山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市2024年中考数学试卷

山东省枣庄市、聊城市、临沂市、荷泽市2024年中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.（2024.枣庄、聊城、临沂、荷泽）下列实数中，平方最大的数是（）

A.3B.C.-1D.-2

2.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称

图形又是中心对称图形的是（）

3.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9

万个，将61.9万用科学记数法表示应为（）

A.0.619X103B.61.9X104C.6.19X105D.6.19X106

聊城、临沂、荷泽）下列几何体中，主视图是如图的是（)

5.（2024■枣庄、聊城、临沂、荷泽）下列运算正确的是()

A.a4+a3=a7B.(a-1)2=a2-1

C.(a3Z>)2=a3b2D.a(2a+l)=2a2+a

6.（2024.枣庄、聊城、临沂、荷泽）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造

前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生

产的产品件数为（)

A.200B.300C.400D.500

7.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）如图，已知43,BC,CD是正〃边形的三条边，在同一平面

内，以3C为边在该正〃边形的外部作正方形3cMN.若NA3N=120。，则”的值为（）

8.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）某校课外活动期间开展跳绳、踢穰子、韵律操三项活动，甲、乙

两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）

A.义B.C.1D.1

9.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）如图，点E为口ABC。的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连

接OE并延长至点冗使得连接3R则为（）

10.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）根据以下对话,

厂嬴所有人的嬴、2班所有人的身高I

均鼠过140cm、

＞我发现，i班同学加、哦，我还发现，1班同学y9L

］曲称K-（最高身高与2班同学的最高）例低领与期同学r

1班班长V^^ZWj350crr^佰最花身■高之和为290cm2班班长

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180c加；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题：本题共6小题，每小题3分,共18分.

11.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）因式分解:x2y-i-2xy=______________.

2

12.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）写出满足不等式组｛/）1K一个整数解

13.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）若关于％的方程4N-2x+〃z=0有两个相等的实数根，则根的值

为________

14.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）如图，△ABC是。。的内接三角形，若。4〃C3,ZACB=

25°,则NC4B=

15.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）如图，已知NM4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分

别与AM、AN相交于点3,C；分别以3,C为圆心，以大于:8C的长为半径作弧，两弧在NMAN

内部相交于点尸，作射线AP分别以A,3为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点

D,E,作直线。E分别与A3,AP相交于点RQ.若A3=4,NPQE=67.5。,则尸到AN的距离

16.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶

数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1-4一2-1,这

就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点（X,y）中的X,y分别按照“冰雹猜想”同步进行

运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,y均为正整数.例如，点（6,3）经过第1次运算得到点

（3,10）,经过第2次运算得到点（10,5）,以此类推.则点（1,4）经过2024次运算后得到

点.

三、解答题：本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）⑴计算：V4+2-1-（号）；

（2）先化简，再求值：（1—@：3）+点+j,其中

18.（2024,枣庄、聊城、临沂、荷泽）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的

距离.

/////////////////////////////

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点反测量A,8两点间的距离

以及NE4B和/尸胡，测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，ZPAB=19°,ZPBA=64°.画出

示意图，如图1：

（1）【问题解决】计算4尸两点间的距离.

（参考数据:sin64°~0.90,sin79°«0.98,cos79°~0.19,sin37°~0.60,tan37°~0.75）

（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2,选择合适的点D,E,F,使得A,D,E在同一条直线上，且ZDEF=

ZDAP,当RD,P在同一条直线上时，只需测量ER即可.

乙小组的方案用到了.（填写正确答案的序号）

①解直角三角形

②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方

案.

19.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小

论文两个项目.为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模

型设计成绩（成绩为百分制，用X表示），并将其分成如下四组：60<x<70,70<x<80,80<x<90,

90<x<100.

下面给出了部分信息:

80sx<90的成绩为：81,81,82,82,83,83,84,84,84,85,86,86,86,87,88,88,

88,89,89,89.

模型设计成绩的扇形统计图

模型设计成绩的频数分布直方图

图1图2

根据以上信息解决下列问题：

（1）请补全频数分布直方图；

（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是分；

（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；

（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的

综合成绩.

某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：

模型设计科技小论文

甲的成绩9490

乙的成绩9095

通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？

20.（2024,枣庄、聊城、临沂、荷泽）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不

同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=］部分自变量与函数值的

对应关系：

7

Xa1

-2

2x+ba1—

k7

X——

（1）求〃、万的值，并补全表格;

（2）结合表格，当y=2x+6的图象在y=（的图象上方时，直接写出x的取值范围.

21.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）如图，在四边形A3C。中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=

2AO=2.以点A为圆心，以AD为半径作施交AB于点E,以点8为圆心，以BE为半径作师所交

BC于点、F,连接ED交丽于另一点G,连接CG.

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留兀）

22.（2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽）一副三角板分别记作△ABC和△£>",其中

90°,ZBAC=4509ZEDF=30°,AC=DE.作BM±AC于点M,EN1DF于点N,如图1.

D

IX；

A(D)

BCEFBC(E)

图1图2

DD

BCBC

图3备用图

(1)求证：BM=EN；

(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为

C,点A与点D重合，将图2中的△£＞(7歹绕C按顺时针方向旋转a后，延长交直线。尸于点

P.

①当a=30。时，如图3,求证：四边形CNPM为正方形；

②当30。＜。＜60。时，写出线段MP,DP,CD的数量关系，并证明；当60。＜。＜120。时，直接

写出线段MP,DP,C。的数量关系.

23.(2024•枣庄、聊城、临沂、荷泽)在平面直角坐标系尤Oy中，点P(2,-3)在二次函数y=

ax^+bx-3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线

(1)求加的值；

(2)若点Q(m,-4)在y=aN+bx-3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长

度，得到新的二次函数的图象.当叱烂4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

(3)设丫=依2+法-3的图象与x轴交点为(xi,0),(尤2,0)(xi＜%2).若4＜及-»＜6,求。的

取值范围.

答案解析部分

L【答案】A

【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法

【解析】【解答】

A：32=9

B：；2=1

"2

C：(—1)=1

C2

D：(-2)=4

则9>4>1>!

4

故答案为：A

【分析】本题考查有理数的乘方运算及比较大小，熟练掌握运算法则，结合比较大小的方法可得答

案。

2.【答案】D

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】

A：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

B：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

C：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

D：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，熟悉其定义，明确其区别即可得出结论。

3.【答案】C

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】

解：6L9万=619000=6.19x105

故答案为：C

【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义可得答案。

4.【答案】D

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】

A：选项所给几何体的主视图是,不合题意;

B：选项所给几何体的主视图是,不合题意;

C：选项所给几何体的主视图是

D：选项所给几何体的主视图是

故答案为：D

【分析】本题考查立体图形的投影与视图，理解立体图形的三视图画法是解题关键。

5.【答案】D

【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幕的乘方运算

【解析】【解答】

A：。4+〃不能合并，原选项错误，不合题意；

B：(a-1)2=a2-2a+l,原选项错误，不合题意；

C：(苏方)2=&6b2,原选项错误，不合题意；

D：a(2a+l)=2a2+a,原选项正确，符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查整式的运算，幕的乘方，单项式多项式的乘法，乘法公式等知识，熟练掌握整式

运算方法是解题关键。

6.【答案】B

【知识点】分式方程的实际应用-工程问题

【解析】【解答】

解：设改造后每天生产的产品件数为x件，依题意得：

600=400

==%-100

600(x-100)=400x

200x=60000

x=300

经检验，x=300是该分式方程的解,

故答案为：B

【分析】本题考查分式方程的应用，结合题意，找出时间相等，改造前后的生产效率两个数量关

系，列出分式方程，求解即可。

7.【答案】A

【知识点】正多边形的性质

【解析】【解答】

解：：以BC为边在该正“边形的外部作正方形

ZNBC=90°

ABN=120°

ZABC=360°-ZNBC-ABN=150°

则正n边形的一个内角为150°

则正n边形的一个外角为30°

故答案为：A

【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数

360°

n=一个外角度数.结合正方形的性质,可得内角度数和外角度数，求出n即可。

8.【答案】C

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式

【解析】【解答】

解：甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：

操

晒

甲

曲r

/V\\

//

、

跳

韵

踢

韵

跳

踢韵

乙

律

绳

绳

律

绳

&a律a

操

操

操

子

了

子

甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种，则

他们选择同一项活动的概率是京=f

故答案为：C

【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可,

注意化简。

9.【答案】B

【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质

【解析】【解答】

解：如图所示，过点F作FH〃DC,交AC于H

ZDCE=ZFHE

DE=FE,ZDEC=ZFEH

:.ADCE=XFHE(AAS)

CE=HE=1,DC=FH

口ABCD

DC〃AB,DC=AB,

FH〃AB,FH=AB,

四边形AHFB为平行四边形

BF=AH=AC-CE-HE=3

故答案为：B

【分析】本题考查特殊四边形-平形四边形的判定与性质，”8“字型全等的判定与性质，熟练掌握此

类知识是解题关键。作FH〃DC,证ADCEmAFHE,得CE=HE=1,DC=FH,根据口ABCD的性

质，得四边形AHFB为口，得BF值。

10.【答案】C

【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式

【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为双加，最低身高为ycm,2班同学的最高身高为acm,

最低身高为bcm,

根据1班班长的对话，得烂180,x+a=350,

.,.x=350-a,

A350-a<180,

解得介170,

故③正确；

1班学生的身高不超过180cm,最高未必是180cm,故无法判断①；

根据2班班长的对话，得b>140,y+b=290,

.*./?=290-y,

A290-y>140,

：.y<150,

故②正确，

故答案为：C.

【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。

11.【答案】xy(x+2)

【知识点】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】

x2j+2x_y=xy(x+2)

【分析】本题考查因式分解一提公因式，因式分解时，先提公因式，再考虑公式法或者十字相乘法

等方法，直到不能分解。

12.【答案】-1

【知识点】一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】

解不等式①得久>-1,

解不等式②得％<3,

该不等式组的解集为-1<%<3,

・•.该不等式组得整数解为-1,0,1,2,

故答案为-1,0,1,2中其中一个即可.

【分析】先解得不等式①，②的解集，进而得到不等式组的解集，结合整数解即可求解.

13.【答案】1

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】

解：：关于x的方程4N-2x+〃?=0有两个相等的实数根

a=4,b=-2,c=m

2

△=b2-4ac=(—2)—4x4xm=0

解得m=1

【分析】本题考查一元二次方程根的情况，若一元二次方程有两个相等的实数根，贝必=b2-4ac=

0,代入计算即可得m。

14.【答案】40°

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】

解：如图，连接OB

ZAOB=2ZACB=50°

OA=OB

ZOAB=ZOBA=65°

OA/7BC

ZOAC=ZACB=25°

ZCAB=ZOAB-ZOAC=40°

【分析】本题考查圆的知识，圆心角圆周角的数量关系，角度的计算，熟悉圆的基础知识是解题关

键。连接OB,得NAOB=2/ACB,OA=OB,ZOAB=ZOBA=65°,结合OA〃BC得NCAB.

15.【答案】V2

【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角

平分线的应用

【解析】【解答】

解：由题知：AP平分/MAN,DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点

AF=jAB=2,EF±AF,/BAC=2/FAQ

•/ZPQE=67.5°

ZFAQ=90°-ZPQE=22.5°

ZBAC=45°

过点F作FPLAE,则△凡4P为等腰直角三角形，F到AN的距离为FP

FP=sin45°AF=2x^=V2

/.F到AN的距离为我

【分析】本题考查尺规作图-角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，

熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案。由题

知AP平分NMAN,DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点，计算ZBAC=45°,作FPLAE,可

得F到AN的距离为四.

16.【答案】（2,1）

【知识点】探索规律-点的坐标规律

【解析】【解答】解：点（1,4）经过1次运算后得到点为（1x3+1,4+2）,即为（4,2）,

经过2次运算后得到点为（4-2,2-1）,即为（2,1）,

经过3次运算后得到点为（2-2,1x3+1）,即为（1,4）,

发现规律：点（1,4）经过3次运算后还是（1,4）,

:2024+3=674…2,

...点（1,4）经过2024次运算后得到点（2,1）,

故答案为：（2,1）.

【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，

找出运行规律是解题的关键。由点（1,4）经过3次运算后还是（1,4）可知三次一循环，据此可

得答案。

17.【答案】（1）解：原式=2+±+3=3;

（2）解：原式=祟+（a+5t（j_3）

o+2（a+3）（.-3）

a+3a+2

=a-3；

将a=l代入，得：

原式=1-3=-2.

【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入

【解析】【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值。

（1）掌握二次根式化简，负整数指数嘉及加减法则计算即可;

（2）分式化简时，通分，约分，化为最简，代入数值计算。

18.【答案】（1）解：如图，过B作BHLAP于H,

P

AB

图1

•.•AB=60米，ZPAB=79°,sin79°»0.98,cos79°«0.19,

AH=AB«cos79°~60x0.19=11.4（米），

BH=AB«sin79°~60x0.98=58.8（米），

：NPAB=79°,ZPBA=64°,

...ZAPB=180°-79°-64°=37°,

.••tanzAPB=tan37°=翳M0.75,

/.PH«78.4（米）,

AAP=AH+PH=11.4+78.4=89.8（米）；

即A,P两点间的距离为89.8米；

（2）②

【知识点】全等三角形的应用；背靠背模型

【解析】【解答］解：（2）'：AD=DE,ZDEF=ZDAP,当RD,P在同一条直线上时，

NADP=NEDF,

：.AADP^/\EFD（ASA）,

:.AP=EF,

只需测量EF即可得到AP长度；

乙小组的方案用到了②；

【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线

段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。

（1）过点B作BH_LAP,由AB长，ZPAB=79°,sin79°~0.98,cos79°~0.19,得AH,BH；结合

ZAPB,求出PH,最后求出AP；

（2）根据AD=DE,ZDEF=ZDAP,NADP=NEDF可证△ADP^^EFD,可知乙用三角形全等

的方法。

19.【答案】⑴解：•.•5勺0%=50,而80WXV90有20人,

.,.70<x<80有50-20-5-10=15,

补全图形如下：

模型设计成绩的频数分布直方图

图1

（2）83

（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：

20110

1000X50=600（人）；

⑷解：甲的成绩为：94x|+90x|=92.4（分）；

乙的成绩为：90x|+95x|=92（分）；

.•.甲的综合成绩比乙高.

【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数

【解析】【解答】

（2）解：本组数据共有50个，按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数在80-90之间，

是83和83,殁里=83,则中位数是83.

【分析】本题考查统计图，熟练掌握频数分布直方图，频率，中位数，样本总数，加权平均数等知

识，根据直方图和扇形图，结合数量关系，用样本估算整体情况是解题关键。（1）由60Wx<70组人

数为5人，占比10%,得样本总数=50人，计算得7O0x<8O人数，补全即可；

(2)按照中位数的定义可得答案；

(3)根据样本估算整体，”总人数又符合情况的占比即可；

(4)根据加权平均数的计算公式计算即可。

20.【答案】(1)解：当久=一:时，2x+b=a,即-7+b=a,

当x=a时，2x+b=l,即2a+b=l,

・(CL—b=-7

+b=I9

解得：fa,=~2,

Ib=5

I.一次函数为y=2x+5,

当x=l时，y=7,

二•当x=l时，v=&=7,即k=7,

...反比例函数为：y=-,

JX

当比=—＜时，y=7+(—3=—2,

当y=l时，x=a=二一2,

当x=-2时，y=一不，

补全表格如下：

7

X-21

~2

2x+b-217

7

k-27

X~2

故答案为：7；-2；-

(2)解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为2),(1,7),

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解

析式；反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，求一次函数与反比例函数交

点坐标，函数与不等式的关系，熟练掌握函数的图象性质是解题关键。

（1）根据表格数据（-彳a）（a,1）,求出a,b值，可知一次函数解析式；根据（1,7）得k值，

可得反比例函数解析式；

（2）求出两个函数的交点坐标分别为（—幺-2）,（1,7）,当y=2x+6的图象在＞=1的图象上方时

可得x的取值范围。

21.【答案】（1）证明：连接BG,如图1,

图1

根据题意可知：AD=AE,BE=BF,

又：AB=BC,

・・・CF=AE=AD,

•・・BC=2AD,

・・・BF=BE=AD=AE=CF,

\・AD〃BC,

・・.四边形ABFD是平行四边形,

・・.NBFD=NDAB=60。，

\・BG=BF,

•••△BFG是等边三角形，

AGF=BF,

・・・GF=BF=FC,

・・・G在以BC为直径的圆上，

・・・NBGC=90。，

・・・CG为丽所在圆的切线；

(2)解：过D作DHLAB于点H,连接BG,如图2,

图2

由图可得：S阴影=S^ABFD-S扇AED-S扇BEG-SABFG,

在Rtz\AHD中，AD=LNDAB=60。，

:・DH=AD-sm^DAB=1x亨=济

塞,

-S^ABFD=AB,DH=2*=

由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，

99

2Q

・r「nnr60〃（4。）60XTTX1TT

扇形AED扇形BGE3603603606

等边三角形BFG的面积为：鼻F.CH=鼻1X岸=半

ZNN4

•c_cccc_TlTly/3_3y[371

阴影=S^ABFD-、扇形AED一、扇形BEG-'ABFG=-6-6-T""3'

【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；扇形面积的计算；平行四边形的面积

【解析】【分析】本题考查圆与扇形的知识，包括圆的切线判定与性质，扇形的面积公式(S扇形=

熏)，阴影的面积(整体-局部)，三角函数的应用(计算三角形边长)，熟练掌握此类知识，正确

运用辅助线来解决问题是关键。

(1)连接BG,由AB=BC=2AO=2,AD=AE,BE=BF得ABFD是平行四边形，可知△BFG是等

边三角形，则GF=BF=FC,贝|NBGC=90。，则CG为切线；

(2)过D作DH1AB于点H，连接BG,得DH,计算力防。=V3,S等也^FG=字’,扇形AED=

扇形，得阴影=扇形扇形S

SBGE=6SSSABFD-SAED-SBEG~^BFG=竽-

22.【答案】(1)证明：设AC=DE=a,

VZABC=ZDEF=90°,ZBAC=45°,

AZA=ZC=45°,

；.AB=BC,

VBM±AC,

11

；・BM=AM=CM=jAC=匆

VZEDF=30°,EN±DF,

・・・EN==%

・・・BM=EN；

(2)解：①证明：VZD=30°,CN±DF,

・・・NCND=90。,NDCN=90。-30°=60°,

Va=ZACD=30°,

・・・NACN=90。，

VBMXAC,

JNPMC=NBMC=90。，

J四边形PMCN为矩形，

VBM=EN,即BM=CN,

而BM=CM,

・・・CM=CN,

J四边形PMCN是正方形；

②解：当30。<(1<60。时，线段MP,DP,CD的数量关系为粤”=卓；当60。<(1<120。时，线

段MP,DP,CD的数量关系为华/=字理由如下:

如图1,当30。<01<60。时,连接CP,

由（1）可得：CM=CN,ZPMC=ZPNC=90°,

VCP=CP,

PMC^APNC(SAS),

；.PM=PN,

MP+DP=PN+DP=DN,

VZD=30°,

•DNDP+MP„„V3

•,COSZ.L)=yryr=-------------0=COS30=5,

(_<LJJLx乙

•DP+MP_V3

CD~一丁

如图，当60Ya<1