2024-2025学年上海市奉贤区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市奉贤区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列两个图形一定相似的是(

)A.两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.两个矩形 D.两个梯形2.若a2=b3≠0，则A.45 B.−45 C.53.已知D、E分别在△ABC的BA、CA的延长线上，下列给出的条件中能判定ED//BC的是(

)A.AEAD=ABAC B.ABBD=4.把抛物线y=x2−4x+2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是A.(5,−4) B.(5,0) C.(−1,−4) D.(−1,0)5.如图所示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线则下列说法正确的是(

)A.abc<0B.a+b+c>0

C.b>a+cD.b=−2a6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是平行四边形，点F、G在边BC上，AN//DF交BC于点N.甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①BFBN+NGCN=1；A.①正确②错误

B.①错误②正确

C.①、②皆正确

D.①、②皆错误二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。7.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是4.2厘米，那么A、B两地的实际距离是______千米．8.已知线段b是线段a，c的比例中项，a=4cm，b=6cm，那么c=______cm．9.已知抛物线y=x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则b10.在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足ACBC=BCAB，则11.已知点A(1,y1)、B(−2,y2)、C(−2,y3)12.如图，已知AB/​/CD/​/EF，BD：DF=1：2，AC=5，那么CE=______．13.已知△ABC∽△DEF，相似比为1：4，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为______．14.图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=______．

15.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高.若AC：AB=2：3，则AD：BD=______．16.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为______时，△ACB与△ADC相似．17.如图，已知一张三角形纸片ABC，AB=5，BC=2，AC=4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x，那么x的取值范围是______．18.定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

如图，已知l1//l2，l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，△ABC有一边的长是BC的2倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

已知a：b：c=2：3：4，且a+2b−3c=20，试求a−2b+3c的值．20.(本小题10分)

如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3．

(1)如果AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长；

(2)如果21.(本小题10分)

如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD=4AE，联结BE并延长交AC于点F，过点A作AG//BC交BF的延长线于点G．

(1)求AG：BC的值；

(2)求GF：BE的值．22.(本小题10分)

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m23.(本小题12分)

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD平分∠BCA，作AE⊥CD交BC于点E，垂足为F.作BG⊥AE，垂足为G．

(1)求证：AC2=CF⋅CD．

(2)24.(本小题12分)

如图，在直角坐标平面xOy中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AB//OC，抛物线y=ax2−2ax−4(a≠0)经过A、B、C三点．

(1)求点A、B的坐标；

(2)联结AC、OB、BC，当AC⊥OB时，

①求抛物线表达式；

②在抛物线上是否存在点P，使得S△PAC25.(本小题14分)

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，BD=1，CD=2，点E为边AC上点(点E不与点A、C重合)，联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G．

(1)求证：△ECD∽△CBF；

(2)当CD=ED时，求S△ECD的值；

(3)联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．

参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.D

6.C

7.42

8.9

9.−2

10.3−11.y112.10

13.32

14.3cm

15.4：5

16.3或317.3≤x<4

18.2103或219.解：∵a：b：c=2：3：4，

∴设a=2k，b=3k，c=4k(k≠0)，

∵a+2b−3c=20，

∴2k+2×3k−3×4k=20，

解得k=−5，

∴a=−10，b=−15，c=−20，

∴a−2b+3c=−10−2×(−15)+3×(−20)=−10+30−60=−40．

20.解：(1)∵l1//l2//l3，

∴ABBC=DEEF，

∵AB=3，BC=6，DE=4，

∴36=4EF，

解得EF=8；

(2)∵l1//21.解：(1)∵AG//BC，AD=4AE，

∴AGBD=AEED=GEBE=13，

∵D为BC的中点，

∴BD=DC=12BC，

∵AG/​/BC，

∴AGBC=GFBF=16，

(2)根据(1)BE=3(GF+FE)，BF=6GF，

22.解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，

设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，将(0,0.7)代入得：

0.7=25a+3.2，

解得：a=−110，

∴y=−110(x−5)2+3.2=−110x2+x+710，

所以抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；

(2)23.证明：(1)∵∠BAC=90°，AE⊥CD，

∴∠BAC=∠AFC=90°，

又∵∠ACF=∠ACD，

∴△ACF∽△DCA，

∴CFAC=ACCD，即AC2=CF⋅CD；

(2)∵CD平分∠BCA，

∴∠ACF=∠ECF．

∵AE⊥CD，

∴∠AFC=∠EFC=90°，

在△AFC和△EFC中，

∠ACF=∠ECFCF=CF∠AFC=∠EFC，

∴△AFC≌△EFC(ASA)，

∴FA=FE=12AE，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF+∠CAF=90°．

又∵AE⊥CD，

∴∠CAF+∠ACF=90°，

∴∠DAF=∠ACF．

∵BG⊥AG，

∴∠G=∠BAC=90°24.解：(1)抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，

对于y=ax2−2ax−4，令x=0，则y=−4，即点A(0,−4)，

根据抛物线的对称性，则点B(2,−4)，

即点A、B的坐标分别为：(0,−4)、(2,−4)；

(2)①由点B的坐标得，tan∠AOB=OBOA=12

∵AC⊥OB，

则tan∠OAC=2，

∵OA=4，则OC=8，即点C(8,0)，

将点C的坐标代入抛物线表达式得：64a−16a−4=0，

解得：a=112，

则抛物线的表达式为：y=112x2−16x−4①；

②存在，理由：

过点B作直线n//AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM=4AN，

则S△PAC=4S△ABC，过点M作直线m/​/AC，

则直线m的表达式为：y=12(x−2)−4，

当x=0时，y=−5，即点N(0,−5)，

则AN=1，则25.解：(1)∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠FCD+∠CFD=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵CF⊥DE，

∴∠FGD=90°，

∴∠GFD+∠GDF=90°，

∴∠GDF=∠FCD，

∵∠CED=∠A+∠GDF，∠FCB=∠GCD+∠DCB，

∴∠ECD=∠CBF，∠CED=∠BCF，

∴△ECD∽△CBF．

(2)作DH⊥AC交AC于H，

∵∠ADC=∠CDB=90°，BD=1，CD=2，

∴tan∠DCB=12，

∵DH⊥AC，

∴∠DHC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴DH/​/BC，

∴∠HDC=∠BCD，

∴tan∠HDC=12，

设CH=x，则DH=2x，

在Rt△HDC中，有CH2+DH2=CD2，

∴x2+(2x)2=22，

∴x=255，

∴CH=255，DH=455，

∵CD=ED，DH⊥AC，

∴EC=2CH=455，

∴S△ECD=12EC⋅D