2023-2024学年安徽省淮南市凤台四中八年级（上）竞赛数学试卷（1月份）（B卷）

第1页（共1页）2023-2024学年安徽省淮南市凤台四中八年级（上）竞赛数学试卷（1月份）（B卷）一、单选题（每题5分，共30分）1．（5分）下列变形正确的是（）A． B． C． D．2．（5分）C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，AB平分∠CAD．则下列说法不一定正确的是（）A．AD＝BD B．AD∥CB C．AB垂直平分CD D．AB＝CD3．（5分）一辆汽车沿一条公路上山，速度是10km/h，从原路下山，这辆汽车上、下山的平均速度是（）A．km/h B．12.5km/h C．14.5km/h D．15km/h4．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，则∠BCD的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°5．（5分）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣186．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DN分别与边AB，AC交于E，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题5分，共20分）7．（5分）在平面直角坐标系内，已知点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限，则a的值为．8．（5分）化简：1﹣÷＝．9．（5分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是．10．（5分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，连接CD．有以下4种说法：①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形．其中错误的是．（填写序号即可）三、解答题（第11、12、13题12分，第14题14分，共50分）11．（12分）（1）计算：|﹣3|；（2）先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）]÷（﹣4b），其中a＝1，．12．（12分）观察下列等式：，，，（1）直接写出下列各式的计算结果：＝．（2）猜想＝，并写出证明过程．13．（12分）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，且EC＝BF，AB＝DE．求证：AE＝DB．14．（14分）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．（1）求该商品的单价；（2）2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品

2023-2024学年安徽省淮南市凤台四中八年级（上）竞赛数学试卷（1月份）（B卷）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共30分）1．（5分）下列变形正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．选项A只改变了分子，该变形错误．B．，故选项B不符合题意．C．，故选项C不符合题意．D．，故选项D正确符合题意．故选：D．2．（5分）C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，AB平分∠CAD．则下列说法不一定正确的是（）A．AD＝BD B．AD∥CB C．AB垂直平分CD D．AB＝CD【解答】解：如图，∵CD垂直平分AB，∴AD＝BD，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，∴∠CBA＝∠DAB，∴AD∥CB，∵∠CAB＝∠DAB，AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，但AB不一定等于CD，故A，B，D错误，故选：D．3．（5分）一辆汽车沿一条公路上山，速度是10km/h，从原路下山，这辆汽车上、下山的平均速度是（）A．km/h B．12.5km/h C．14.5km/h D．15km/h【解答】解：设路程是a，则上山的时间是：；下山的时间是：则平均速度是：＝＝km/h．故选：A．4．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，则∠BCD的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝20°，∴∠ABD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠CBD＝80°，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣80°）＝50°，故选：A．5．（5分）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18【解答】解：，由①得到：x≥﹣3，由②得到：x≤，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴﹣1≤＜0，解得﹣8≤a＜﹣4．由分式方程+＝1，∵有整数解，∴a＝﹣8或﹣7，﹣8﹣4＝﹣12，故选：B．6．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DN分别与边AB，AC交于E，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为BC中点，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE＝90°，∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，∴AE＝CF，故②正确；∵BE+CF＝AF+AE，∴BE+CF＞EF，故④错误；∴正确的有①②③，故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）7．（5分）在平面直角坐标系内，已知点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限，则a的值为1．【解答】解：∵点（1﹣2a，a﹣6）在第三象限，∴1﹣2a＜4，a﹣2＜0，解得：5.5＜a＜2，∵a是整数，∴a＝2．故答案填：1．8．（5分）化简：1﹣÷＝﹣．【解答】解：1﹣÷＝5﹣•＝﹣，故答案为：﹣．9．（5分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是a≥1且a≠2．【解答】解：＝，方程两边同乘2（x﹣2），得6（x﹣a）＝x﹣2，去括号，得2x﹣4a＝x﹣2，移项、合并同类项，∵关于x的分式方程＝的解为非负数，∴，解得a≥3且a≠2．故答案为：a≥1且a≠5．10．（5分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，连接CD．有以下4种说法：①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形．其中错误的是③．（填写序号即可）【解答】解：①∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；②∵AD＝CD，∴∠A＝∠DCA＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝30°+30°＝60°，∵∠B＝60°，∴△BCD一定为等边三角形，故②正确；③当△ACD是等腰三角形时，AD＝CD，若AD＝CD，则△BCD是等边三角形；若AD＝AC，则△BCD不是等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，∵∠B＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝CD＝BC＝AB，∴AD＝BD＝CD，∴△ACD一定为等腰三角形，故④正确；故选：③．三、解答题（第11、12、13题12分，第14题14分，共50分）11．（12分）（1）计算：|﹣3|；（2）先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）]÷（﹣4b），其中a＝1，．【解答】解：（1）原式＝3﹣1×6﹣4＝﹣2；（2）原式＝（a6﹣2ab+b2﹣3ab+2b2﹣a8+b2）÷（﹣4b）＝（2b2﹣4ab）÷（﹣6b）＝a﹣b，将a＝1，代入可得，原式＝．12．（12分）观察下列等式：，，，（1）直接写出下列各式的计算结果：＝．（2）猜想＝，并写出证明过程．【解答】解：（1）原式＝+……+＝，故答案为：；（2）猜想＝，证明：右边＝×＝×＝＝左边，∴＝，故答案为：；13．（12分）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，且EC＝BF，AB＝DE．求证：AE＝DB．【解答】证明：∵EC＝BF，∴EC+EB＝BF+EB，即CB＝FE，∵AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，在Rt△ACB与Rt△DFE中，，∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL），∴∠ABE＝∠DEF，在△AEB与△DBE中，，∴△AEB≌△DBE（SAS），∴AE＝DB．14．（14分）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商