2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高三上学期期中数学试题及答案

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中I考试数学试卷命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治第I卷（选择题共58分）8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，Mxyx3Nyy2N（M1.已知集合，则）2,3C.D.A.B.ππ22.“ysin2xx,0”是“函数在上单调递减的（）2A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.在VABC中，点D在边上，AD2DB，记CBm，CDn，则CA（）A.m2nB.2mnC.m2nD.2mnf(x)x2x4.函数的值域为（）0,30,2D.1,31,2A.B.C.24的单调递增区间为（）fxx5.函数3A,0C.（）D.,2B.14αβ2，则6.已知，31134A.B.C.D.412127.设是定义域为上的偶函数，且在R单调递增，则（）fx3232331313ff2f22ff2f22A.C.B.D.22322332113f2f2ff2f2f23223第1页/共4页fxbπ2ax,1，sinx,sinxx，函数x,x.若对于任意的12b，且8.已知向量1xf1f2te1e2t成立，则实数的取值范围为（，均有）2,0D.,1A.B.C.3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列式子的运算结果为3的是（1tan15）3tan20tan40A.B.tan20tan401tan152tan15°sin5033tan10C.D.1tan2，2a4,210.已知向量，则（）5255ab,A.B.与向量a共线的单位向量是51C.abaD.向量a在向量b上的投影向量是b2ππ3fx2图象xfxx03xRfxf11.已知函数31πgx24的图象，则下列说法正确的是（）2π31gxgxA.C.B.D.π6πgx在gx为偶函数上有1个零点2第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分4,3，b,9m，若a//b，则实数_________.12.已知向量a293m0，n03x，若fmf2n3f013.已知函数f(x)2x，且，则最小值是mn第2页/共4页______.22fx2024sinxsinx2024cosxx的最大值是______.fx14.已知函数1212，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.π22sin(πx)sinx315.已知（1）求.3π2135x3cos(2πx)tanx的值；（2）若sinx，x16.已知函数f(x)x是方程n0的两个根，求n的值.x2m233x2bxc在x0时取得极大值1.yf(x)f处的切线方程；（1）求曲线，在点（2）求过点2与曲线yf(x)相切的直线方程.为奇函数.2xa117.已知函数fx2x（1）求实数a的值；xxx2,8，使得1gxlog2log2mx20,1（2）设函数，若对任意的，总存在24成立，求实数的取值范围gxfxm.12f(x,x0x1fxxxgx18.已知函数，xx02（1）求函数的极值；fxfxyex（2）若函数在区间上单调递增，求a的最小值；1,2xmngmgn，求的取值范围.nm（3）如果存在实数m、n，其中，使得π19.已知函数푓(푥)=퐴sin(휔푥+휑)퐴>0,휔>0,|휑|≤的图象如图所示.2第3页/共4页（1）求函数的单调递增区间；fxxxπ226π（2）求函数hxff，在上的最大值和最小值.2π12xπ26内恰有nπnN*gxf（3）若函数xmn、的值.在781个零点，求实数第4页/共4页滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中I考试数学试卷命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治第I卷（选择题共58分）8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Mxyx3Nyy2MN1.已知集合，，则（）2,3C.D.A.B.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域化简集合M，再利用交集的定义求解即得.，【详解】依题意，M{x|x3{x|x，而Nyy2MN.所以故选：Cππysin2xx,0在2.“”是“函数上单调递减的（）22A.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.ππ2【详解】当时，ysin2xsin2x2x，2π2x,0π2x0，ycos2x单调递减成立，即充分性成立；由，则3ππcos2xx,0在当2,kZ时，函数ysin2x上单调递减，22ππ推不出成立，如，故必要性不成立；22第1页/共18页ππx,0综上，“故选：A”是“函数ysin2x在上单调递减”的充分不必要条件.223.在VABC中，点D在边上，AD2DB，记CBm，CDn，则CA（）A.m2nB.2mnC.m2nD.2mn【答案】B【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法则得CACBBA，根据BA3BD可得到CA与,n的关系.【详解】由题意得，点D为线段上靠近点B的三等分点，如图所示：CACBBA=CB+3=CB+CD-CB)=-CB+CD2mn.故选：B.f(x)x2x4.函数的值域为（）0,30,2D.1,31,2A.B.C.【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解.f(x)|x|2cosx，当0x1时，f(x)3cosx[0,3]，【详解】依题意，fxx0，10当时，f(x)x2x的值域为3所以函数.第2页/共18页故选：B5.函数24的单调递增区间为（）fxx3A.,0C.D.,2B.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.4fxx【详解】函数2x2x20x2或x2，，令x240，即，解得3所以的定义域为，,2fxylog3x在定义域上单调递增，yx上单调递增，在上单调递减，4在,22又所以的单调递增区间为.fx故选：C1αβ2，则6.已知，（）431134A.B.C.D.41212【答案】A【解析】cos、sinsin【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出余弦公式计算可得.1αβαβsinαsinβ【详解】因为，412sinsinsinsincostantan2，解得，1cos43αβαβsinαsinβ所以.4故选：A7.设是定义域为上的偶函数，且在R单调递增，则（）fx32323321313ff2f22ff2f2A.B.22第3页/共18页3232332113f2f2ff2f2fC.2D.223【答案】B【解析】232，结合函23322>>>【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得3312222数的奇偶性和单调性即可得出结论.fx23322332y2x0f2f2>2，所以，【详解】由指数函数为单调递增函数可知21>2又是定义域为上的偶函数，Rfx13所以，2ff3f3222313ylog2x321f2>f>f2f2由对数函数可知，，所以32，22233213f即f2f2.2故选：Bfxbπ2ax,1，x,x.若对于任意的12bsinx,sinxx，且8.已知向量，函数1xf1f2te1e2t成立，则实数的取值范围为（，均有）2,0D.,1A.B.C.【答案】D【解析】πf(x)(xsinxx，则푓′(푥)>0在xx，则原不12【分析】由题意可得上恒成立，不妨设2f(1)te1f(2)te2h(x)f(x)tex等式可转化为t得实数的取值范围ax,1，sinx,sinxx，b【详解】因为fxabxsinxsinxxx1sinxx所以，第4页/共18页f(x)sinx(xxsinx(xx则当，πx时cosx0x10f(x)0恒成立，，，则2π2f(x)所以在上为增函数，xxf(x)f(x)，因为exe，2不妨设，则x21121所以fxfxte1e2等价于teexx，fxfx121212f(1)te1f(2)te2即，π2hxfxtx()ex(sinxxtex，x，令()πh(x)所以可知在上为增函数，2πxtex0在所以h(x)(x上恒成立，2x1xπ即t在上恒成立，π2ex(xxg(x)x令，，ex2xxxx1sinxex1xexsinxsinxxxgx0，则2exexππgxg(x)g0，所以在上为减函数，所以22所以t0，所以实数t.,0故选：D【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.第5页/共18页9.下列式子的运算结果为3的是（1tan15）3tan20tan40A.B.tan20tan401tan152tan15°sin5033tan10C.D.1tan2【答案】ABC【解析】【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C.1tan15tan45tan15tan45tan603，故A正确；【详解】对于A：1tan151tan45tan15tan20tan40对于B：tan60tan20403，1tan20tan40所以tan20tan403tan20tan403，故B正确；3cos103sin10sin5033tan10sin50对于C：cos1013sin1023sin103023cos1022sin50sin50cos10cos1023sin40sin5023sin40403sin80cos103cos10cos103，故C正确；cos10cos102tan15°3tan30对于D：tan215°°，故错误.D1tan23故选：ABC10.已知向量，2a4,2，则（）5255ab,A.B.与向量a共线的单位向量是51C.abaD.向量a在向量b上的投影向量是b2【答案】CD【解析】第6页/共18页a【分析】求出ab的坐标，利用坐标法求模，即可判断A；与向量a共线的单位向量为B；aabb求出aba即可判断C；根据向量a在向量b上的投影向量是判断D.2ba4,2，b6,2，【详解】因为224ab224225所以，则ab，故A错误；aa422225，则与向量a共线的单位向量为又即，a52555255,,，故B错误；或55aba42240aba因为因为，所以，故C正确；2622202ab4b62240，，ab1bb所以向量a在向量b上的投影向量是，故D正确.22b故选：CDππ3fx2fx图象xfxx03xRf11.已知函数31πgx24的图象，则下列说法正确的是（）2π31gxgxA.C.B.D.π6πgx在gx为偶函数上有1个零点2【答案】ABD【解析】π3πfxfxfxx关于直线可得6，从而判断A；再根据三角函数的变换规则求出解析式，最后根据余弦函数的性质一一判断即fxgx第7页/共18页可.π3πfx2cosx【详解】对于A：因为fx2sinx，所以，3π3πfxfxfxx，关于直线对称，6ππππ,kZ6kkZ，，632π3又0当k0时，1，所以fxx，故A正确；对于B：把图象上所有的点，纵坐标不变，fx1πy2cos2x横坐标变为原来的得到2，3π3πππ43πy2cos2xy2x22x再把的图象向右平移个单位得到，64π6gx2x即当xgx，πππ2ππ36g2cos2cos0，时，332π32π3∴关于点gx，故B正确；,0gx对称，满足π62cos2xππ66π6gx2cos2x对于C：∵，为非奇非偶函数，故C错误；π2ππ5π2x,π2xgx在对于D：当时，，则上只有一个零点，故D正确.666故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分4,3，b,9m，若a//b，则实数_________.12.已知向量a【答案】12【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.第8页/共18页【详解】因为a4,3，b,9且a//b，49mm12.所以，解得故答案为：122933x，若m0，n0fmf2n3f013.已知函数f(x)2x，且，则最小值是mn______.323【答案】【解析】##,n“1的妙用求出最小值.f(x)2x33x定义域为R，f(x)2(x)x)f(x)，3【详解】函数f(x)因此函数是R上的奇函数，且在R上单调递增，fmf2n3f0由，得f(m)f(2nf2n)m2n3，则，291329139m4n139m4n323(m2n)(20)(202)所以，mnmnnmnm9m4n398m,n当且仅当，即时取等号，nm429所以最小值是.mn33故答案为：22fx2024sinxsinx2024cosxx的最大值是______.fx14.已知函数1212，则【答案】1012【解析】，构造fx2024sin2xlog2sinxxlog2x2【分析】化简可得22gxsinxsinxxx，通过导数研究其单调性即可得其最值.2222fx2024sinxsinx2024cosxx【详解】1212，2024sin2xlog2sinxxlog2x2第9页/共18页sinx0π2由题可得x0，故Z，x2π,2πkπ2令gxsin2xlog2sinx2xlog2xx2π,2πkZ，，12xgx2sinxxsinxsinx2sinx212xsinxxx2sinx2x2sinxxsinxx2sinxxlog2sinx2sinxxlog2x22112sinxx2sinx22x22sinx2sinxxlog2，xπ2x2π,2πkZ，则sinxx0，由π4x2π,2πkZ时，gx0，则当ππ2x2π,2πkZ时，gx0，当4π4即在kZ上单调递减，gx2π,2πππkZ2π,2π在上单调递增，42222π4222212故gxg2πlog2，222222212024则1012.fx2故答案为：1012.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造，利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算.22gxsinxsinxxx22四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第10页/共18页π22sin(πx)sinx315.已知（1）求.3π2135x3cos(2πx)tanx的值；（2）若sinx，x是方程n0的两个根，求n的值.x2m2【答案】（1）2（2）3【解析】1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；sinxxm（2）利用韦达定理得到，从而得到m2n15sinxx，再由同角三角函数的基sinxxn本关系求出sinxx，即可得解.【小问1详解】π22sin(πx)sinx3因为，3π2135x3cos(2πx)2sinxx5sinx3cosx1332tanx15tanx3133x2，解得；所以，所以【小问2详解】sinxxm因为sinx，x是方程2xn0的两个根，所以，sinxxn∴mnsinxxsinxxsinx23sinxx15sinxx，tanxtanx122222又sinxx，∴mn153．222x2215516.已知函数f(x)x33x2bxc在x0时取得极大值1.yf(x)f处的切线方程；（1）求曲线，在点（2）求过点2与曲线yf(x)相切的直线方程.【答案】（1）9xy260；（2）3xy2015x4y80或第11页/共18页【解析】1）根据题意结合导数与极值的关系求,c，再根据导数的几何意义求切线方程.x（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解，进而可得结果.0【小问1详解】fxfx3x6xb，x33x2bxc2函数，求导得f0b0b01fxx33x2，fx3x26x，即依题意，，解得，f0c1c1由或fx0，得x2x0，由fx，得0x2，则fx在0x=0处取得极大值1，9即bc1符合题意，于是f3f3，即切点坐标为，切线斜率k9，yfx的图象在fy19(x，即9xy260.所以函数处的切线方程为【小问2详解】fxx由（1）得：33x21，fx3x26x，0,03302k3026x设切点坐标为则切线方程为，切线斜率，060x0，yx3030213x20由切线过点2，得2x3030213x20600，1(02(200x01或0整理得，解得，21115y13x1或y(x)，即3xy20或15x4y80所以切线方程为.8422xa117.已知函数fx为奇函数.2x（1）求实数a的值；xxx2,8，使得1gxlog2log2mx20,1（2）设函数，若对任意的，总存在24成立，求实数的取值范围gxfxm.12【答案】（1）151,（2）34【解析】f001）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到a，求出参数的值，再检验即可；第12页/共18页（2）首先求出在上的值域A，再利用换元法求出在上的值域B，依题意fxgxx2,8AB，即可得到不等式组，解答即可.【小问1详解】1a11由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以f0，可得fx0a1，成立，所以a1．经检验，对于xRfxfx，【小问2详解】2xx1121由（1）可得fx1，22x111因为，所以，x13，，x222x,2x13222321，1，2x1213x13所以当时fxA的值域，xxxx1x2x2,8，，gxlog2log2mm又22243221tlog2x，t3设，则yt1t2mt2t2mtm，431当t时，取最小值为m，当t32m时，取最大值为，241B,2m即在2,8上的值域gxx，4x0,1，总存在x12,8gxfx，使得成立，12又对任意的21m051514ABm，即实数m的取值范围是,即，所以，解得．3413342mf(x,x0x1fxxxgx18.已知函数，xx02第13页/共18页（1）求函数的极值；fxfxyex（2）若函数在区间上单调递增，求a的最小值；1,2xmn，求的取值范围gmgnnm.（3）如果存在实数m、n，其中，使得1【答案】（1）极小值为，无极大值e1（2）e（3）32ln2【解析】1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；11x1,2a0上恒成立，显然，参变分离可得exyae0（2）依题意可得在，设xax，，利用导数得到，即可求出参数的取值范围，即可得解；mxex1,2mxm1ea（3）方法1：依题意可得函数在、(0,+∞)上为增函数，则,02m0，0ne1，从gxm2lnn12nmn2lnn1，令xx2lnx22而得到，则，x0,e1nm，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；方法2：依题意可得net12m0，0ne1，令gmgnt，可得，0t1，令mt2t，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解.htnmet1ht【小问1详解】定义域为(0,+∞)，fxfx1x，∵1xe,时，푓′(푥)>0；x0,e1∴当时，푓′(푥)<0；当在e上单调递减，在e1,上单调递增，fx1∴∴1的极小值为1，无极大值．fxfee【小问2详解】11依题可知，yaexx，yaex0在1,2上恒成立，显然a0，所以ex，xa设mxexmxxex1,2，，x0mx在2上单调递增，，所以第14页/共18页11e1e，故，即，即的最小值为．mxm1eeaaa【小问3详解】x1,x0gx方法1：由已知在、(0,+∞)上为增函数，gx,0，则函数xx02mngn，则2m0，0ne1，gm若存在实数m、n，其中，使得mgmgn由可得1n1，则m2lnn2，2nmn2lnn12，故2x1xx2lnx12xe令x10，可得x1.，，x1x10x1휑′当时，(푥)<0，此时函数휑(푥)单调递减，当1xe1时，(푥)>0，此时函数휑(푥)单调递增，휑′故，x32ln2，又因为02，ee1e12，所以32ln2ht2，，且nm32ln2．因此，的取值范围是x1,x0gx方法2：由已知在、(0,+∞)上为增函数，gx,0，则函数xx02mngn，则2m0，0ne1，gm若存在实数m、n，其中，使得tn1net1令gmgnt，则m，可得，t1mt22由2m0可得令htnme0t1，tt1，其中0t1，令htet20可得t2，ht0ht2t1时，ht0，0t2当时，，此时函数单调递减，当此时函数单调递增，故当0t1时，hth232ln2，hth02h1e1，又因为，且e12，所以32ln2ht2，nm32ln2．因此的取值范围是第15页/共18页π19.已知函数푓(푥)=퐴sin(휔푥+휑)퐴>0,휔>0,|휑|≤的图象如图所示.2（1）求函数的单调递增区间；fxxxπ226π（2）求函数hxff，在上的最大值和最小值.2π12xπ26内恰有nπnN*gxf（3）若函数xmn、的值.在781个零点，求实数5π12ππ,πkZ，【答案】（1）123（2）最大值为，最小值为04m1，n521（3）【解析】1）根据函数图象求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；fxπx（2）首先利用三角恒等变换公式化简ℎ(푥)的解析式，根据的取值范围，求出2x的范围，再由正弦函6数的性质计算可得；（3）首先得到gxcos2xmsinx，令푔(푥)=0，可得2sinxmsinx10，令2tsinxt1、tt1、tt异号，再对、1，得tmt10，则方程必有两个不同的实数根2，且