人教版五年级下册数学思维训练讲义-第一讲分数的加减巧算（含答案）

第一讲分数的加减巧算第一部分：趣味数学阿凡提巧治坏地主有一天，阿凡提骑着自己的小毛驴来到田边。他四处欣赏着美丽的田园风光。突然，听到有人叫他，回头一看，原来是两位给地主巴依老爷干活的佃农。阿凡提忙问：“两位朋友有什么事吗？”其中一位农民说：“阿凡提，我们遇到一个难题，想来请教你。”然后这位农民就把这个难题的由来讲了一遍。原来，这两位农民被地主巴依老爷雇佣干活，眼看到发工钱的时候了，地主却打起了坏主意。他和账房先生一计算，要给这两位农民各20块银元。地主心里非常不乐意，仿佛拿走他的钱就像割他的肉一样。于是和老婆一起想出了个主意，要两个农民明天早晨割-----亩麦子，一点不能多，一点也不能少。明早八点之前，巴依老爷要亲自检查。如果严格按要求完成了任务，就发工钱，而且还给回家的路费。如果完不成任务，工钱就一分不给。两位农民没有上过学，自然不知道-----亩麦子到底是多少，正在发愁的时候，正好碰见了阿凡提，才有了开头那一幕。阿凡提听完，笑了笑说：“两位朋友不用担心，你们只要按我说的去办，保证能拿到工钱，而且还能赚取路费。”阿凡提讲完，把两位农民叫到眼前。悄悄地把解难题的办法告诉了两位农民。两位农民听了以后，非常高兴，对阿凡提千恩万谢。第二天早晨，巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。巴依老爷以为两位农民这次肯定一分钱都拿不到，所以脸上带着得意的笑容。可是走到地边却发现麦子正好割了亩。两位农民说：“老爷，你的任务我们已经按时完成了，你也该给我们工钱了吧！”巴依老爷没办法，只得叫账房先生给了农民工钱。小朋友，你知道-----有什么简便方法计算吗？我们可以看出：=-，=-，=-，=-，=-，所以原式=-+-+-+-+-+。因此两位农民要割亩地。解这类分数题目关键在于拆分，然后计算，实现简化的目的。第二部分：奥数小练在解答一些较复杂的分数加减法问题时，必须从整体上观察试题，找到它们排列的规律及其数字特征，分析有无类似裂项公式的特点。这是解题的重点和关键。常用方法：公式法：直接运用公式来计算，如运用等差数列求和公式等。图解法：将算式的意思用图表示出来，从而找出简便计算方法。裂项法：将一个分数拆分为两个或几个分数的差或和，使部分分数互相抵消，从而使计算简化。通常裂项公式为：=-分组法：运用运算定律，将原式重新组合，把能凑整或能化简的部分结合在一起简算。代数法：将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。【例题1】计算：+++……【思路导航】此题每一个加数的分子都是1，而分母又都是相邻的两个自然数的积，用裂项法简便。=1-=-=-……=-因此，原式=1-+-+-+…-=1-=练习一：1.计算：+++……2.计算：+++++3.计算：1-+++【例题2】计算：++++【思路导航】此题分子都是2，而分母又都是两个相邻奇数的积，所以根据分数的裂项原理和方法，把每个分数拆分成两个单位分数差的形式，通过抵消进行简算。++++=1-+-+-+-+-=1-=练习二：1.计算：+++++2.计算：++++3.计算：++++【例题3】计算1-+-+【思路导航】此题可以将一个分数拆成两个分数相加的形式，然后去括号，再进行运算简便。温馨提示：去掉括号后，要注意符号的变化。因为=+=+=+=+所以，原式=1-（+）+（+）-（+）+（+）=1--++--++=+=练习三：1.计算：1-+-+-+-2.计算：1-+-+3.计算：1-+-+-【例题4】计算+++++【思路导航】此题可以利用图解法分析：观察图形发现：所有分数的和是单位1减去剩余的部分，从而计算得出结果。+++++=1-=还可以这样思考：观察分母之间的变化规律，后一个分母总是前一个分母的2倍，也就是两个后面的分数相加等于前一个分数，因此我们可以从最后开始算起，先加一个，就可以得到前一个分数，再一次从后往前加，就可以得到“和”为“1”，但是先前我们给整个算式加了一个，所以还要减去一个。+++++=+++++（+）-=++++（+）-……=+-=1-=练习四：1.计算：++++++++2.计算：+++++3.计算：1-----【例题5】计算：+++++++++…+++…+…【思路导航】此题可以用分组的方法解决。观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推，分母是49的和为49，此题就简化成求1+2+3+…+49的和。+++++++++…+++…+…=1+2+3+4+…+49=（1+49）×49÷2=1225练习五：1.计算：9+99+999+9999+999992.计算：1+2+3+…+103.计算：++++第三部分：数学史话我国古代是如何计算异分母分数加减法的分数加减法在我国《九章算术》中也有具体的讲述，如下：分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子,“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。按所述法则计算，我们来看一个例子：由此可见，早在两千多年以前，我国分数四则运算法则已经如此先进，身为炎黄子孙应由衷感到无比骄傲和自豪。奥赛题新编参考答案：练习一+++……=-+-+-+…-=-=-=2.+++++=1-+-+-+-+-+-=1-=3.1-+++=1-+-+-+-=1-=练习二1.+++++=-+-+-+-+-+=++++=-+-+-+-+=3.++++=-+-+-+-+-=-=练习三1.1-+-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--++--=1-=2.1-+-+=1+-（+）+（+）-（+）+（+）=1+--++--++=1+=13.1-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--=1-=练习四1.++++++++=1-=2.1-----=1-（++++）=1-（1-）=1-1+=3.此题可以把算式先加一个，再进一步减去，从后加到前面逐次计算即可。++++=+++++-=++++-=+++-=++-=+-=1-=练习五1.9+99+999+9999+99999=9++99++999++9999++99999+=（9+99+999+9999+99999）+（++++）=（10+100+1000+10000+100000-5）+