统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练一客观题专练立体几何10文含解析

PAGE立体几何(10)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2024·湖北宜昌联考]在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的命题是()A．①③B．②④C．①④D．②③2．[2024·四川泸州模拟]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1A．4B．5C．6D．73．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A．100πB.eq\f(256,3)πC.eq\f(400,3)πD.eq\f(500,3)π4．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2024·四川泸州模拟]设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β6．[2024·河北省九校高三其次次联考试题]下图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．7π＋8＋4eq\r(2)B．7π＋4＋4eq\r(2)C．5π＋8＋4eq\r(2)D．5π＋4＋4eq\r(2)7．[2024·桂林、百色、崇左市联合模拟]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用平面AEC18．[2024·武汉调研]某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的全部顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为()A.eq\r(3)B.eq\r(6)C．2eq\r(3)D．2eq\r(6)9．[2024·福州市高三期末质量检测]已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，有下述四个结论：①DE⊥BF②EF与CH所成角为60°③EC⊥平面DBF④BF与平面ACFE所成角为45°其中全部正确结论的编号是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②③10．[2024·湖南省长沙市高三调研试题]已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满意A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),4)11．[2024·蓉城名校第一次联考]已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)12．[2024·洛阳市尖子生第一次联考]已知三棱锥P­ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满意BA＝BC＝eq\r(6)，∠ABC＝eq\f(π,2)，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为()A．8πB．16πC.eq\f(16,3)πD.eq\f(32,3)π二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2024·长春市质量监测]已知一个全部棱长都是eq\r(2)的三棱锥，则该三棱锥的体积为________．14．[2024·南昌市高三年级摸底测试卷]已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为________．15.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D16．[2024·石家庄市重点中学毕业班摸底考试]已知正三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2eq\r(3)的正三角形，侧棱长为2eq\r(5)，则球O的表面积为________．立体几何(10)1．答案：B解析：平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正确；若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B.2．答案：C解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6条直线与直线3．答案：D解析：因为切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π，即该西瓜的体积为eq\f(500,3)π.4．答案：B解析：若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH确定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.5．答案：D解析：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得，a∥β，故D正确．6．答案：C解析：由三视图可知，该几何体是上方为一个八分之一球，下方是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面积S＝eq\f(1,8)×4π×22＋eq\f(1,4)×π×22×3＋2×2×2＋2eq\r(2)×2＝5π＋8＋4eq\r(2)，故选C.7．答案：B解析：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以AE∥平面DCC1D1，设平面AEC1∩平面DCC1D1＝C1G，因为AE⊂平面AEC1，所以AE綊C1G.取CC1的中点F，连接EF，DF，易得四边形AEFD为平行四边形，所以AE綊DF，所以C1G綊DF，所以G为DD1的中点，连接AG，则平面AEC1G即平面AEC1截正方体所得的截面，则剩余的几何体为A1B18.答案：B解析：由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，将其放在如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，四棱柱的高为1，连接AC1，视察图形可知，几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长，即eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6).故选B.9．答案：B解析：连接AG，由BF∥AG，DE⊥AG，得DE⊥BF，故①正确；由CH∥DE，DE与EF所成角为60°，得到EF与CH所成角为60°，故②正确；由EC⊥DB，EC⊥DF，DB∩DF＝D，得EC⊥平面DBF，故③正确；过B作BM⊥AC，垂足为M，连接MF，则∠MFB为BF与平面ACFE所成的角，因为∠MFB＝30°，所以BF与平面ACFE所成角为30°，故④错．综上，全部正确结论的编号是①②③.故选B.10．答案：A解析：取线段AD上一点E，使AE＝2ED，连接ME，NE，如图所示．因为A1D＝3MD，AN＝2NC，所以eq\f(MD,A1D)＝eq\f(CN,AC)＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(1,3)，所以NE∥CD，ME∥AA1.又CD∥C1D1，所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成的角．设该正方体的棱长为3a，则EN＝eq\f(2,3)CD＝2a，ME＝eq\f(1,3)AA1＝a，所以在Rt△MNE中，MN＝eq\r(ME2＋EN2)＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)a，所以cos∠MNE＝eq\f(EN,MN)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，故选A.11．答案：B解析：依据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和eq\r(2)的直角三角形(如图所示)，依据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)))×3＝eq\r(2).故选B.12．答案：D解析：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，∴当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(6)×PD＝3，解得PD＝3，设外接球的半径为R，则OD＝3－R，OC＝R，在△ODC中，CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，由勾股定理得(3－R)2＋(eq\r(3))2＝R2，解得R＝2.∴三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故选D.13．答案：eq\f(1,3)解析：记全部棱长都是eq\r(2)的三棱锥为P­ABC，如图所示，取BC的中点O，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱锥P­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).14．答案：eq\r(2)π解析：因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径r＝1，母线l＝eq\r(2)，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝eq\r(2)π.15．答案：2eq\r(3)解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝eq\r(3).因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B­ACC1D的体积为eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).16.答案：25π解析