数学-浙江省湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷试题和答案

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A∩B=2.已知复数z=1-i（其中i是虚数单位），则z2+z=A.2B.1C.2D.1023.双曲线的另一种定义：动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它与定直线l:x=的距离的比是常数，则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F(,0)的距离和它与定直线l:x=的距离的比是，则点M的轨迹方程为-x2=1B.x2--y2=1D.y2-4.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x,y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x,y进行线性回归分析，则下列说法正确的是A.x,y不具有线性相关性B.决定系数R2变大第4题图C.相关系数r变小D.残差平方和变小上的投影向量为B.C.6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A(2·3,-2)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=rsin，当t=45秒时，|PA|=第6题图7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱C1D1的中点，平面AB1E将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为8.已知函数f(x)=cos3x-cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2)，则1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.210.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子记Ai（i=1,2,3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j=2,3）表示主持人打开第j号箱子.则下列说法正确的是A.B.C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变点，P是线段BC1上的动点（含端点），则下列命题正确的是A.三棱锥P—A1QC的体积为定值B.在直三棱柱ABC—A1B1C1内部能够放入一个表面积为4π的球C.直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是第11题图三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.*）的展开式中，x的系数为10，则n=▲.13.已知椭圆过左焦点F作直线l与圆M:x2+y2=相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且PE=3EF，则椭圆离心率为▲.N*，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P—ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC丄平面ABC，点E是PB的中点，点F在线段CE上且CF:EF=2:1，G为三角形ABC的重心.（1）求证：GF∥平面PAB；16.（本小题满分15分）第15题图（1）求角C的值；17.（本小题满分15分）（1）求a2,a3的值及数列{an}的通项公式；（2）若存在实数λ,使得关于n的不等式λ+Sn≤25n，n∈N*有解，求实数λ取到最大值时n的值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，族（不包括直线y轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（2）若点N(x0,y0)不在直线族Ω:y=tx—t2(t∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程；（3）在（12）的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线PA，PB，交曲线E于点A，B，求ΔPAB面积S的最小值.数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCBCAADD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号9答案ACDBCACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC丄平面ABC，点E是PB的中点，点F在线段CE上且CF:EF=2:1，G为三角形ABC的重心.（1）求证：GF∥平面PAB；（2）当PC的长为何值时，二面角E-AC-B的大小为60O.解：（1）如图1，连接CG并延长，交AB与点H，所以=2，故GF//EH，……3分EH面PAB，FG丈面PAB，所以FG//面PAB．……6分（2）解法一：如图2，取线段BC的中点D，连接ED，过点D作DK丄AC，垂足为K，连接EK.所以上EKD为二面角E-AC-B的平面角，所以上EKD=60O……………………10分解法二：如图3，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系Ozxy，设PC=h，则A.……8分设平面EAC的一个法向量为1=(x,y,z)h,0,-)，………………11分因为二面角E-AC-B的大小为600，所以解得：h=3．………………13分16.（本小题满分15分）在ΔABC中，角A，B，C对应的的三边分别是a，b，c，（1）求角C的值；（2）若c=1，2tanA=3tanB，求ΔABC的面积.则·sin（B+C)-sinB=·sinCcosB， 所以·2sinBcosC=sinB，.………………5分2tan2A-5tanA-3=0解得tanA=3，tanA=-，……10分17.（本小题满分15分）（1）求a2,a3的值及数列{an}的通项公式；（2）若存在实数λ,使得关于n的不等式λ+Sn≤25n，n∈N*有解，求实数λ取到最大值时n的值.解1）由题可得2当n≥2时，an-an-1=2n-1，2，综上所述，数列{an}的通项公式为an=n2．…………………7分（未检验n=1时的情形，扣1分）（2）由题可得λ≤25n-Sn，设bn=25n-Sn，若要使得关于n的不等式λ+Sn≤25n（n∈N*）有解，则λ≤(bn)max，当n≥2时，bn-bn-1=25-an=25-n2≥故当n=4或n=5时，bn的最大值为70，所以实数λ取到最大值70时，此时n的值为4或5.………………………15分(λ最大值未给出不扣分）18.（本小题满分17分）已知函数.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；若x>1，恒有f≥2ln2+求实数a的取值范围.解，…………3分所以所求的切线方程为，即y=x+ln3+…5分（定义域未给出，扣1分）+a……7分所以=2ln2+a≤2ln2+<2成立．……所以=x+ln，………14分 所以a的取值范围为[1,+∞)．……………………17分19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=kx+1(k∈R)表示过点(0,1)的直线族（不包括直线y轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆M:x2+(y-3)2=4是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系（2）若点N(x0,y0)不在直线族Ω：y=tx-t2(t∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程；（3）在（12）的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线PA，PB，交曲线E于点A，B.求ΔPAB面积S的最小值.解1）由题可得，直线族mx+ny=1(m,n∈R)为圆M的切线，………………2分故满足=2，所以m,n满足5n2-4m2-6n+1=0．……………4分（2）将点N(x0,y0)代入y=tx-t2(t∈R)，可得关于t的方程t2-x0t+y0=0，因为点N(x0,y0)不在直线族y=tx-t2(t∈R)上，故方程t2-x0t+y0=0无实数解，2所以-4y0<0，那么y0>，故y0>02因为区域的边界为抛物线x2=4y，…………………7分因此直线族Ω的包络曲线E的方程为x2