2025届高考数学统考第二轮专题复习第13讲直线与圆学案理含解析

第13讲直线与圆高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2024直线与圆的位置关系,圆的几何性质·T11圆心到直线距离的计算·T5导数的几何意义、直线与圆相切·T102024圆与圆的位置关系,圆与双曲线的综合·T112024直线的方程、圆的方程、点到直线的距离·T61.[2024·全国卷Ⅱ]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ()A.55 B.255 C.352.[2024·北京卷]已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ()A.4 B.5C.6 D.73.[2024·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为 (A.y=2x+1 B.y=2x+1C.y=12x+1 D.y=124.[2024·全国卷Ⅲ]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 ()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]5.[2024·浙江卷]已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=,b=.

6.[2024·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满意PA=PB,则△PAB面积的最大值是.

直线的方程及应用1(1)直线l:2x-y+e=0的倾斜角为α,则sin(π-α)sinπ2+α的值为 ()A.-25 B.-C.15 D.(2)若O为坐标原点,P是直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为 ()A.22 B.C.3 D.2(3)正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,那么正方形ABCD的边长为.

【规律提炼】直线的方程及其应用主要考查直线的倾斜角、直线与直线的位置关系、点到直线的距离等问题,一般比较简洁,属简洁题.测题1.已知0<x<22,0<y<22,且M=(2-x)2+y2+x2+(2A.22 B.23C.2 D.422.将直线l:y=2x+1绕点A(1,3)按逆时针方向旋转45°得到直线l',则直线l'的方程为 ()A.2x-y+1=0 B.x-y+2=0C.3x-2y+3=0 D.3x+y-6=0圆的方程及应用2(1)若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,1] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[5,+∞)(2)如图M5-13-1,现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长度分别为l1,l2,l3,l4,则()图M5-13-1A.l1<l2<l3<l4 B.l1<l2<l3=l4C.l1=l2=l3=l4 D.l1=l2=l3<l4【规律提炼】求圆的方程常用待定系数法,详细有两条途径:一是用一般式,二是用标准式.还有一些隐形圆问题也值得留意,可以通过以下方法来确定:(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆.(2)在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满意|PA|=λ|PB|,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.(3)已知两定点A,B,动点P满意PA·PB=λ,确定隐形圆.(4)已知两定点A,B,动点P满意|PA|2+|PB|2是定值,确定隐形圆.测题1.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 ()A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=02.已知圆C与直线l:x+y+2=0和圆M:x2+y2+12x+12y+54=0都相切,则半径最小的圆C的标准方程为()A.(x+2)2+(y+2)2=2 B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-4)2+(y-4)2=4 D.(x+4)2+(y+4)2=43.已知圆O:x2+y2=1和A-12,0,若定点B(b,0)b≠-12和常数λ满意对圆O上随意一点M,都有|MB|=λ|MA|(λ>0且λ≠1),则λ=,△MAB面积的最大值为.

直线与圆、圆与圆的位置关系3(1)若过点P(3,1)的直线l是圆C:(x-23)2+y2=4的一条对称轴,将直线l绕点P逆时针旋转30°得到直线l',则直线l'被圆C截得的弦长为 ()A.4 B.23 C.2 D.1(2)过直线x+y+2=0上一点P作圆C:(x-3)2+(y+1)2=16的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若y22-y12=(x1-x2)(x1+x2-2),则|PA|=A.8 B.45 C.413 D.10(3)[2024·全国卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0【规律提炼】直线与圆的位置关系既可以从几何的角度来探究,又可以从方程的角度来解决一些度量问题,体现数形结合的思想.对这类问题的考查,一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线、圆与圆的位置关系、圆的几何性质等,解答此类问题,“圆的特征直角三角形”“垂径定理”“切线三角形”等是关键.测题1.如图M5-13-2,已知A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线W.下列关于曲线W的说法中,正确的个数为 ()①曲线W与x轴围成的封闭图形的面积为2π;②曲线W上共有5个整点(横、纵坐标均为整数的点);③CB所在圆与BA所在圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0.图M5-13-2A.0 B.1 C.2 D.32.已知直线y=-x被圆M:x2+y2+Ey=0(E<0)截得的弦长为22,且圆N的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,则圆M与圆N的位置关系为 ()A.相交 B.外切 C.相离 D.内切3.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,过点A,B分别作圆C的切线l1,l2,直线l1与l2交于点P,则线段PC长度的最小值是.

第13讲直线与圆真知真题扫描1.B[解析]因为过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a.由(a-2)2+(a-1)2=a2,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5).因为点(1,1)到直线2x-y-3=0的距离为|-2|5=255,点(5,5)到直线2x-y-3=0的距离为|2|5=2552.A[解析]设圆心为C(a,b),则☉C:(x-a)2+(y-b)2=1.因为圆C过点(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,所以圆心C的轨迹是以A(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以圆心C到原点O的距离的最小值为|AO|-1=5-1=4.故选A.3.D[解析]设直线l与曲线y=x相切于点(x0,x0)(x0≥0),因为y'=12x,所以直线l的方程是y-x0=12x0(x-x0),即x-2x0y+x0=0,又直线l与圆x2+y2=15相切,所以|x0|1+(2x0)2=|x0|4.A[解析]由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+0+2|2=22.设点P到直线AB的距离为d,圆(x-2)2+y2=2的半径为r,则d∈[22-r,22+r],即d∈[2,32],又△ABP的面积S△ABP=12|AB|·d=2d,所以△ABP面积的取值范围是[25.33-233[解析]方法一:由题意可得,圆心(0,0)和(4,0)到直线kx-y+b=0的距离都是1,则|b|k2+1=1,|4k+b|k2+1=1,得|b|=|4k+b|.若b=4k+b,则k=0,舍去;若-b=4k+b方法二:如图所示,两圆都与直线相切,则Rt△ODB≌Rt△ACB,则B(2,0),AB=2,又AC=1,所以∠ABC=30°,k=tan30°=33.所以直线方程为y=33(x-2),所以b=-6.105[解析]因为PA=PB,CA=CB,所以PC⊥AB.设C到AB的距离为d,则0<d<6,易知当P,C在AB同侧,且P到AB的距离大于d时,△PAB的面积S能取到最大值,所以S=12×236-d2×(d+1)=(36-d2)(d+1)2.令f(d)=(d+1)2(36-d2),0<d<6,则f'(d)=-2(d+1)(2d+9)(d-4).由f'(d)>0,得0<d<4,由f'(d)<0,得4<d<6,则f(d)在(0,4)上单调递增,在(4,考点考法探究小题1例1(1)D(2)B(3)22或142[解析](1)由已知得tanα=2,则sin(π-α)sinπ2+α=sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2(2)由题意知,当OP垂直于直线x-y+2=0时,|OP|取得最小值,最小值为|2|12+(-(3)由题可设直线CD的方程为x+y+m=0(m≠-4),由2x-y-1=0,x+由4x+y-23=0,x+∴|CD|=223|m+∵直线AB与直线CD间的距离d=|m∴223|m+11|=|m+4|2,解得m=-8或m=-32,则|CD|=22或142,即正方形ABCD的边长为【自测题】1.D[解析](2-x)2+y2表示点(x,y)到A(2,0)的距离,x2+(2-y)2表示点(x,y)到B(0,2)的距离,(2-x)2+(22-y)2表示点(x,y)到C(2,22)的距离,(22-x)当P在线段AC(不包含端点)上时,(2-x)当P在线段BD(不包含端点)上时,x2+(2∴当P为线段AC与BD的交点时,M取得最小值,最小值为|AC|+|BD|=42,故选D.2.D[解析]设直线l:y=2x+1的倾斜角为α,则tanα=2.由题知直线l'的斜率k=tan(45°+α)=1+21-2=-3,所以直线l'的方程为y-3=-3(x-1),即3x+y-6=0,小题2例2(1)A(2)B[解析](1)将圆的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+1)2=5-a,由于该圆与x轴、y轴均有公共点,故5-a>0,5-a≥2,5-a≥1,(2)由题意可知,它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆,设圆的半径分别为r1,r2,r3,r4,则由题意可知,r1=22,r2=12sin36°∈22,1,r3=1,r4=1,得r1<r2<r3=r因为l1=2πr1,l2=2πr2,l3=2πr3,l4=2πr4,所以l1<l2<l3=l4,故选B.【自测题】1.C[解析]因为线段AB的中点坐标为(2,4),直线AB的斜率为6-24-0=1,所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=-(x-2),即y=6-x,与直线l的方程联立,得圆心坐标为(3,3).因为圆C的半径r=(3-0)2+(3-2)2=10,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,2.A[解析]由题得圆M的标准方程为(x+6)2+(y+6)2=18,则圆心为M(-6,-6),半径r=32,点M到直线l:x+y+2=0的距离d=|-6-6+2|设四个选项中圆的圆心分别为点A,B,C,D,明显以B和C为圆心的圆不行能既与圆M相切又与直线l相切,而圆D与圆M和直线l都不相切,只有圆A与圆M和直线l都相切.故选A.3.234[解析]设M(x,y),由|MB|=λ|MA|,得(x-b)2+y2=λ2x+122+y2,整理得x2+y2-2b+λ21所以2b+易知当M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值,最大值为12×1×32=小题3例3(1)B(2)A(3)D[解析](1)由题意知,点P在圆C上,且圆心C在直线l上,所以|PC|=2.如图,设l'与圆C交于P,Q两点,线段PQ的中点为H,连接HC,则在Rt△PHC中,|PH|=|PC|cos30°=3,故直线l'被圆C截得的弦长为2|PH|=23.故选B.(2)连接AB,PC,AC,取AB的中点Q,易知C(3,-1),设E(1,0),由y22-y12=(x1-x2)(x1+x2-2),得y2-y1x2-x1·y1+y22x1+x22-1=-1,即kAB·kEQ=-1,∴AB⊥EQ,∴P,C,E三点共线∴|PA|=|PC|2-16=80-(3)连接AM,BM,由题知☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.设|PM|=t,则|PA|=t2-4.∵四边形APBM的面积S=|PA|·|AM|=12|AB|·|PM|,∴|AB|=2