在两圆的公共弦上，.'.m+n=2>2^mn,当且仅当机=w=l时取等

号，

2

'.ITT+IT1-mn=Qm+n')-3mn=4-3mn^l,当且仅当机=〃=1时取等号.

故答案为：1.

【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

15.(2024•余江区校级开学)已知圆C：(x-1)2+/=1,以圆心C和P(3,2)为直径的圆的标准方程

是(x-2)(y-1)2=2.

【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程.

【专题】对应思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】(x-2)2+(j-1)2=2.

【分析】由题可得C(l,0),进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和

半径，进而可得该圆的标准式方程.

【解答】解：由题得C(l,0),所以以C和P(3,2)为直径的圆的圆心为(2,1),

半径为［\CP\=17(3-1)2+(2-0)2=V2,

所以以圆心C和P为直径的圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=2.

故答案为：(尤-2)2+(j-1)2=2.

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.

16.(2024•新县校级模拟)已知A为圆C：久⑶一1产=*上的动点，8为圆£：(x-3)2+y2=*上的

动点，尸为直线y=上的动点，则|必|-解|的最大值为1.

45

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】等+L

【分析】根据题意求出圆E关于直线y=对称的圆£'，由平面几何知识，可知直线CE'与直线y=

号久的交点为点尸时，该直线在两圆上截得的弦长最大.由此作出示意图形，得至尸8|-|朋|),”加

I，从而算出本题答案.

【解答】解：根据题意，圆C：/+(y—I/=扣勺圆心为C(0,1),半径勺耳,

圆E：(x—3)2+y2=1的圆心为石(3,0),半径/]

1尸：X；，解得

设E1关于直线y=2%的对称点为E(m，n),则

.2-22

圆E关于直线丫=9对称的圆£'的方程为：(x-3)2+y2=

若夕为B关于直线y=*x的对称点，则P、A、8三点共线，且该直线过C、E时，|尸8|-的值最大,

【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、轴对称的性质、两圆的位置关系等知识，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024•章贡区校级开学)若圆C经过点A(-1,1)和2(1,3),且圆心在x轴上，则:

(1)求圆C的方程.

(2)直线y=x与圆C交于E、F两点，求线段EE的长度.

【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程；直线与圆相交的性质.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】⑴(x-2)2+y2=10；

(2)4V2.

【分析】(1)由圆心既在线段AB的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径

与圆的方程；

(2)利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.

【解答】解：(1)因为A(-1,1)和8(1,3),线段的中点为(0,2),且=]%i)=L

则AB的垂直平分线方程为x+y-2=0,由圆的性质可知，圆心在该直线上，

又已知圆心在x轴上，令y=0,得尤=2,

故圆心为C(2,0),半径r=\CB\=7(2-l)2+(0-3)2=V10,

则圆C的方程为(x-2)2+y2=io.

(2)由圆心(2,0)到直线尤-y=0的距离d=丁2—=鱼,

\EF\=2Vr2-d2=2V10-2=4A/2.

故线段EF的长度为4a.

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

18.(2024•漳州开学)如图，在。。中，A2是直径，点C是圆上一点.在的延长线上取一点。，连接

CD,使

(1)求证：直线co是。。的切线；

(2)若NACD=120°,CD=2W,求图中阴影部分的面积(结果用含口的式子表示).

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】(1)证明见解析.

(2)2V3

【分析】(1)连接。C,推出/8。+/。匿=/。。。=90°,得到。C_LC£),然后说明直线CO是。。

的切线；

(2)推出NAOC=2NA=60°,通过求解三角形，推出0C,然后求解面积.

【解答】(1)证明：在。。中，A8是直径，点C是圆上一点.在A8的延长线上取一点。，连接CD,

使

连接0C,

是直径,

：.ZACB^ZOCA+ZOCB=90°，

：CM=OC,/BCD=/A,

：.ZOCA=ZA=ZBCD,

：.ZBCD+ZOCB=ZOCZ)=900,

C.OCLCD,

：oc是。。的半径，

直线C。是的切线；

(2)解：VZACD=i20°,ZACB=90°,

AZA=ZBCD=120°-90°=30°,

AZAOC=2ZA=60°,

:在RtAOC。中，tanZAOC=^=tan60°,CD=2遮,

2A/3r-

：.—=V3,解得0C=2,

oc

:・S阴=S4ACD~S扇形BOC=2X28X2jgQ-=2>/3--y.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，面积的求法，三角形的解法，是中档题.

19.(2023秋•哈尔滨期末)已知OM的圆心为(8,6),且OM过点A(4,3).

(1)求OM的标准方程；

(2)若直线/与OM相切于点A,求/的方程.

【考点】圆的标准方程.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】(1)(尤-8)2+。-6)2=25；

(2)4x+3y-25=0.

【分析】(1)利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；

(2)利用直线与圆的位置关系求解.

【解答】解：(1)由题可知，0M的半径为|M<=，16+9=5,

所以OM的标准方程为(%-8)2+(j-6)2=25.

(2)因为直线/与0M相切于点A,且爆=本

4

所以左/Xfc4M=-1,所以的=一可，

4

由点斜式得，y—3=——4),

即4x+3y-25=0.

【点评】本题考查圆的方程的求法及直线垂直的性质的应用，属于基础题.

20.(2023秋•盐田区校级期末)已知圆C：x2+y2+2x-4y-4=0.

(1)从圆外一点尸(2,1)向圆引切线，求切线方程；

(2)若圆C2：/+/=4与圆C相交于。、E两点，求线段DE的长.

【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；圆的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】(1)x=2或4x-3y-5=0.

(2)4.

【分析】(1)设切线方程为y-l=笈(x-2),即日-y-2A+l=0,由圆心到直线的距离等于半径求解左,

则切线方程可求；

(2)联立两圆方程，可得。£所在直线方程，通过垂径定理，转化求解即可.

【解答】解：(1)圆Ci：?+r+2x-4y-4=0,圆心Ci(-1,2),半径为3,

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=2,

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=%(x-2),即fcv-y-2k+1=0.

由圆心到切线的距离等于圆的半径，得匕与胃型=3,

V1+/C2

解得k=

切线方程为4x-3y-5=0.

综上所述，切线方程为尤=2或4x-3y-5=0；

(2)联立I1：；；［：一“4=0,得石所在直线方程为x-2y=0.

圆/+丫2=4的圆心C2(0,0),在直线x-2y=0上，

则线段。石的长为圆C2的直径，等于4.

【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查运算求解

能力，是中档题.

考点卡片

1.平面向量数量积的坐标运算

【知识点的认识】

1、向量的夹角概念：

TTT-TT

对于两个非零向量a,b如果以。为起点，作。4=a,OB=b,那么射线02的夹角9叫做向量a与

向量力的夹角，其中owewn.

2、向量的数量积概念及其运算：

(1)定义：如果两个非零向量a,6的夹角为0,那么我们把1agicos。叫做a与b的数量积，记做a•6

->TTTTT

即：a♦b=|a|网cosO.规定：零向量与任意向量的数量积为0,即：0-a=0.

注意：

①展•b表示数量而不表示向量，符号由cos。决定；

②符号在数量积运算中既不能省略也不能用“X”代替；

③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：owewn.

TTT

(2)投影：b在a上的投影是一个数量|b|cosB,它可以为正，可以为负，也可以为0

(3)坐标计算公式：若。=(xi,yi),b=(%2,>2),则a•b=xix2+yiy2,

cos8=空=.乜+步

3、向量的夹角公式：WW收+乃,-内+―

4、向量的模长：忖=1=点"联=向工?

5、平面向量数量积的几何意义：a与b的数量积a•6等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影网cos。的积.

2.圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.

2.圆的标准方程：

(尤-a)2+(y-Z?)2=/(r>0),

其中圆心C(a,b),半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：

/+/=a.

其中，圆心(a,b)是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件.

【解题方法点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a,b,r

的值再代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下：

(1)根据题意设出圆的标准方程为(X-G)2+(y-6)2=J；

(2)根据已知条件，列出关于a,b,r的方程组；

(3)求出a,6,/•的值，代入所设方程中即可.

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程.

【命题方向】

可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a,b,r值的求解可能和直线与圆的位置关

系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度.在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现

在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a,"r的值或解得圆的一般方程再

进行转化.

例1：圆心为(3,-2),且经过点(1,-3)的圆的标准方程是(龙-3)2+(y+2)2=5

分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程.

解答：设圆的标准方程为(龙-3)2+(y+2)2=R2,

由圆M经过点(1,-3)得R2=5,从而所求方程为(x-3)2+(y+2)2=5,

故答案为(x-3)2+(>2)2=5

点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径.

例2：若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和无轴都相切，则该圆的标准方程是()

A.(%-2)2+-1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(y-1)2=1

D.(x-3)2+(y-1)2=1

分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为(a,b),由已知圆与直线4x

-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于。与6的关系式，又圆与x轴相切，可

知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即依等于半径1,由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b

的值，把6的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的

半径写出圆的标准方程即可.

解答：设圆心坐标为(a,b)(a>0,6>0),

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=生配1=厂=1,

化简得：|4a-36|=5①，

又圆与x轴相切，可得|例=「=1,解得6=1或6=-1(舍去)，

1

把6=1代入①得：4a-3=5或4。-3=-5,解得°=2或a=-々(舍去)，

圆心坐标为(2,1),

则圆的标准方程为：(尤-2)2+(y-1)2=1.

故选：A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等

于圆的半径，，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程.

例3：圆/+y2+2y=l的半径为()

A.1B.V2C.2D.4

分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径.

解答：圆/+y2+2y=l化为标准方程为x2+(y+1)2=2,

故半径等于企,

故选&

点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键.

3.根据圆的几何属性求圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.

2.圆的标准方程：

(x-a)~+(y-Z?)2=J(r>0),

其中圆心C(a,b),半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为厂的圆的方程为：

x2+y2=r2.

其中，圆心(a,b)是圆的定位条件，半径厂是圆的定形条件.

【解题方法点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a,b,r

的值再代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下：

(1)根据题意设出圆的标准方程为(x-a)2+(y-6)2=，；

(2)根据已知条件，列出关于a,b,/•的方程组；

(3)求出°,4/•的值，代入所设方程中即可.

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程.

【命题方向】

-标准方程推导：考查如何从几何属性推导圆的标准方程，通常涉及基本的几何知识和代数运算.

4.圆的切线方程

【知识点的认识】

圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线.

圆的切线方程的类型：

(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，

继而求出直线方程

(2)过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)

时斜率的值，进而求出直线方程.

【解题方法点拨】

例1:已知圆：(X-1)2+y2=2,则过点(2,1)作该圆的切线方程为.

解：圆：(X-1)2+y2=2,的圆心为C(l,0),半径r=&.

①当直线/经过点尸(2,1)与X轴垂直时，方程为x=2,

•圆心到直线x=2的距离等于1力鱼,.•.直线/与圆不相切，即尤=2不符合题意；

②当直线/经过点P(2,1)与x轴不垂直时，设方程为y-1