2023届高考数学二轮复习：解析几何常考问题之定点与定线

第3讲定点与定线

典型例题

X2y2

【例1】直线y=x+l与椭圆F+台=1交于A,3两点，点A关于无轴的对称点记为P，且AOBP的面积

a

22

为2,则椭圆点+2=1恒过定点

D.(V2,V2)

【答案】D

【解析】设点4（%,%）,尸（石,-%）,3（%,%），

SROPB=（民必+不为|=。|2々玉+%+司.则y=x+1,

22

bX+Q2y2=Q2J2,

得(a?+人2)犬2+212%+]2一々262=o.

匚匚I、I2aa-cib/卜、4日111

所以为+%,-广瓦0々一7+/'代入侍5AOra=2,-+-=-.

22

【例2】已知椭圆C:》+方=1的右焦点为（1,0），且经过点A（0,l）.

⑴求椭圆。的方程;

（2）设O为原点，直线/:y=kx+t\tw±1）与椭圆C交于两个不同的点RQ,直线AP与x轴交于点M，直

线AQ与x轴交于点N,^\OM\-\ON\=2，求证:直线/经过定点.

【答案】⑴J+V=l；⑵见【解析】.

22_________

【解析】⑴椭圆cj+2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,l),可得b=c=l,a=ylb2+c2=72,

ab

则椭圆的方程为y+/=l.

（2）证明记点P（xl,y1）,Q（x2,yz）,设直线PQ:y=kx+t.

得（1+2左z）f+4依+2/一2=0,

x+2y—2,

4H2产-2

2（1+2好乂"2—2）>O,%+/=—

A=16^-4~,XiXn=T•

1+2左2-1+2左2

AP的方程为y=3无+1,令y=0,可得x=$_,即点M

%If

AQ的方程为y=&zlx+l,令y=o,可得即点NZ,0.

1-%）

无21_%

（1一%）（1-%）=1+%%—（X+%）=1+（烟+，）（爪2+'）—（g+kx2+2z）

22?-24kt）（—）2

-2t）+k-+（kt-k）,1+28J

1+2F1+2/

\OM\-\ON\=2,即」———=2,即有「一1|=«一1)2,由”±1,解得/=(),满足A>0,即有

11

1-乂l-y2

直线/方程为y=kx恒过原点(0,0).

02/12

【例3】曲线C：5+>2=1，直线/：y=米—1（左>0）关于直线y=%—1对称的直线为4，直线1,1,分别与曲

线C交于点和点AN,记直线4的斜率为k-

⑴求证:h左=1；（2）当k变化时，试问:直线上W是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标;若不恒过定点,

请说明理由.

【答案】⑴见【解析】；(2)直线MN过定点(0,3).

【解析】(1)证明设直线I上任意一点尸(x,y)关于直线y=x-\的对称点为此(%,%),

直线I与直线4的交点为(0,-1),所以I:y=kx-1,lx:y=k^x-1,k,k1=

x/

由y+%=%+/]

2-2

得y+%=%+%()_2.......(i)

由-~—=-1得y-y=x-x.......(2)

X-Xg0Q

由⑴(2)两式得卜二k)

[%=尤T，

,,y%+(y+%)+ly(x-l)+y+x-l+l

狄1=---------------------=----------------------------=1.

xx0x(y+1)

（2）设点Af（士,月）川（%，%）・

y=kx-\,

n(l+2/)f-4日=0,可得x=0或无

x2+2y2=2,''l+2k2

4k2k2

即点M

l+2%2'2/+l

由礴=1,可将k换为

k

4k2-0y-y_1+发一

可得点NMN,即直线MN:y-yN=kMN(x-XN),

2+k2,2+k2V

2-k21+k24k匕a+3

可得y-x--,--即--为y=

2+k2k2+k2k

则当k变化时，直线MN过定点(0,3).

v229

【例4］己知椭圆C:—+^v=l，过左焦点F的动直线交椭圆于A,3两点,P为直线x=-5上一定点(不

是与x轴的交点)，直线PA,PF,PB的斜率分别为kx,k2,k3.

(i)",k3是否恒为等差数列?若是,给出证明;若不是，请说明理由;

⑵对任意给定的点尸，是否存在一条过点E的直线AB,使得左，及义为等比数列?请说明理由•

【答案】⑴见【解析】；(2)见【解析】.

【解析】⑴椭圆C：y+^=1的左焦点为F(-2,0),设点尸

若直线AB的斜率为O,易得A,B分别为椭圆的左、右顶点，即点4-3,0),8(3,0),

04/12

则%=kPA=--------

——+3

2

99/1

此时勺+&=-1-百/==2左2，即满足K,女2,左3是等差数列;

若直线AB的斜率不为O,设点8（/,%），直线AB的方程为x=my-2.

x=my-2,

<X2y2n5(冲-2)2+9/=45,得(5m2+9)/-20my-25=0,

195

20M25M-f=M-1

5m2+9，%%—-5病+995'

国+]my,+-

fr

----

+95

十-

2-2

(y-。1加%+；)+(%―/"冲i+|

所以

myx+—my2+—

50m50m20疗/

2阳%1+|(乂+%)-〃优(％+%)-5f-------1---------------

5/+95病+95m2+9

252W5W~~25

春％+"(%+%)+-

45m2+95m2+94

-20m21-25m21-45t-45t(m2+1)-45t(m2+1)

_5m2+95m2+95m2+94

f，

25m225一10(W+125疗+225.225(//I2+1)5

5m2+944(5m2+9)4(5裙+9)

=f

所以2k2~~*因为，W。，所以2k2。左1+左3.综上，仁,上2/3不是恒为等差数列.

（2）由（1）可得，当直线AB的斜率为O时，

因为rwO,所以发的片后；

当直线AB的斜率不为0时,

=%—.y?-t=（x-）（%—）2T（%+%）+0

1nx+।畋2+|（阳1+:］畋2+；-r-、25

m%%+/心+%）+彳

25_20加+2_25+20〃」-5;而2-9/

5〃/+95〃?2+9_________5/+9_______

225（加+1）-225（川+1）

4（5m*2+9）4（5疗+9）

-4（25+20,加一5m2t2-9产）

225（疗+i）

又kl=—t2,若勺&，&为等比数列，则左&=6，即TQS+ZOU〈产一9打=±2,则

25225（m+1J25

2

一（25+20mt-5m2产,-9r）=9r（m+1）,

整理得4rm2+20rm+25=0,

即（2加+5）2=0,贝I」tm=--,即对任意的々RO）,都有唯一的m与之对应，即存在对应的直线

2

AB满足题意；

所以对任意给定的点P,都存在一条过点F的直线AB,使得KA—为等比数列.

X

［例5］已知椭圆E:一+,A3,c。分别为椭圆石的左、右、上、

a

、

下顶点，且四边形ACBD的内切圆的方程为好+丁o=64.

⑴求椭圆E的方程；

（2）若P是直线x=-l上的动点，直线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别是M,N,求证:直线MN经过一

定点.

06/12

解得『，椭圆E的方程为jy』.

(2)由对称性可知，直线MN若经过一定点，则该点必在x轴上.又取点P(-1,1)时，可解得点

此时直线MN与X轴的交点为。《0).

下面证明，直线MN必经过点2(-4,0).

设点

x=-y-2,

%=+24

当时%w0时，lAP:x=—y—2.<—y=0,

%X22।17-%

4%x.4

所以

l+4y；…一1+4考

所以点M-2,

73c

'BP:x----y+2.

%

,3个12%36°

x=----y+2,所以-----7+2,

%=白心-马=。,9+今；

2

X211%)%

l丁4+y=L

所以点N一丁丁+2,12%)

I9+4%9+4y/

所以QM=

所以QM//QN,此时，直线MN必经过点。（T,0）.又当为=0时，直线MN为x轴，此

时也过点2（-4,0）.故直线MN必经过点。《0）.

［例6］已知椭圆二+二=l（a〉b〉0）的离心率为走，并且直线y=x+b是抛物线/=4x的一条切

a~b2

线.

⑴求椭圆的方程;

（2）过点的动直线/交椭圆于A,3两点，试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以A5为直

径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】⑴，+丁=1；；⑵存在点7（0,1）.

【解析】⑴\y^X+b，^x2+(2b-4)x+b2=0.

[y=4羽

由直线y=x+b与抛物线y2=4x相切得△=(26—4)?-4/=0nb=l.

222

因为e=-=^,a=b+c,

a2

所以匕乏△,所以a=42.

a22

故所求椭圆为y+y2=l.

2

轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+b+1

（2）当/与X

08/12

当/与％轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2+/=1.

m'解得

x=O,y=O,即两圆的公共点为(0,1).

X2+y2=1,

因此所求点T如果存在，只能是(0,1).证明如下:

当/与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点7(0,1).

当/与x轴不垂直时，设直线l:y=kx-^.

,1

y=kx~3"

12k-16

=>(18%2+9卜2一］2以一16=0记点4(%,%),5(%2，为),则%+9=z,XiXy-z，

"X22118左2+91218左2+9

—=L

、乙

又TA=(xl,yl-l),TB=(x2,y2-l).

TA-TB=xlx2+(yl-l)(y2-l)

=XyX2+\kxx-

=(1+用-1612k16

18/+9318左2+9V

即以4?为直径的圆恒过点T,故在坐标平面上存在点7(0,1),满足题意.

注圆过定点问题，可以先取特殊值或者临界值，找出定点，再证明向量数量积等于O.

【例7】已知椭圆。的方程为工+二=1,斜率为工的直线/与椭圆。交于A,3两点，点p[l,3

在直线/

432I

的左上方.

⑴若以A3为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点工，求此时直线/的方程;

(2)求证:APAB的内切圆的圆心在定直线1二1上.

【答案】(1)y=-x--;(2)见【解析】.

27

【解析】（1）设直线/:y=；x+，w,点A（x1,y1）,B（x2,y2）.

工+匚1

1+彳-1，，，，

2

n炉+mx+机2-3=0,贝(Jx{+x2=-m,x1x2=m-3.

y=—x+m,

由A=〃？一4(m2—3)>。解得—2<m<2.

又因为点P在直线/的左上方,

所以—2<m<1.

M-M=o,

若以AB为直径的圆恰好经过椭圆c的右焦点F2,则

即(l-x2,-y1)-(l-x2,-y2)=0,

化简得7/w2+4m-ll=0,

解得m=或1(舍).

7

所以直线I的方程为y=-x--.

27

333131

彳一/彳一%-m---x2-

(2)因为kPA+kPB=^——+-=——-----+—

]一X]1-X2]―玉1-x2

=1+(1—m)|------1------|=1+(1—m)--2一(…)

11—玉\—X2j1—(玉+%2)+玉工2

,八、2+m,—m2—"z+2八

=l+(l-m)----------——=1+—--------=0

1+m+m-3m5+m-2

所以直线x=l平分ZAPB,即AR4B的内切圆的圆心在定直线x=l上.

注第（1）问计算量稍大，是常规的对韦达定理考查；第（2）问，由内切圆的圆心的定义，内切圆圆

心与顶点连线平分角，又注意到直线尤=1的特殊性，故转化证明目标直线x=l平分ZAPB.

【例8】已知抛物线E:V=2px（p>0）过点2（1,2）,F为其焦点，过点F且不垂直于x轴的直线/

交抛物线E于A,3两点，动点P满足△PAB的垂心为原点。.

（1）求抛物线E的方程;

10/12

q

（2）求证:动点尸在定直线〃2上，并求沁的最小值.

【答案】⑴y2=4x;（2）证明见【解析】，最小值为20

【解析】⑴抛物线E过点Q,则2?=2外则抛物线E的方程为V=4x.

（2）方法1:设l:x=ty+l,A（x1,y1）,B（x2,y2bp（%，%）.

r,2/

\，n,2一4/y-4=0,则>1+%=41,%%=-4.

[x=fy+l,

因为0为AABP的垂心，则OA.LPB,OB±

B4,即kpB=-；=_IkpA=1_x2

k

OA%k（）B>2

因止匕PA:y=,

X

y=——YX-XJ+M，

PB:y=——（^x—x2^+y2<

-（x-x2）+y2,

%—y+_-

解得