高考数学专项复习训练：重难点拓展之与圆有关的最值（范围）问题（分层练）

第18讲重难点拓展：与圆有关的最值（范围）问题

【苏教版2019选修一】

目录

题型归纳................................................................................

题型01与距离有关的最值问题............................................................................2

题型02与面积相关的最值问题.............................................................................6

题型03利用数学式的几何意义解圆的最值问题..............................................................9

分层练习.................................................................................................12

夯实基础...............................................................................................12

能力提升................................................................................................21

创新拓展................................................................................................28

知识梳理

与距离有关的最值问题

已知圆心到直线（或圆外一点）的距离为d,圆的半径为r.

1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值=上2＞最大值=d+r.

2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值=金，最大值=拉.

3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值=2炉工］，最大值=之.

4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值=声二？.

题型01与距离有关的最值问题

【解题策略】

(1)形如(x—4)2+(y一形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(〃，/?)的距离的平方的最值问题.

(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值

【典例分析】

【例1】已知圆Cl：(X—2)2+。-3)2=1,圆。2：(龙一3)2+。-4)2=9,M,N分别为圆G，圆C?上的点，P为x轴上

的动点，则PM+PN的最小值为()

A.V17B.V17-1

C.6-2-\/2D.5^2-4

答案D

解析如图所示，圆Ci关于无轴对称的圆的圆心坐标为A(2,—3),半径为1,圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3.

设M'为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P,,N三点共线时，PM+PN=PM'+PN取得最小值，且

PM+PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2—3—1=A/（3-2）2+（4+3）2-4=5^2-

4.

【变式演练】

【变式1］（2324高二上•北京延庆•期末）已知圆V+y2=4上一点A和圆V+y2-4x-4y=0上一点8,贝的最大

值为（）

A.2+4夜B.2+2&C.4及D.272

【答案】A

【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.

【详解】易知圆/+必=4的圆心为原点（0,0）,半径12,

由圆元2+y2-4x-4y=0n（x-2/+（y—2）2=8,故其圆心为（2,2）,半径々=20,

两圆圆心距为d=^/（2-0）2+（2-0）2=20e（20-2,20+2）,所以两圆相交，

则|AB|max=4+4+4=4＞历+2,如图所示.

X

故选：A

【变式2】(2324高二下•广西•阶段练习)已知点M在直线/：2x+y+3=0上，点P在圆C：Y+y2-6x=0上，过点M

引圆C的两条切线，切点分别为A,B,则PAM的最大值为.

【答案】10+6指

【分析】根据给定条件，求出切点弦A3所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求

出最大值即可.

【详解】设点M(x()，-2%-3),圆C:(x—3)2+夕2=9圆心C(3,0),半径r=3,

显然切点A,2在以线段CM为直径的圆上，

此圆方程为(尤-配了)2+(丁+七生)2=(3-且了)2+(为二)2,

2222

整理得/+9-(％+3)x+(2xo+3)y+3xo=O,与圆C的方程相减得直线AB的方程，

直线AB的方程为(3-Xo)x+(2xo+3)y+3%0=0,即(3x+3y)+(-x+2y+3)x()=0,

f3x+3y=0

由c°八，解得％=i,y=-1,即直线A3恒过定点。a-1),

[r+2y+3=0

连接CM交A5于。，由切线长定理得，然，且。是线段A5的中点，

,2.22.2.2.2-2

PAPB=(PQ+QA)-(PQ-QA)=PQ-QA=PQ-(CA-CQ)=PQ+CQ-r2，

显然|PQ|V|PC|+|CQ区|PC|+|CD|,当且仅当。与O重合，且尸是QC延长线与圆C的交点，

即点MQCP共线，且圆心C在线段PD上时取等号，此时ICQ1mxKCD|=后|尸。1mx=3+五，

所以(PA-PBK=(3+若了+(6)2-32=10+.

故答案为：10+6指

【变式3］（2324高二下•河南•阶段练习）已知直线/:，=辰+1-左（左©R）交，M：（x-3）?+V=9于两点.

⑴若|他|=26，求直线/的方程;

⑵若的中点为Q,。为坐标原点，求的最大值.

【答案】⑴3x-4y+l=0

3

【分析】⑴结合点到直线距离公式，根据垂径定理列式求解人“即可求解;

（2）设。（飞,%）,利用结合数量积的坐标运算求得点。的轨迹，再根据点与圆的位置关系求解最值即可.

【详解】⑴由题意知，圆心”（3,0）到直线/的距离为杼=工豆=2,

\3k+l-k\3

故।/2",故左=9,

4+上24

故直线/的方程为＞=，+：,即3x-4y+l=0.

44

（2）设因为。是AB的中点，所以所以ARMQ=0,

又直线/：,=左（了-1）+1过定点C（l,l）,所以CQ-MQ=0,

所以5—3,%）=0,

整理得5-2）?+1%故点Q的轨迹是以Q,为圆心，手为半径的圆,

故的最大值为+咚=”⑹

题型02与面积相关的最值问题

【解题策略】

求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如

配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解

【典例分析】

【例2】（2324高二下•江苏南京•期中）已知点在直线/：彳-2〉-2=。上运动,且|的=2石元1^^在圆（％+1）2+丁=5

上，则乂BC的面积的最大值为（）

A.8B.5C.2D.1

【答案】A

【分析】设圆心到直线的距离为d,C到直线的距离为4，易知当4最大时，d[=d+5此时.ABC的面积最大，由

此容易得解.

【详解】设圆心到直线的距离为”,C到直线的距离为4，

1-2|_3

又圆心坐标为（-LO）,则1=

75V5

3

又半径为君，则当4最大时，4=d+45=-^+45,

此时面积也最大，S=3底＜（方同=8.

故选：A.

【变式演练】

【变式0（2324高二上.江苏镇江•期中）直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于两点，点尸在圆（x-^+/=2上,

则一.ABP面积的最大值是()

A.6B.8C.3亚D.2a

【答案】A

【分析】先求出圆上的点尸到直线x-y+2=o的最大距离，再利用面积公式求解即可.

【详解】圆。-2)2+必=2的圆心为(2,0),半径为0,

SABP=^\AB\-h,h为点P到直线x-y+2=0的距离，

又点尸在圆(x-2)2+;/=2上，

=2+0=3及,

又・A(-2,0),3(2,0),

.-.|AB|=V22+22=2A^,

AB尸面积的最大值是!x20x30=6.

2

故选：A

【变式2](2024高二上.全国.专题练习)已知点OQO),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+以=4上的动点，则△Q4M

面积的最小值为.

【答案】1

【分析】由题意数形结合首先确定三角形面积最小时点M的位置，然后结合几何图形的特征可得三角形的面积.

【详解】根据题意，

得圆(尤-3)2+(y+l)2=4的圆心为(3,-1)，半径r=2,

0(0,0),A(0,2),所在的直线是＞轴，当M到直线49的距离最小时，

△04〃的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值』=3-2=1,

则ZX。4M面积的最小值为S=；|OA「d=l.

故答案为：1

【变式3](2324高二上.安徽合肥.期中)已知圆C:(x-l)2+(y-l)2=9.

⑴直线4过点4(-2,0),且与圆C相切，求直线4的方程；

⑵设直线/z：3x+4y-2=0与圆C相交于E,b两点，点P为圆C上的一动点，求！PEF的面积S的最大值.

【答案】(l)x=-2或4尤+3y+8=0

⑵8夜

【分析】(1)分类讨论直线4的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；

(2)根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.

【详解】(1)由题意得C(U),圆C的半径r=3,

当直线乙的斜率存在时，设直线4的方程为旷=左(彳+2),即履-y+2左=0,

由直线4与圆C相切，得匕1+2H=3,解得上=_:，

yjk2+l3

所以直线乙的方程为4x+3y+8=0；

当直线4的斜率不存在时，直线乙的方程为x=-2,显然与圆C相切；

综上，直线《的方程为x=-2或4x+3y+8=0.

(2)由题意得圆心C到直线I,的距离d=,

一V32+42

所以即=2,"-12=4亚,

点尸到直线4的距离的最大值为r+d=3+1=4,

s=-x|E|EFF|x|x(r+6/)-1x4A/2x4=8^

则！PEF的面积的最大值22

题型03利用数学式的几何意义解圆的最值问题

【解题策略】

(1)形如"形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(°,6)的动直线斜率的最值问题.

(2)形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=—齐+石的截距的最值问题

【典例分析】

【例3】己知点P(x,y)在圆C：P+y2—6x—6y+14=0上.

(2)求/+尸+2尤+3的最大值与最小值;

(3)求x+y的最大值与最小值.

解方程f+y2—6x—6y+14=0可化为(X—3)2+(J—3)2=4.

(11表示圆上的点尸与原点连线所在直线的斜率，如图⑴所示，显然尸。(。为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小.

设切线方程为(由题意知，斜率一定存在)，即近一y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2,可得**=2,

、/k+1

解得人=生富叵，所以?的最大值为生普，最小值为9一".

(2)^+/+2X+3=(X+1)2+/+2,它表示圆上的点尸到E(—1,0)的距离的平方再加2,所以当点P与点E的距离最大

或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图⑵所示，显然点E在圆C的外部，所以点尸与点E距离的最大值为

PiE=CE+2,点、P与点、E距离的最小值为P2E=CE—2.又C£=^/(3+1)2+32=5,

所以X2+V+2X+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5—2>+2=11.

(3)设x+y=b,则/?表示动直线y=-x+Z?在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y=—x+b与圆(%—3)2+。一

3）2=4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C（3,3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径2,则零措=2,即

—61=2也解得6=6±2吸，所以x+y的最大值为6+2吸，最小值为6—2吊1

【变式演练】

【变式1]（多选）（2223高二上•江苏徐州•阶段练习）已知实数满足方程/+/-4尤+1=0,则下列说法正确的

是（）

A.y—x的最大值为痛-2B.f+,2的最大值为2+石

C.2的最大值为自

D.%+y的最大值为痛+2

x2

【答案】AD

【分析】求得圆f+y2—4x+l=0的圆心和半径，设X=2+6COS。，y=y/3sin0,将ABD中的式子化为三角函数的

形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据上的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得上的取值范围，由此确

XX

定C的正误.

【详解】圆Y+y2-4x+l=0,即（无一2）。丁=3,所以圆心为（2,0）,半径为行

设圆上任意一点的坐标为（2+指cos，,氐in。）,de[0,2兀）.

即x=2+Hcos0,y=y/3sin0.

选项A中y-x=3sin6-退cose-2=#sin[e-：）-2,当，一：=m时，y—x取得最大值为2,A正确.

选项B中，/+丁=7+4有cos。，当。=0时，f+,2取得最大值为7+46，B不正确.

C,如图所示，当过原点的直线与圆相切与第一象限时，）最大.

X

设切线的方程为丁="（左＞0）,即履-y=0,

圆心（2,0）到切线的距离为=6n%=6.

所以上的最大值为有，C错误

X

当，+；=5时，尤+y取得最大值为n+2,D正确.

.故选：AD

【变式2］（2324高二上.吉林・期末）若平面内两定点A,B间的距离为2,动点尸满足£■=&,则|PA「+|PB「的最大值

为.

【答案】16+8^

【分析】通过建立平面直角坐标系，根据距离公式可得出点P的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得f+V的最大值，再代

入|PA『+|PB「运算即可.

【详解】设尸（X丁），4一1,0）,B（l,。）,由黑=若得卜』=瓜即（x-2）2+y=3,

I网.一I口"

贝!||PA|2+|PB|2=（x+l）2+y2+（x-l）2+/=2（f+/+1）.

由圆的几何性质可知X2+/＜（2+V3）2=7+4A/3,

所以|+1尸球w2（8+4指）=16+8瓜即最大值为16+8省.

故答案为：16+8若.

【变式3](2324高二下.贵州黔西•开学考试)已知实数x，y满足Y+V一人+1=0

⑴求上最大值和最小值；

X

(2)求f+y2的最大值和最小值.

【答案】(1)最大值为拓，最小值为-6；

(2)最大值为7+46，最小值为7-46.

【分析】(1)利用上的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案;

X

(2)利用f+,2的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案；

【详解】(1)原方程化为：(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，6为半径的圆，

设上=々，即'=入，

X

当直线，=区与圆相切时，斜率上取得最大值与最小值,

此时有：'/।.,解得k=+\[3，

a+1

所以上的最大值为百，最小值为-石.

x

(2)V+y2=(x-0)2+(y-0)2表示圆上一点到原点(0,0)距离的平方,

易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值，

又圆心到原点的距离为2,半径为屿，

所以(炉+力皿*=(2+G『=7+46

优+力皿=(2-A/3)2=7-473

分层练习

【夯实基础】

一、单选题

1.(2324高二上・山西.期末)已知半径为1的圆经过点(1,1),其圆心到直线3x+4y+3=。的距离的最大值为()

57

A.-B.-C.2D.3

22

【答案】D

【分析】设圆的圆心为(x,y),即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点(L1)到直线3x+4y+3=0的距离，即可得解.

【详解】设圆的圆心为(x,y),贝Mx-i『+(y-i)2=i，即圆的圆心的轨迹是以(1,1)为圆心，1为半径的圆,

|3+4+3|

其中点(1,1)到直线3x+分+3=0的距离d==2,

6+4?

则圆心到直线3x+4y+3=0的距离的最大值为d+l=3.

故选：D

2.(2324高二上广东广州•阶段练习)已知直线》-丫-1=0与圆/+>2=1相交于点a,a点2为圆上一动点，则48尸

面积的最大值是()

A.^2+1B.变+1C.72D.1

222

【答案】A

【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求IA8I,确定，/记尸面积最大点P的位置，即可求面积最大值.

【详解】由圆心为(0,0),半径为厂=1,贝I圆心至I］直线了一，一1=0距离1=洸,

所以|45|=2，/-屋=0,

要使AB尸面积最大，只需圆上一动点P到直线x-y-1=。距离最远，为"+厂=击+1,

所以一AB尸面积的最大值是gx|4例*3+.）=理］.

故选：A

3.（2324高二下•湖南•期中）设A为直线尤+y-2=0上一点，P,。分别在圆G:［+（：+y=；与圆

G：（x-l）2+（y-守=1上运动，则的最大值为（）

.3+41301+V13„3+773„-3+773

A.-----D.-----C.-----D.------------

2222

【答案】A

【分析】求出G（l,4）关于直线尤+y-2=0对称的点的坐标，转化|A@TXP|即可求解.

【详解】设G（l,4）关于直线元+y-2=0对称的点的坐标为。5，力），

1+m4+nc八

+---------2=0

则人,解得根=—2,n=l,

n-4/、

------x（-l）=-l

〔m-117

即C（-2,l）,由对称性可知|AC|=|AG|,

对于圆G：［x+£|+y2=；，圆心C［一g,o］,半径r=g,|AC?|-|AGI=|AC|-|AC||V|C|C|=半，

当且仅当A,C,G三点共线时等号成立，

由于|AQKIAC?|+1,|AP|>|

则|AQ|-|AP|V|AC21+1-1AGI+gv当亘.

故选A.

4.（2324高二上•广西桂林•期末）已知点P（3,4）,A、8是圆C:无?+/=4上的两个动点，且满足|钻|=2,M为线

段A2的中点，则|加|的最大值为（）

A.5-73B.5+A/3C.3D.7

【答案】B

【分析】分析可知，点”在以原点为圆心，半径为6的圆f+丁=3上运动，利用圆的几何性质可知，当M为射线尸。

与圆V+y2=3的交点时，取最大值，即可得解.

【详解】如下图所示：

B

圆C的圆心为原点，半径为2,

因为A、8是圆C:d+y2=4上的两个动点，且满足|AB|=2,M为线段AB的中点，

由垂径定理可知，OMLAB,则|0M|=J|0412TAM1=J??.1?=6,

所以，点M在以原点为圆心，半径为6的圆/+丁=3上运动，

贝1||尸河|中O|+|OM|=斤彳+有=5+技

当且仅当"为射线尸。与圆/+>2=3的交点时，等号成立，

故怕勺最大值为5+囱.

故选：B.

二、多选题

5.(2324高三上.辽宁•期末)已知直线/:x+代y-4=0与圆C:x2+/-2x+2gy-12=0,贝|()

2兀

A,直线/的倾斜角是三

B.圆C的半径是4

C.直线/与圆C相交

D.圆C上的点到直线/的距离的最大值是7

【答案】BCD

【分析】对于A：求出直线/的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到直线的距离

即可判断.

即y=+斜率为-且，则倾斜角是A错误;

【详解】直线/:尤+gy-4=0,

-3V336

圆C:/一2x+2jjy-12=0,即+（y+百）=16,圆心为（1,一6）,半径为4,B正确;

11-3-41

圆心C到直线I的距离d=1.1=3<4,则直线/与圆C相交，故C正确;

J1+3

圆C上的点到直线/的距离的最大值为3+4=7,则D正确.

故选：BCD.

6.（2223高二上•云南临沧•阶段练习）已知圆a：/+y2-2x-3=。和圆a：/+y2-2y-1=。的交点为则下列

说法正确的是（）

A.两圆的圆心距002=0

B.直线A3的方程为x-y-l=0

C.圆Q上存在两点尸和Q，使得

D.圆。।上的点到直线A3的最大距离为2+0

【答案】AD

【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线A8的方程；C选项，线段A3是圆。2的

直径，故C错误；D选项，求出圆心。］到直线A8:x-y+l=0的距离，从而得到最大距离.

【详解】对于A,因为圆。|的圆心坐标为（1,0）,圆。2的圆心坐标（0,1）,

因为两个圆相交，所以两圆的圆心距=“1-。）2+（。-1）2=忘，故A正确；

对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,

即得公共弦AB的方程为尤->+1=0,故B错误;

对于C,由B选项可知，直线AB的方程为尤-y+l=。，由于（0,1）满足x-y+l=o上,

故直线经过圆。2的圆心坐标（0,1）,所以线段AB是圆。2的直径,

故圆Q中不存在比长的弦，故C错误;

对于D,圆。1的圆心坐标为。,0）,半径为2,

圆心。|到直线AB-x-y+\=O的距离为=应，

所以圆上的点到直线AB的最大距离为2+0,故D正确，

故选：AD.

三、填空题

7.（2223高二上•江苏淮安・期中）在平面直角坐标系中，直线?=1与坐标轴尤、y分别交于A、B两点，点P

cc24

是圆/+2尤+;/+石=0上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为，三角形PAB面积的最小值为.

【答案】-1y/7.5

【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出IABI及点尸到直线的距离最小值即可

作答.

【详解】直线十%1交一轴于点3。）,交y轴于点幽八

所以直线在x和y轴上的截距之和为3+（-4）=7；

cc2411

圆)+2%+y+^^=0'即(％+if+y?=的圆心(-1,0),半径为二,

7|4x（-l）-3x0-12|16

点（―1,0）到直线A8：4%—3y—12=0的距离d=—也二㈠产一二1，

241

因止匕圆d+2x+V+石=0上的动点P到直线AB的距离最小值为h=d--=3,

所以R4B面积的最小值为（IA8l〃=；x5x3=g.

故答案为：-1;—

8.（2324高二上•湖南常德•期中）著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数

PA

M左>0,左大1）的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B的距离为2,动点P满足面"=2,当

P,A,B不共线时，求三角形E43面积的最大值______.

【答案】|4/111

【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得动点尸轨迹，再结合求出三角形高的最大值，进而即可求解.

【详解】设以AB所在的直线为x轴，以线段A2垂直平分线为>轴，建立平面直角坐标系，

不妨设4（一1,0）,3（1,0）,P（x,y）,如图所示，

由勺=2,则彳x+D：+y：=2,整理得（x-》2+y2=9,

PBJ（尤一1）2+/39

所以动点尸轨迹为以为圆心，以:为半径的圆，

4

当点尸到％轴距离最大，即最大距离为时，一的面积最大,

144

所以9面积的最大值为S=5><2X§=].

4

故答案为：—.

9.（2324高二上.福建福州•期中）已知圆/丫+仆―%y=4,从点N（4,3）向圆M作两条切线NP、NQ,切点

TT

分别为P、Q,若/PNQ=5,则点M到直线4x+3y+25=0的最小距离为.

【答案】10-20

【分析】连接MP、MQ,分析可知MPNQ为正方形，可得出=卜20,可知〃的轨迹是以点N为圆心，

半径为2夜的圆，求出圆心N到直线4x+3y+25=0的距离，利用圆的几何性质可求得点M到直线4尤+3y+25=0的距离

的最小值.

【详解】圆M:（x-x0）2+（y-%）2=4的圆心为〃（叼兀），半径为2,连接MP、M2,

则MPLNP,MQLNQ,又因为/PNQ=。，且=

所以，四边形MPNQ为正方形，则|用时=也性倒=20,

即"4『+（%一3）2=2夜,即（X「4）,（%-丁=8,

所以，点M的轨迹方程为（x-4y+（y-3）2=8,

即点M的轨迹是以点N为圆心，半径为2立的圆，

,14x4+3x3+251

圆心N到直线4x+3y+25=0的距离为J—==一=10,

V42+32

因此，点M到直线4x+3y+25=0的最小距离为1o_2万.

故答案为：10-2忘.

四、解答题

10.（2324高二上•河南郑州•阶段练习）平面直角坐标系中有一个ABC,已知C（l,0）,且

⑴求顶点A的轨迹方程；

（2）求ABC的面积的最大值.

【答案】⑴龙2+丁-6尤+1=0卜彳3±2四）；

⑵2万

【分析】（1）利用两点距离公式及已知求轨迹方程，注意三点构成三角形；

（2）确定圆上点到x轴最大距离，即可得三角形最大面积.

【详解】⑴设A（x,y）,又5（-1,0）,C（l,0）,S.\AB\^42\AC\,

：.（x+l）2+r=2（X-1）2+2y2,整理得x2+y2-6x+l=Q,

由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉x轴上交点，

顶点A的轨迹方程为炉+V-6尤+1=0卜片3±2&）；

（2）》2+>2-6苫+1=0可化为（x-3y+y2=8,即圆的半径为2夜

/.A到x轴的最大距离为2&，故.ABC的面积的最大值为Jx2x2&=20.

11.（2324高二上•贵州六盘水•阶段练习）已知圆M的圆心的坐标为（1,-2）,且经过点（2,1）.

⑴求圆"的标准方程；

⑵若尸为圆M上的一个动点，求点尸到直线x+3y-15=0的距离的最小值.

【答案】(l)(x—l)2+(y+2)2=10

⑵加

【分析】（1）根据题意，求得圆M的半径为厂=可，结合圆的标准方程，即可求解；

（2）根据题意，求得圆心加到直线距离为2如，进而求得点P到直线的距离的最小值.

【详解】（1）解：因为圆M的圆心的坐标为（1,-2）,且经过点（2,1）,

可得圆M的半径为r=7（1-2）2+（-2-1）2=回,

所以圆M的标准方程为（x-1）?+（y+2）2=10.

1-3x2-15

（2）解：由题意，圆心M到直线x+3y-15=0的距离为d=i/=2回,

Vl2+32

所以点P到直线x+3丫T5=°的距离的最小值为2加-丽=M

【能力提升】

一、单选题

1.（2223高二上・广东深圳•阶段练习）已知点A（2,0）,3（0,2）,点C在圆/+y+2苫=0上，则△ABC的面积的最小

值为（）

A.3+72B.3C.2D.3-忘

【答案】D

【分析】首先求出直线A8的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出△A8C的高的最小值,

即可求解.

【详解】圆/+丁+2.丫=0的圆心”（-1,0）,半径为1

VA（2,0）,B（0,2）,则|AB|=2夜,直线A3:x+y-2=0

圆心M（-l,0）到直线A3:x+y-2=0的距离

：△ABC的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径

边A3上高的最小值为述-1,则ABC的最小值为!x[乎-]x20=3-忘

222

故选：D.

2.(2023高二・江苏•专题练习)阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数依左＞0,431)的点的

轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆.在平面直角坐标系中，点A(-L,0),3(l,0)、，动点尸到点A2的距离之比为无，

2

当尸,AB不共线时，面积的最大值是()

A.2亚B.V2C.述D.交

33

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得圆的方程，结合图象和圆的性质，即可求解.

【详解】以A2所在的直线为x轴，以线段A2垂直平分线为＞轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

由A(T,0),B(l,0),设尸(尤,y),则产1)；+」：=乌,

整理得(x+3f+y2=8,即轨迹为以(-3,0)为圆心，半径为2亚的圆,

当点P到x轴距离最大时，一的面积最大，

所以面积的最大值是S=gx2x20=2^,

故选：A.

3.(2324高二上.天津•期中)已知点4(2,0),5(0,2),点C为圆//—6x-6y+16=0上一点，贝UABC的面积的

最大值为()

A.12B.642C.372D.6

【答案】D

【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为一ABC的高的最大值，由此求解出

ABC的面积的最大值.

【详解】因为4(2,0),3(0,2),所以AB:x+y-2=0,

又因为圆的方程为（x-3『+（y-3）2=2,所以圆心为（3,3）,半径为一点,

所以圆上点到直线AN的最大距离为驾二4+

A/2=3A/2,

J2

所以一ABC的面积的最大值为gx30xj22+22=6,

故选：D.

4.（2324高二上.四川遂宁.期中）圆C：（x-3）2+（y-4）2=l上一点尸到直线/：y=3+；的距离的最小值为（）

A.1B.3C.9D.2

5555

【答案】A

【分析】根据圆的方程，求出圆心和半径，由圆心到直线的距离d大于半径乙所以圆C上一点尸到直线/的距离的最

小值"--，求解即可.

【详解】圆C：（》-3）2+5-4）2=1的圆心为。（3,4）,半径为r=1,

直线/：y=3+：1可化为3x-4y+l=0,

44

13x3-4x4+116

圆心到直线的距离为d=~/,।=£＞人

V32+425

所以圆C上一点P到直线I的距离的最小值为|-1=|.

故选：A

二、多选题

5.（2324高二上・江苏常州•期中）圆C|：x2+y2-4x-5=0与圆C2：/+y2-2y-3=0相交于A、8两点，贝|（）

A.的直线方程为2x-y+l=0

B.公共弦AB的长为2

C.线段AB的垂直平分线方程为x+2y+2=0

D.圆G上的点与圆C2上的点的最大距离为5+逐

【答案】AD

【分析】将两圆方程作差，可得出直线AB的方程，可判断A选项；求出直线A3截圆G所得弦长，可判断B选项；

分析可知，线段A3的垂直平分线为直线GG，求出直线GG的方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选

项.

【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得Tx+2y-2=0,即2x-y+l=0,

所以，直线AB的方程为2x-y+l=0,A对；

对于B选项，圆G的标准方程为（尤-2）2+9=9,圆心为C"2,0）,半径为a=3,

|4+1|

圆心G到直线AB的距离为d==亚

所以，|A却=2"彳=2^^=4,B错;

对于C选项，圆C2的标准方程为炉+（丫_1）2=4,圆心为G（。』），半径为马=2,

连接4。1、AG、5G、5c2,

因为2x0-1+1=0,所以，直线过圆心G，易知为的中点,

又因为|A£|=WG|，所以，QQ±AB,所以，CC垂直平分线段A3,

悠6=国=-1，则直线C£的方程为y=—1x+l，即x+2y-2=0,C错；

2—022

对于D选项，圆C1上的点与圆C2上的点的最大距离为|CG|+/+弓="2-0）2+（0-1）2+3+2=5+君,D对.

故选：AD.

6.（2324高二上.四川攀枝花•期末）已知圆G：尤?+丁+2«tr-10y+"=。，圆C?:x?+y~+4y-5=0,则下列说法正

确的是（）

A.若点（LD在圆C1的内部，则一2<机<4

B.若圆C1,C2外切，则切=土上

C.圆C2上的点到直线3x+4y-12=0的最短距离为1

D.过点（3,2）作圆C2的切线/,贝I"的方程是x=3或7x-24y+27=0

【答案】BCD

【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知B正确;

利用点到直线的距离公式及直径是圆中最长的弦即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距

离公式即可得D正确.

【详解】对于A,因为（2相）2+100-4加=100>0,则G的方程恒表示圆，

由点（LD在圆G的内部，得1+1+2机-10+加2<0,解得—4<:然<2,故A错误；

对于B,圆G的标准方程为（X+帆y+（y-5）2=25,圆心为£（-〃?,5）,半径15,

圆G的标准方程为人+（y+2『=9,圆心为G他_2）,半径4=3,

若圆G,C?外切，则|。。2卜4+々，即J疗+49=5+3，解得加=±A/T^，故B正确;

对于C,由圆C?的圆心为G（0,-2）,半径4=3,所以圆C2的圆心G（0,—2）到直线3x+4y-12=0的距离为

|3x0+4x(-2)-12|

d—=4,

旧+42

所以圆上的点到直线-+4>-12=。的最短距离为“-4=4-3=1,故C正确;

对于D,当/的斜率不存在时，/的方程是x=3,圆心G到的距离4=3=4,满足要求,

,|4-必|_7

当/的斜率存在时，设/的方程为y=Mx-3）+2,圆心CZ至心的距离为4=7^^=马=3,解得人=，，

所以/的方程是7x-24y+27=。，综上，/的方程是x=3或7x-24y+27=0,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

7.（2023高二上•全国・专题练习）圆（了-1）2+（丁+1）2=4上的点到直线3了+分-14=0的距离的最大值为.

【答案】5

【分析】先求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即可得解.

【详解】圆（汗—1）2+（1+1）2=4的圆心为（LT）,半径厂=