2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.2空间点直线平面之间的位置关系教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系素养目标·定方向素养目标学法指导1．借助长方体，在直观相识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)(直观想象)2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系.(数学抽象)3．依据有关概念，学会推断(证明)空间点、直线、平面的位置关系.(逻辑推理)学习本节学问要多视察实物，感知现实中空间点、直线、平面的位置关系，再给出并学习定义.长方体是一个特别的图形，当点、线、面关系比较困难时，可以找寻长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.必备学问·探新知学问点1空间中直线与直线的位置关系1．异面直线的定义和画法(1)定义：__不同在任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线.(2)画法：假如直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个__平面__衬托.2．空间中直线与直线的位置关系位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线__是__1平行直线是0异面直线__否__0学问点2空间中直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有__多数__个公共点a⊂α直线与平面相交__有且只有一个__公共点__a∩α＝A__直线与平面平行没有公共点__a∥α__学问点3空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行__α∥β__没有公共点两个平面相交__α∩β＝l__有一条公共直线[学问解读]对异面直线的理解(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.(2)留意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的全部平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.关键实力·攻重难题型探究题型一直线与直线位置关系的推断典例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是__平行(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是__异面(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是__相交(4)直线AB与直线B1C的位置关系是__异面[解析](1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1(2)直线A1B与直线B1C(3)直线D1D与直线D1C相交于点D(4)直线AB与直线B1C[归纳提升]判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).【对点练习】❶正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1A．4 B．5C．6 D．7[解析]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1题型二直线与平面的位置关系典例2下列五个结论中正确结论的个数是(B)①假如a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②假如直线a和平面α满意a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③假如直线a、b满意a∥α，b∥α，那么a∥b；④假如直线a、b和平面α满意a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤假如a与平面α上的多数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′明显与平面ABB′A′中的多数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．[归纳提升]直线与平面位置关系的推断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类推断问题，常用分类探讨的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必需说明直线与平面没有公共点.【对点练习】❷在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD[解析](1)B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，(2)BD1与6个面都相交.题型三平面与平面的位置关系典例3视察下面的两个图：(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？(2)房顶所在平面的位置关系是什么？(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？[解析](1)平行.(2)相交.(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要留意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行.②两相交平面的画法：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1).再画表示两平面交线的线段，如图(2).再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3).再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4).[归纳提升]平面与平面的位置关系的推断方法：(1)平面与平面相交的推断，主要以基本领实3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的推断，主要说明两个平面没有公共点.【对点练习】❸以下四个命题中，正确的命题有(A)①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有多数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内有多数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.A．③④ B．②③④C．②④ D．①④[解析]当两个平面相交时，一个平面内有多数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.易错警示对空间线面位置关系考虑不全面致误典例4设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(C)A．有且只有一个 B．恰有两个C．没有或只有一个 D．有多数个[错解]如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面.故选A．[错因分析]错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般状况，而忽视了特别情形.事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了.[正解]C[误区警示]对于空间中的线面和面面位置关系问题，应留意结合实例，全面考虑，仔细分析全部可能的情形，才能避开推断失误.【对点练习】❹若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(D)A