2023年高考数学二轮复习教案：常用逻辑用语

解密02：常用逻辑用语

【考点解密】

i.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则〃是〃的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p0q且q#p

p是q的必要不充分条件p#q且q0P

p是q的充要条件pcq

P是4的既不充分也不必要条件p由q且q分p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“又”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

将含有变量x的语句用p(%),q(x),r(%),…表示，变量工的

结构取值范围用M表示

对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素无，p(x)成立

简记XxRM,p(x)p(x)

否定3x^M,—।p(x)Vx£—।p(x)

【方法技巧】

一、充要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据p=q,q=p进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或

不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决

定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

(3)数学定义都是充要条件.

【核心题型】

题型一：充分不必要条件

1.(2022•四川・宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))“lg"lgb"是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.

【详解】：y=igx在(0,+句上单调递增,

lgtz<lgZ?<=>O<tz<Z?,

又••r=2"在R上单调递增,

/.2"<2"oa<b，

由0<。<6可得a<6,但由a<6不能得至1］。<°<匕，例如。=一1,8=0,

故"Iga<1g8”是"2"<2"”的充分不必要条件.

故选：A.

2.(2022・山东济南•模拟预测)设P：-2<x<4,q：5X+1>|,则P是4成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出4中无范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由4：得5川>5—,:.X+1>-1,:.x>-2

即q：x>—2

•：p是q成立的充分不必要条件.

故选：A

3.(2022・四川资阳•一模(理))已知命题P：命题夕：“函数〃x)=ar+cosx单调递增”，则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件

【答案】A

【分析】通过导数研究/(x)=«x+cosx的单调性，以此判断命题p与4的关系即可.

【详解】当。>1时，f'(x)=a-sinx,g|-l<sinx<l,a>1,

则户")>0,得〃x)=«x+cosx单调递增，有P=q,即p是4的充分条件.

当函数〃x)=ax+cosx单调递增，有尸(%)=。一sinx“恒成立，

得。“sinx)1mx=1,有q不能推出p(。可以等于1).即0不是4的必要条件.

综上：p是4的充分不必要条件.

故选：A

题型二：必要不充分条件

4.(2022・贵州•模拟预测(理))已知曲线C的方程2/+2;/+4.丫+8了+歹=0,贝产尸V10”是“曲线C是圆”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】2x2+2/+4x+8y+F=0,即V+y2+2无+4y+g=。，

曲线C是圆o22+42-44>0o/<10,.\tlF<10”是“F<10”的必要不充分条件.

故选：A.

5.（2022.四川泸州,一模（文））己知直线相，〃及平面,则“加立尸,“〃尸”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由充分条件与必要条件求解即可

【详解】由题意可知：

当,”〃尸,"〃尸时，a与P可能平行，也可能相交，故充分性不成立；

当a〃/时，帆〃夕,"〃夕成立，故必要性成立；

所以“〃z〃尸,〃〃尸”是“a///3”的必要不充分条件，

故选：B

6.（2022•全国・清华附中朝阳学校模拟预测）己知向量£=卜五。8$。），B=（l-sine,2cos。），且司，贝甘工〃尸

TT

是“0=9的（）

O

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量平行的坐标运算以及三角函数的性质可得当2〃石时8=7或者6=7或者e=;，即可判断必要

266

不充分条件.

（详解】若Z〃B,则满足2cos6^sin20=cos6^（1-sin夕）,进而得cos<9（sin<9+l）（2sin9-1）=0,故cos，=0或sin6^+1=0

或2sing—l=0,

由于de[0,7r],所以e=5或者e=F或者夕=半，

TT

因此“Z〃B”是“o=y”的必要不充分条件，

6

故选：B

题型三：充要条件

冗71

7.（2022・河北•模拟预测）已知44BC中，NB=jAC=2,则44=2的充要条件是（）

66

A.AABC是等腰三角形B.AB=2y/3

C.BC=4D.S^ABC=yl3,BC<BA

【答案】D

【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.

77TTSTT27r

【详解】由于/B=m，故当AABC是等腰三角形时，ZA=C或44=兰或4=?；

66123

当NA=?时，&4BC是等腰三角形，所以AABC是等腰三角形是NA=9的必要不充分条件，所以选项A不正确；

o6

402^/3_2._V3,

当AB=2百时，=即被=「？sinC=下-,所以7或NC=9,则/A=彳或ZA=?；当

smCsmBsin—33266

6

时，/C=T，根据正弦定理可得A5=2括，所以AB=2括是ZA=J的必要不充分条件，所以选项B不正确；

3o

4_2

当3C=4时，与=当，即//=—=,解得sinA=l,NA=g,所以3c=4不是44=^的充分条件，所以选项

sinAsinBsm—26

o

C不正确；

当/4=工时，5ABe=日当S^c=石时，即=3。区4@3=0,二.3。班=46,根据余弦定理

BC2+BA1-2BC-BA-cosB=4,解得BC?+2储=也：BC<3A,.18c=2,3A=，则所以

o

%BC=®3C<54是44J的充要条件，

故选：D.

8.（2022•黑龙江・哈尔滨市第一二二中学校三模（理））以下命题错误的序号为。

①小3工-啊-1=0与/2：3（m+2）x-3y+l=0是两条不同的直线，则"=1”是%〃尹的充分不必要条件;

②若"pA（「q）”是真命题，贝lj"（可）vq”一定是假命题；

③荀子曰：不积藤步，无以至千里，不积小流，无以成江海.这说明“积畦步”是“至千里”的充分条件；

④“〃0）=。”是“一（X）为奇函数”的充要条件.

A.①③④B.①②C.③④D.①④

【答案】A

【分析】①根据平行线的条件计算出加取值；②根据数学计算中逻辑“与”运算判断命题。、q的真假，即可判断；

③根据充要条件性质判断即可；④根据奇函数定义判断即可.

【详解】对于①.若k，则一=加+2（机。0）,解得机=一3或机=1,当机=一3时4与4是同一条直线，故机=1是

m

4〃4的充要条件，故①错误；

对于②.夕人（「公为真命题，则〃为真命题，r为真命题，因此M为假命题，4为假命题，故②正确;

对于③，“积陛步”不一定可以“至千里”，但是“至千里”需要“积度步”才能完成，故“积腔步”是“至千里”的必要不充分

条件，故③错误

对于④，若/（0）=。，/（X）不一定是奇函数，如故④错误.

故选:A

9.（2022.北京・高考真题）设｛4｝是公差不为。的无穷等差数列，贝『｛%｝为递增数列”是“存在正整数或，当n>N.

时，%>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,则dwO,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可

得出结论.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则dwO,记［可为不超过x的最大整数.

若｛4｝为单调递增数列，则d>0,

若qN。，则当时，>«1>0；若％<0,则=%+（w-l）d,

由a,,=o,+（〃—l）d>。可得〃>1—十，取N（,=1-5+1，则当〃>乂时，«„>0,

所以，“｛%｝是递增数列”="存在正整数N。，当〃〉N。时，4>0"；

若存在正整数N。，当〃>N0时，an>0,取左©N*且上>乂，ak>0,

假设d<0,令a“=4+（〃一左）d<0可得">左一,,且k-r>k,

当k-^-+1时，4<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛%｝是递增数列”-"存在正整数N。，当〃>乂时，%>0”.

所以，“｛4｝是递增数列”是“存在正整数N。，当〃>乂时，4>0”的充分必要条件.

故选：C.

题型四：简单的逻辑联结词

10.（2023•陕西西安•高三期末（理））已知命题P：过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题

g:VxeR,2*+2T22，则下列命题中为真命题的是（）

A.PA4B.人qC.~>（pvq）

【答案】B

【分析】判断命题。、q的真假，利用复合命题的真假逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于命题。，如下图所示，

设点A为直线/外一点，过点A有且只有一个平面a使得/，a,

过点A在平面a内有无数条直线与/异面且与直线/垂直，命题〃为假命题;

对于命题4，:2"〉。，由基本不等式可得2,+2r2.2r=2，

当且仅当尤=0时，等号成立，命题4为真命题.

因此，PM、p人（-1«）、-{2V4）均为假命题，命题（十）人q为真命题.

故选：B.

2x

11.（2022•河南•一模（理））已知p:VxeR,x-ax+l>0;4：mxeR,2<a.若P八F为真,则实数。的取值范

围为（）,

A.（-2,0]B.（-2,0）C.[-2,0]D.[-2,0）

【答案】C

【分析】利用不等式恒成立问题分别求出命题〃为真命题和F为真命题时a的取值范围，取交集即可.

【详解】。人r为真，得。为真且f为真，

P.RXWR,x2-ax+l>0,

。为真时，Y-ax+l^O恒成立，

A=a2-4<0,解得一2WaW2.

「g:TxeR,2,2a,

由2工>0,F为真命题，得。<0,

为真，有-2WqW0,

故选：C

12.（2022・四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知命题P：Vx>0,sinx+」一42,命题4：函数〃x）=sinx+acosx

sinx

在区间[:e]上是减函数，则「2I，下列结构中正确的是（）

A.命题"人4"是真命题B.命题是真命题

C.命题"（「p）Ag”是真命题D.命题"（/）人是真命题

【答案】C

【分析】先判断命题。应的真假性，然后结合逻辑连接词的知识求得正确答案.

【详解】对于命题P,当兀<》<2兀时，sinx<0,sinx+」一<0,所以P为假命题，

sinx

IJTJT\

对于命题9,7（x）=sinx+acosx在区间匕,万）上是减函数，

即/'（x）=cosx—asinx<。，〃之^^=^—在[；,5]上恒成立，

sinxtanx142J

tanx>l,O<」一<l,所以所以命题4为真命题.

tanx

所以〃八夕、pMF)、(▼)△(-^)为假命题，

(r7)7^4是真命题.

故选：c

题型五：全称量词与存在量词

13.(2022•黑龙江•鸡东县第二中学二模)给出如下几个结论：

①命题“3%£旦85%+5m%=2”的否定是“HXER,cosx+sinxw2”；

②命题“3XGR,COSX+22"的否定是"VxGR,cosxH——-—<2”；

sin冗sin%

③对于Vxe|0,—|,tanxH——-—>2•

I2)tanx?

@3xGR,使sin%+cosx=5/2.

其中正确的是()

A.③B.③④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本

不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④，可得答案.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，

知①不正确，

命题“*£R,cos%+^—之2"的否定是"V%£R,cos%+^—<2或sinx=o”,故②不正确；

sinxsinx

I大IVxGI0,—|,tanxH-------N2Jtanxx-------=2,

I2)tanxvtanx

当且仅当tanx='即x=时取等号，③正确；

tan14I2J

由sin%+cos%=A/2sinG[-A/2,A/2],比如x=~时，应sin[x+：)=后，

故HxwR,使sinx+cosx=后，④正确，

故选：B

14.(2022.全国•高三专题练习)若“*eR,使得sinx-百cosx=a”为假命题，则实数。的取值范围是()

A.[―2,2]B.(-2,2)

C.(f,-2]U[2,+OO)D.(-00,-2)(2,+00)

【答案】D

【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出了(耳目-2,2],从而求出实数。的取值范围.

【详解】因为“3%£R,使得sin%-&cos%=Q”为假命题，

则“VXGR,使得sin%—Gcosxwa”为真命题，

因为/⑺=sinx_6cosx=2sin[x-e[-2,2],

所以实数a的取值范围是（T,-2）U（2,+8）

故选：D

15.（2022・四川绵阳•一模（理））若命题“VxeR,qsinx+cosx”是真命题，则实数加的取值范围是（）

A.W>A/2B.m>2C.机V-0D.m<-2

【答案】A

【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.

【详解】sinx+cosx=0sin[x+（）,函数的最大值是0,

根据命题是真命题可知，加之（sinx+cosx）1n即加20.

故选：A

题型六：集合和逻辑用语的综合

16.（2022・四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数/。）=炉-4（1<》4痣）的值域为集合4函数

g（x）=卜（。+1）的定义域为集合B.

Vx-a

（1）当。=1时，求AcB；

⑵设命题命题若。是4的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(l)An3=(-3,l)U{2}

（2）（-CO,-4]U（2,+CO）

【分析】（1）求出函数〃无）的值域和g。）的定义域，求交集即可；

（2）根据p是q的充分不必要条件，可得A房8,从而可得实数。的取值范围.

【详解】（1）当a=l时，g（尤）=

由题意解得X<1或X22,

所以3={x|x<l或x"},

又函数/（尤）=尤2-4（1<尤（"）的值域为集合&,故A=（-3,2]

所以AnB=（-3,l）U{2}.

X—(a+1)>0f(x-a)[x-(a+l)]>0

（2）由题意

x-ax—aw0

解得：x2a+l或无

所以■8={x|xNa+l或x<。},

由题意可知A呈8,又4=(一3,2]

所以。>2或。+14-3,解得。>2或aWT

故实数a的取值范围(-s,T]U(2,­).

17.(2022•全国•高三专题练习)已知命题0：函数"x)=log“，-or+a)的值域为R,命题q：3XG[1,2],使得不

等式x?-ax+5>0.

(1)若p为真，求实数a的取值范围；

(2)若pVq为真，pAq为假，求实数a的取值范围.

【答案】⑴。“

⑵a>6或a<4

【分析】(1)根据题意，^t=jc-ax+a,由对数函数的性质可得△=(-“)2-4aN0,解可得答案；

(2)根据题意，分析p、q为真时a的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p、4一真一假，即可得关于。的不

等式组，解可得答案.

(1)

根据题意，命题0：函数/■(%)=1。8”(/-依+。)的值域为尺，

设，=%2—依+q,必有△=(-a)?_4a之0,解可得aN4,

(2)

对于q,lxe[l,2],使得不等式f一公+520,即+1在区间[1,2]上有解，

S9

设=x+f在区间[1,2]上为减函数，则有

若q为真，必有。W6,

若pVq为真，p/\q为假，即p、q一真一假，

必有|\a>4

若P为真，4为假,=>a>6；

a>6

必有]Z<4

若P为假，q为真,na<4；

a<6

综合可得：。的取值范围为。>6或a<4.

18.(2022•河南・南阳中学模拟预测(理))已知aeR,命题P：函数"力-2|尤-4仅有一个极值点；命题q：

函数g(x)=(犬-2av+5)在(-8,1)上单调递减.

（1）若P为真命题，求。的取值范围;

（2）若「（2人4）为真命题，G?）人4为假命题，求。的取值范围.

【答案】（1））;（2）（Y,1）U（3,+«））.

【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；

（2）由复合函数的单调性求出4为真命题时。的取值范围，再根据复合命题的真假判断出9为假命题，即可得出。的

取值范围.

尤2-2x+2,x2a,

【详解】⑴/⑺=d_2|…

尤2+2元-2a,x<a.

易知函数〉=彳2-2苫+2。和〉=/+2苫-2。分别在x=l和x=-l处取得极小值.

当aW-1时，/（无）仅有一个极小值点x=l,

此时P为真；

当—1<。<1时，有两个极小值点x=l和x=-l,

一个极大值点无=。，

此时P为假；

当421时，/（X）仅有一个极小值点尤=-1,

此时P为真.

二。的取值范围是（­

（2）若命题q为真命题，

2

函数g（x）=log2（x-2ar+5）在（-e,1）上单调递减，

.•・函数y=--2办+5在（一。1）上单调递减，且恒大于0,

：-（p八q）为真命题，

：.p/\q为彳发命题，

又（rP）Aq为假命题，

；・q为假命题.

由4为假命题可得a<1或4>3,

a的取值范围是（一

19.（2021•上海市行知中学高三开学考试）若数列｛风｝满足Jw旦aV2（2>I,且几为实常数），”eN*,则称数列｛%｝

4an

为B（㈤数列.

(1)若数列｛%｝的前三项依次为4=2,a2=x,%=9,且｛%｝为3(3)数列，求实数尤的取值范围；

(2)已知｛%｝是公比为q(qwl)的等比数列，且q>0,记看=%-%I+IO3-&I+….若存在数列｛%｝为

8(4)数列，使得1面三三4°成立，求实数f的取值范围；

(3)记无穷等差数列｛%｝的首项为由,公差为d,证明：“OVfWXT”是“｛“〃｝为3(2)数歹广的充要条件.

【答案】(1)[3,6]；(2)(1,+«)；(3)证明见解析.

【分析】(1)由题意可得;刑手3,可得x的不等式组，解得尤的范围；

(2)由题意可得;,，｝=4<1或1<%4,分别讨论l的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得

到所求范围；

(3)先证充分性，讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及5(㈤数列的定义，可得证明；

再证必要性，同样讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证.

【详解】(1)因为｛%｝为B(3)数列，所以;娜笠3,

3an

，聚。3

则::，解得琛此6,

-iF3

[3x

即x的取值范围是[3,6]；

(2)由数列｛/｝为8(4)数列，可得;,，｝="1或1</4,

今an

n]

当了，q<l时，由q〉。，an+i-an=axq~(q-l)<0,所以I%+i—41=%一%+i.

n

则<=%-4+〃2-%…-4+1=%-。〃+1=ax(\—q),

所以则=/产=ir，°，即小；

n1

当1<%4时，由q>。，an+i~cin=a｛q(^-1)>0,所以1。〃+1-%l=a〃+i.

则<=%—%+〃3—。2+…+an+l~an=-%%(<?”—D,

1-t

nq—t-

所以lim江”=limg=lim----科二=g7,,0,即jq,所以,>1,

"-8&曝]n—>00-号q—：]1+'n—>co1

qn

则,的取值范围是(1,内)；

(3)先证充分性.因为骐02-1,所以卬片0,｛%｝为等差数列，

q

a,

所以当d=0时，此时3=1,

an

由X>1,所以;皴生=14成立，所以｛q,｝为B(2)数列；

Zan

an+i_ax+nd_ax+(n-l)d+d_]+d+1

当dW0时，an4+(〃-l)dax+(n-I)dax+(n-V)d幺+〃_]

~d

因为源dA-l,所以?…占，所以。都d(M-1)(2-1)+1,

%aA—1—+n—i

a

即有啜口n(A-l)+l,

1册5—1)(4—1)+1'

〃(4—1)+1("IXX—D+Q—D+I

因为％>1,所以

(〃一1)(4—1)+1(w-l)(2-l)+l

=1H---------------=1-\-------------„1H---;—二2

(〃-1)(4-D+ln-l+-1]，

2-12-1

所以;刑手？2恒成立，所以仅“｝为8(㈤数列,

Zan

综上可得，｛%｝为3(4)数列；

再证必要性.因为｛%｝为3(㈤数列，所以:鼓呼力恒成立，所以qwO,

Zan

当&=0时，怎0%T显然成立；

q

当dwO时，因为誓…;>。，所以｛4｝的每一项同号，所以％与d也同号，

anZ

所以H.0,因为;轰32恒成立，所以〃=1时，J弱佟2成立，

Aan7tq

因为｛4｝为等差数列，%=q+d,—=-^~^=1+—,

4%%

所以4张'+&%，即为J-张⑶4-1,藤必,

ZaxZax4

综上可得，“谈0％T”是"｛〃”｝为3(㈤数歹/的充要条件.

q

【高考必刷】

一、单选题

20.(2022•天津•高考真题)“x为整数”是“2x+l为整数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由当尤为整数时，2x+l必为整数；当2x+l为整数时，x比一定为整数;即可选出答案.

【详解】当x为整数时，2x+l必为整数；

当2x+l为整数时，x比一定为整数，

例如当2尤+1=2时，尤=；.

所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

21.（2023•河南・洛宁县第一高级中学一模（理））已知命题）:-->0,命题〃:-3<x<2,则力是q的（）

x-1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据分式不等式的解法，先求得力，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】由注>0,等价于（x+3）（x-D>。，解得X<—3或无>1,

所以r?：-3Vxvi.

因为｛尤|-3W尤41｝0｛X一3<尤42｝,>｛x|-3<x<2｝0｛x|-3<x<l）,

所以M是q的既不充分也不必要条件.

故选：D

22.（2022・四川省遂宁市教育局模拟预测（文））设如”为实数，贝Hog」>1吗：是“0.2"，>0.2"”的（）

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.2加>0.2"和log,且>log24，根据充分条件和必要条件的定义判

mn

断两者关系.

【详解】因为函数y=log2X为（0,+8）上的单调递增函数，又log22>log,L所以,>,>0’所以0<〃Z<”,又

mnmn

函数y=0.2"在（-8,+8）上单调递减，所以02">0.2",所以“1。82，>1。8」“是"0.2'"〉0.2"”的充分条件，因为函

mn

数y=0.2工在（-8,+s）上单调递减，又02">0.2"，所以加<〃，当机为负数时，,没有对数值，所以“log,工>功,L，

mmn

不是“0.2，">0.2"的必要条件，所以“1吗,是“02">0.2"”的充分不必要条件，A正确，

mn

故选：A.

23.（2022・浙江绍兴•一模）已知数列｛%｝为等差数列，前九项和为S"，贝『'2%]<'+黑2”是“数列｛5.｝为单增数列”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】先说明充分性，由24]<S“+S“+2得到｛%｝为单调递增数列，设公差为』（">。），表达出

2

S„=|W+L-|V结合对称轴得到时，此时先增后减，从而充分性不成立；

再举出反例得到必要性不成立.

【详解】若2s用<S“+Sn+2,故s„+1-s,<sn+2-s,l+l,即«„+1<%,

故｛%｝为单调递增数列，设公差为』(d>o),

止匕时S"=na1+1)d=?1+1%-n,n>l,n&N,

令y,对称轴为_a<~2>当时，此时对称轴x>l,

此时S"=?"+(q-£%先增后减，

所以数列6｝不是单调数列，

充分性不成立，

若数列｛5„｝为单增数列,设等差数列｛为｝公差为d,

若4=0,不妨设4=1,此时S"=〃，满足数列｛S.｝为单增数列，

此时工=1,邑=2,S3=3,2邑+$3=4,故必要性不成立，

故"25用<Sn+Sn+2”是“数列⑸｝为单增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D

24.(2022・福建・福州三中模拟预测)如果对于任意实数》,国表示不超过x的最大整数，那么“团=［才'是"卜-引<1

成立”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据［目的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判断即可.

［详解］若［x］=［y］=Q,则〃<%va+l,aVyva+l,^-a-l<-y<-a

则则故充分性满足；

若|x-y|<l,取x=Q5,y=1.2,满足|x-y|<l,但国=0,国=1,故必要性不满足.

故“a=3”是卡-y|<i成立，，的充分不必要条件.

故选：A.

22

25.(2023•广西•模拟预测(文))"-3<相<3”是“方程」一+3」=1表示椭圆”的()

m+33-m

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

m+3>0

【分析】根据椭圆的定义得到不等式组，3>0,解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.

m+3^3-m

m+3>0

22

【详解】方程一^+^^=1表示椭圆，贝U3-机>。所以-3〈祖<3且〃件0,

m+33-m

m+3^3-m

所以-3<m<3且〃ZH0能推出-3<〃?<3,反之不成立，所以为必要不充分条件，

故选：A.

26.（2022.新疆•兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））下列命题正确的是（）

A.“尤2一3彳+2>0”是“x<l”的充分不必要条件

B.若给定命题使得必+尤_1上0,则r0：\/*eR,均有犬+彳一心。

C.若〃八4为假命题，则p,q均为假命题

D.命题“若无2—3x+2=0,贝!Jx=2”的否命题为“若J—3x+2=0,则x/2”

【答案】B

【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的知识点对选项逐一判断

【详解】对于A,因为*2-3彳+2>0,所以x>2或x<l,

因此“尤2-3尤+2>0”是“x<l”的必要不充分条件，故A错误；

对于B,命题pHxeR,使得f+尤一IN的否定为VxeR,均有V+x-lvO,故B正确；

对于C,若P人4为假命题p,q至少有一个则为假命题，故C错误；

对于D,命题“若*2_3X+2=0,贝卜=2''的否命题为“若尤2—3尤+2W0,贝1#2”,故D错误；

故选：B

27.（2022•山东•汶上圣泽中学高三阶段练习）给出如下几个结论：

①命题"次61?_,0»工+$山;（：=2''的否定是“3xeR,cosx+sin尤R2”；

②命题"玉'eR'cosxH■—匚22”的否定是"VxeR,cosxH——-—<2

sinxsinx

③对于VxJ0,—ktanxH——-—>2-

,

I2）tanx

@eR,使sinx+cosx=A/2.

其中正确的是（）

A.③B.③④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本

不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④，可得答案.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，

知①不正确,

命题“3xeR,cos%+」一＞2”的否定是“VxGR,cosx+」一＜2或sin%=0"，故②不正确；

sinxsinx

|^j为|\/xG(0,一|,tanxH----N2./tanxx----=2,

I2)tanxvtan%

当且仅当tanx=」一即尤时取等号，③正确；

tanx4＜2J

由sinx+cosx=0sin(x+E)e[_0,0],比如时，后sin[x+弓]=/，

故HrwR,使sinx+cos尤=0,④正确,

故选：B

二、多选题

28.（2022・海南•模拟预测）已知命题P：“lteR,x2-2x+a+6=0"，q-"^xeR,x2+mx+l>Q%则下列正确的是（）

A.P的否定是“VxeR,/-2x+a+6H0”

B.0的否定是“引e氏尤?+znx+1>0”

C.若〃为假命题，贝心的取值范围是a<-5

D.若4为真命题，则加的取值范围是-2<加<2

【答案】AD

【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算。的取

值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.

【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；

C选项，若P为假命题，则。的否定“\/》€氏f-2》+。+6二0”是真命题，即方程Y-2x+a+6=0在实数范围内无

解，△=4-4（。+6）<0,得。>一5,C不正确；

D选项，V%e7?,x2+m%+1>0,等价于A=〃/-4<0,解得-2<〃z<2,D正确；

故选：AD.

29.（2023・全国•高三专题练习）下列命题正确的是（）

14

A.正实数x,y满足x+y=l,则一+一的最小值为4

xy

B.是“仍>1”成立的充分条件

C.若随机变量X-W”,0,且E（X）=4,D（X）=2,则p=g

D.命题p:VxeR,x?>0,则p的否定：eR,%2<0

【答案】BC

【分析】对于A,可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B,根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于C,

根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D,根据命题的否定的知识进行判断.

【详解】对于A,-+—=(-+—)(^+y)=5+—+—>5+2A/4=9,当且仅当2=把=>了=:，丫=|■时等号成立，故

xyxyxyxy33

A错误；

对于B,“。>1,。>1"能推出“瑟>1"，故B正确;

对于C,np=4,〃p(l-p)=2,解得p=g,故C正确；

对于D,p的否定：BxeR,x2<0,故D错误.

故选：BC.

30.(2022.全国•高三专题练习)已知公差为d的等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,则()

A.，是等差数列B.S.是关于〃的二次函数

C.｛时｝不可能是等差数列D.“d>0”是“S,T+S用>2S"”的充要条件

【答案】AD

【分析】根据等差数列前〃项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC,再结合充分条件和必要条件的定

义即可判断D.

1S1

【详解】解：由H—九(〃一l)d知，一^=qH—(n—l)d,

2n2

则辿一所以是等差数列，故A正确；

n+1n2InJ

当d=O时，S"=W|不是"的二次函数，故B不正确；

当&=0时，%,nan=nax,

则+-陷,=q,所以上码,｝是等差数列，故C不正确；

当d>0时,Sn_l+Sn+l-2Sn=d>Q,故S“T+S,”>2S“，

S

n-1+S“+1>2S“oS„+1-Sn>Sn-S“Toan+l>anoan+l-an=d>0,

所以“d>0”是“S,I+S,M>2SJ的充要条件，故D正确.

故选：AD.

31.(2022.河北•石家庄二中模拟预测)命题“VxeR,2fcr2+履一<o"为真命题的一个充分不必要条件是()

8

A.(-3,0)B.(-3,0]C.(―3,—1)D.(-3,+。)

【答案】AC

【分析】先求命题“VxsR,2"2+<0，，为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.

O

【详解】因为V%£R,2"2+履一?<0为真命题，

8

、快＜0

所以左=0或＜2Q7八=一3〈左《0,

［左+3左＜0

所以（-3,0）是命题“Vx£R,2履2+日—?vo”为真命题充分不必要条件，A对，

O

所以（-3,0］是命题“V无e氏+履-?＜0"为真命题充要条件，B错，

O

所以（-3,-1