高考数学重难点突破训练：利用导数解决一类整数问题（四大题型）（原卷版）

重难点突破08利用导数解决一类整数问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离..................................2

题型二：整数解问题之直接限制法..................................................3

题型三：整数解问题之虚设零点....................................................4

题型四：整数解问题之必要性探路..................................................5

03过关测试.....................................................................6

亡法牯自与.柒年

//\\

利用导数解决一类整数问题常见技巧有:

1、分离参数、分离函数、半分离

2、直接限制法

3、虚设零点

4、必要性探路

题型归赢总结

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离

【典例1-1](2024•高三•江西•期末)若集合｛xklnx+("ln4)尤+左＜0｝中仅有2个整数，则实数左的

取值范围是()

342,八「2,\3,小「2,\3,小「3,22,八

A.—In—ln2B.—In2,—In3C.—In2,—In2D.—In—ln2

_433)L34J|_32J|_433J

【典例切若函数〃上也「有两个零点且存在唯一的擎虹则实数优的取值范

围是（）

e

A.(0,-)

C.1—ln3ee.

D.r——,-)

92

【变式1-1］（2024•高三•福建泉州•期中）关于1的不等式＜2-1＜。的解集中有且仅有两个大

（x-2）

于2的整数，则实数a的取值范围为（）

【变式1-2】已知函数/（x）=±,若不等式/（力-。（了+1）＞0的解集中有且仅有一个整数，则实数〃的取

值范围是（）

「11]「11）「21]「21）

A-R,ZjB-C•[m，2e」D.[爰，3J

【变式1-3]若关于无的不等式Mx2+2x）〈lnx+l的解集中恰有2个整数，则上的取值范围是（）

cln2+l7/1

A.-<^<1B.--------<k<-

383

cln3+l,ln2+lln4+l/n3+l

C.--------<k<--------D.---7-----<k<--------

1582415

【变式1-4]（多选题）（2024-高三・广东揭阳・期末）已知函数/（%）=%—双e'—ae）且存在唯一的整

数%,使得/（%）＞0,则实数〃的可能取值为（）

【变式1-5]（2024•河南•模拟预测）已知函数〃x）=（2x-3孵-（依+l）e*+2aeX（a＞0,aeR）,若存在

唯一的整数看,使得/（不）＞0,则实数。的取值范围是—.

题型二：整数解问题之直接限制法

【典例2-1】（2024•全国•模拟预测）若对于V〃?e[-e,e],Vye（-1,y）,使得不等式

4x3+ln（x+l）+（2023-m）^-l＜yln（y+l）恒成立，则整数x的最大值为一.

【典例2-2]（2024•河南南阳•一模）已知函数/（x）=3/-21nx+（a-l）x+3在区间（1,2）上有最小值，

则整数。的一个取值可以是—.

【变式2-1]（2024•高三•重庆•期中）若关于x的不等式xlnx+f—的解集中恰有三

个整数解，则整数。的取值是（）（参考数据:ln2M.6931,ln3=1.0986）

A.4B.5C.6D.7

【变式2-2]（2024•海南海口•模拟预测）过x轴上一点P（/,0）作曲线。:、=（%+3卜£的切线，若这样的

切线不存在，则整数才的一个可能值为.

【变式2-3]（2024•陕西西安•模拟预测）已知函数/（力=寸-7疝1%+%-1（m€1＜）,〃”的图象在

（I"⑴）处的切线过原点.

(1)求加的值；

(2)设g(x)=/(x)-=f-2x+a,若对％e(0,+oo)总加eR,使g(%)>/?(马)成立,求整数。的最

大值.

【变式2-4］已知函数"X)=IXnx-^nvr+l(/neR).

(1)当〃?=1时，证明：

(2)若关于x的不等式〈(m-2卜恒成立，求整数加的最小值.

【变式2-5］(2024•江西•模拟预测)已知函数〃司=£/+(加一l)x-l(meR).

⑴求函数/(x)在区间［L2］上的最大值；

(2)若加为整数，且关于x的不等式恒成立，求整数加的最小值.

题型三：整数解问题之虚设零点

【典例3-1】已知函数/(x)=ln(x+l)-ox+2.

(1)若a=2,求在尤=0处的切线方程；

(2)当x20时，f(x)+2x+xln(x+l)N0恒成立，求整数a的最大值.

【典例3-2】(2024•高三•陕西西安•期末)已知函数/(x)=xlr比，对任意的x>0,关于》的方程

/'(x)=ln-x+a有两个不同实根，则整数。的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【变式3-1](2024•全国•模拟预测)当x>l时，(％-lnx)x<lnx+4恒成立，则整数上的最大值为()

A.3B.2C.1D.0

【变式3-2](2024•浙江•三模)已知函数/(x)=(x-2)e*+lnx,g^x)=ax+b,对任意ae(-oo,l],存

在xe(0,1)使得不等式2g(x)成立，则满足条件的6的最大整数为一.

【变式3-3](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数=

(1)当相=2时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)当x>l时，不等式/(x)+lnx+3>0恒成立，求整数加的最大值.

题型四：整数解问题之必要性探路

【典例4-1】(2024•安徽合肥•三模)对于定义在。上的函数尸(x),若存在使得/(%)=%,则

称看为尸(无)的一个不动点.设函数/(x)=(x-l)e*-aInX+尤，已知%H1)为函数/(元)的不动点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若keZ,且也<“对任意满足条件的不成立，求整数上的最大值.

23

(参考数据：In2«0.693,ln3«l.l,31.95，e2«7.39,/24.48)

【典例4-2】已知函数/(x)=e2*-(2a+l)eX+a2+2a,g(x)=lnx+7〃，对\/0€7?,也€(0,+00),不等式

f(x)2g(x)恒成立，则整数加的最大值是.

【变式4-1](2024•浙江台州•一模)设〃同=4

In%

r2

(1)求证：/(X)<-----；

⑵若■/■(*)<Mn。-/)恒成立，求整数”的最大值.(参考数据ln2aQ693,ln3»1.099)

【变式4-2]己知a>0,函数/(x)=e，—ax2,g(x)=lnx.

(1)^0<«<|,求证：〃x)在R上是增函数；

⑵若存在〃，使得/(%)>g(力+b对于任意的I>0成立，求最大的整数b的值.

【变式4・3】已知函数/(%)=加2"-3元.

(1)当。=1时，求/(%)的最小值；

(2)若与>在(0,+◎上恒成立，求整数a的最小值.

e

【变式4-4]/(x)=lnx-mx2+(l-2m)x+l,对Vx>0,f(x)„0,求整数加的最小值.

0

〃过关测试,\

1.已知函数/(x)=lnx+(a-2)x—2a+4(a>0),若有且只有两个整数小三使得/(网)>0,且

则实数。的取值范围为()

A.Un3,2)B.(0,2-In3]C.(0,2-In3)D.[2-In3,2)

2.（2024•全国•模拟预测）当时，不等式e*-xcosx+cosxlncosx+m^1恒成立，则实数。的

最小整数为一.

3.（2024•云南•三模）设函数〃x）=xe，+依,。＞-1,若存在唯一整数马，使得/伉）＜0,贝匹的取值

范围是—.

4.（2024•广东深圳•模拟预测）若关于x的不等式e"（2左-x）＜x+3对任意的xe（O,y）恒成立，则整数

上的最大值为一.

5.（2024•甘肃•三模）若关于x的不等式x（2左-lnx）＜lnx+4对任意的xe（l,+«））恒成立，则整数人的最

大值为—.

6.（2024•江苏常州•模拟预测）已知函数/（为=111》-262尤2+7内，若〃力20的解集中恰有一个整数，则

m的取值范围为.

7.（2024•高三•上海宝山•期中）若不等式尤lnx+依-ln4）x+左＜0的解集中仅有2个整数，则实数上的

取值范围是—.

8.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知函数/（x）=asinx-lfi（l+x）（aeR）.

⑴若。=-1,求证：Vx＞0,/（x）+2x＞0；

（2）当aZl时，对任意xe0,1,者口有/（x）»0,求整数左的最大值.

9.（2024•贵州•一模）已知/（x）=lnx-依+1（〃£R）.

⑴讨论””的单调性；

⑵若/（尤）4g依2一无对xe（0,+8）恒成立，求整数。的最小值.

10.已知函数/(x)=e，-xe，+l.

⑴求曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=lnx-x+l-e*-/(x)在1,1上的最大值在区间(加，加+1)内，求整数机的值.

11.(2024•广西桂林•模拟预测)已知函数"x)=S-ln(x+a).

⑴讨论函数g(x)=〃x)-士的单调性；

(2)若4=1,且存在整数上使得/")>左恒成立，求整数上的最大值.

(参考数据：In2»0.69,ln3«1.10)

12.设函数f(x)=cx-ax-2

⑴求/(尤)的单调区间

(2)若々=1,%为整数，且当次〉0时(％-4)/'(%)+%+1>0,求女的最大值

13.已知/(%)=办2—21nx,

⑴讨论函数”%)的单调性；

⑵若对任意的%>0,2-/(x)W2(a-1)%恒成立，求整数〃的最小值.

14.已知函数〃