2024-2025学年云南省昆明市昆明八中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明八中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线x2m−y2=1的实轴长是4A.−4 B.4 C.14 D.2.“m=1”是“直线l：x+(m+1)y+1=0与直线l2：(m+1)x−my−1=0垂直”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知椭圆C：16x2+9yA.长轴长为12 B.焦距为56 C.短轴长为14 4.已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)A.x27+y22=1 B.5.设M是椭圆C：x29+y24=1上的上顶点，点PA.955 B.15 C.6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点A.55 B.355 7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为8，渐近线方程为y=±A.10 B.12 C.17−1 8.已知椭圆E：x210+y26=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为3直线交EA.3108 B.3104二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，a⊂α，α∩β=b，下列说法正确的是(

)A.若a//b，则a//β B.若a⊥b，则a⊥β

C.若a//β，则a//b D.若a⊥β，则a⊥b10.在平面直角坐标系中，直线l的方程为y=kx+m，圆C的方程为(x−1)2+(y−1)A.若m=0，则直线l与圆C一定相交

B.圆C与圆M：(x−4)2+(y−5)2=16相切

C.若k=m=1，直线l与圆C相交于A、B两点，则|AB|=2

D.若k=m=−1，过l上一点P作圆C11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0.b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为7的直线与双曲线的右支交于A，B两点(AA.|AF1|=2|AF2| B.双曲线C的离心率为2

C.△AF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C：y2m−x2=1(m>0)13.已知圆C1：(x+1)2+(y−214.设直线l过点P(0,3)，和椭圆x29+y24=1交于A、B两点(A在B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心率32，其左右焦点分别为F1，F2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率为−16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD侧棱均相等，O为AC中点，AB=AD=23，CB=CD=2，AC=4，AP=13．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB与平面17.(本小题15分)

已知圆C：x2+(y−3)2=4，直线m：x+3y+6=0，过A(−1,0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点．

(1)当|PQ|=23时，求直线l的方程；

(2)设t=18.(本小题17分)

如图，斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为正方形，A1C⊥平面ABCD，且A1C=AB，P为直线BD上的一个动点．

(1)求证：19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2，点G(1,83)在C上，且GF2⊥x轴，过点G且与椭圆C有且只有一个公共点的直线与x轴交于点P．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点H是椭圆C上异于G的一点，且三角形GPH的面积为24，求直线GH的方程；

(3)过点P的直线交椭圆C于D，E两点(D在E的左侧)，若参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.A

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.213.2x−3y+1=0

14.[115.解：(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心率32，

则2a=4ca=32，

则a=2c=3，

又b2=a2−c2=1，

则椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)由题意可得：F2(3,0)，

又斜率为−316.解：(1)证明：∵PA=PC，O为AC的中点，

∴PO⊥AC，

∵AC=4，AP=13，

O为AC的中点，

PO=AP2−AO2=13−4=3，

如图，连接OB，

由题可知BC=2，AB=23，AC=4，

∵BC2+AB2=16=AC2，

∴∠ABC=90°，

OB=12AC=2，∴PO2+OB2=13=PB2，

∴PO⊥OB，∵AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)连接BD，交AC于点E，

∵∠ABC=90°，BC=12AC=2，

∴∠ACB=60°，

∴∠BCD=2∠ACB=120°，

∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=30°，∠CEB=90°，

即AC⊥BD，

以分别以EB，EA所在直线为x轴、y轴，过点E作PO的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,1,3)，A(0,3,0)，B(3,0,0)，C(0,−1,0)，D(−3,0,0)，

∵PA=(0,2,−3)，PB=(3,−1,−3)，PC=(0,−2,−3)，PD=(−3,−1,−3)，

设平面PAB的一个法向量为n1=(x1,y1,z17.解：(1)当直线l与x轴垂直时，易知x=−1，

此时圆心到直线的距离CM=1，圆的半径r=2，可得弦长为2r2−|CM|2=24−1=23，符合题意；

当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，

由于|PQ|=23，可得23=2r2−|CM|2=24−|CM|2，

可得|CM|=1，而|CM|=|−k+3|k2+1=1，

解得k=43，此时直线l的方程为y=43(x+1)，即4x−3y+4=0，

故直线l的方程为x=−1或4x−3y+4=0；

(2)当l与x轴垂直时，易得M(−1,3)，N(−1,−53)，

又A(−1,0)，则AM=(0,3)，AN=(0,−53)，

故AM⋅AN=−5，即t=−5，

当l的斜率存在时，设直线l18.解：(1)证明：连接A1B，A1D，

因为斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为正方形，

所以A1D1/​/BC且A1D1=BC，

所以四边形A1D1CB为平行四边形，

所以A1B/​/D1C，

同理可证明A1D/​/B1C，

又因为A1D∩A1B=A1且D1C∩B1C=C，

所以平面ADB//平面B1CD1，

因为P为直线BD上的一个动点，

所以A1P⊂平面A1DB，

所以A1P/​/平面B1CD1．

(2)取BD的中点O，连接CO，A1O，

因为四边形ABCD为正方形，所以CO⊥BD，

因为A1C⊥平面ABCD，且OC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1C⊥CO，A1C⊥BD，

又因为A1C∩CO=C，

所以BD⊥平面A1CO，因为BD⊂平面A1DB，

所以平面A1CO⊥平面A1DB，

作CE⊥A1O于点E，连接EP，

因为平面A1CO∩平面A1DB=A1O，

所以CE⊥平面A19.解：(1)由题意知点M(1,83)在C上，

因为MF⊥x轴，设椭圆焦距为2c，则c=1，

将x=c代入C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，得y=±b2a，

又M在一象限，所以M(c,b2a)，所以b2a=83，

因为a2−b2=c2=1，所以a2−1a=83，解得a2=9，b2=8，

所以椭圆C方程为x29+y28=1；

(2)由题意知过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率不为0，

故设l：x=my+n，与椭圆x29+y28=1联立，

得(8m2+9)y2+16mny+8n2−72=0，由椭圆与直线只有一个公共点，

则Δ=(16mn)2