高等数学B1（2023-2024-1 ）学习通超星期末考试答案章节答案2024年

高等数学B1（2023-2024-1）学习通超星期末考试章节答案2024年/star3/origin/6123e69a041d63c582450933678bd378.png

答案:解由于定义域关于原点对称，所以此函数为奇函数./star3/origin/518eff959c7f409b04ac441301ef5680.png

答案:解

因为，则，所以./star3/origin/e4fc790d3304b11c2a53bf8ff4abefa9.png

答案:证明

由于函数在处有.则，即有.

所以，即./star3/origin/41d0a0925d6c55aadae2226d517c75fd.png

答案:解

由于函数在处增量的线性部分为，即.

而，则.

所以，在处的导数./star3/origin/6c421108cad35db0443871cd4f9dc4c3.png

答案:解（i）当时，

因为，则.而，则.（ii）当时，

因为，则.而，则.（iii）当时，

因为，则.而，则./star3/origin/38d0804f63dca633fc1421e661e0fb65.png

答案:解

由于；

.

所以

.

在处有，且，则曲线的切线方程为；法线方程为./star3/origin/8c7f28f484898f98ec3ad0fc6416f64d.png

答案:解

方程两边对求导，得

.

解得

.

所以

./star3/origin/ff708b3dab0437e0a0e3f9dbf28cdeec.png

答案:解

由于，则

./star3/origin/870e2944984624204b373cffcdab7d26.png

答案:解

.

./star3/origin/e876af8f8143e48bb4d0cc5ddca5e383.png

答案:解

.

./star3/origin/fe951564a0624ca4caefedf45df65d97.png

答案:解

；

./star3/origin/f2e6f97d73d3e2d991c4edd46446fed9.png

答案:解

方程两边对求导，得.

（*）将代入方程，有，则.

将，代入方程（*），得.

方程（*）两边对求导，得.将，，代入上述方程，得./star3/origin/b6fc8d3b9b089197c74ba0d798197fb6.png

答案:解

由于，且

；

.

所以

./star3/origin/c06c0efff4fd35c81f97b6afa8fa33ca.png

答案:解

，

则

./star3/origin/2c4d3c821ea0080bab9ca172f8343bf4.png

答案:解

由于，则

；

.

所以

，./star3/origin/cfcc5a8f3971b3a8b492fe4ff0ad771a.png

答案:证明

设.由于函数在上连续，在内可导，且，则在上连续，在内可导，且.

由罗尔中值定理可知：在内至少存在一点，使.因为，且，则

./star3/origin/47bdc022581d9dbeb28069655f84de76.png

答案:证明

设函数，则在上连续可导.由于，所以在上连续，在内可导.由拉格朗日中值定理可知：至少存在，使.因为，且，则.所以，即当时，有

./star3/origin/3b999cdb98b1949e5bbe8de3cff6f4fa.png

答案:解

由于函数在内连续且可导，则此函数在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理可知：在内至少存在一点，使.

同理，在内至少存在一点，使.在内至少存在一点，使.

由于是次多项式，则是次多项式，则至多只有个实根.

综上所述，方程在内有且只有个实根，分别处于，，区间内./star3/origin/afbc1275d7c3ec2feb126e15c883fda5.png

答案:解

显然在上连续，且，即在内可导，.所以函数在上满足罗尔中值定理.

由罗尔中值定理，有，即.解得

./star3/origin/e07d2782a10a9cb18a4c60dc6f2d8bdf.png

答案:解

由于，而

所以/star3/origin/5eceb3a627cf60304708132d8d9382d7.png

答案:解/star3/origin/4afe0721e3d203e0845118821102b5b1.png

答案:解/star3/origin/77d27fcaa2b0c06217f2f9920d73acb8.png

答案:解/star3/origin/be67b759e5c9af7d320727b9d5bc39ba.png

答案:解/star3/origin/d2c8d286f7543df2dd2590cbf250b01f.png

答案:解

如图

设的长为米，的长为米.因为与相似，则，所以.且

.

所求的问题是求的最大值.

上述方程对求导，得.令，得.由实际问题可知：当时，取最大值，.所以，能通过两河的木材的最大长度为米./star3/origin/a43a16f8f094f55e7e320b105e4ccd8e.png

答案:证明

当时，有，则不等式化为.

设，有.

当时，，所以函数在上严格单调增加.于是对，有.故

当时，有

.而，所以有

./star3/origin/90b137fd0209e383b58d8747ac6de9d6.png

答案:证明

设函数.显然在处有，即是函数的零点，它是方程的根.

又，则在上严格单调增加，所以是函数在上的唯一零点，故方程有唯一根，即方程有且仅有一个实根./star3/origin/1a866e1c04fa1c40723873cb88031800.png

答案:解

由于.设，得.列表如下

所以此函数在上单调增加，在上单调减少；极大值为，极小值为./star3/origin/6a5f8fad31f96313c70e2c0ea7a5e35b.png

答案:解

此函数的定义域为.

是此曲线的垂直渐近线；

由于，，

即是此曲线的斜渐近线；

，由，得；

，由，无解.

列表如下：

凸极大

凸

凹极小

凹

极大值为，极小值为.函数图像如下：/star3/origin/4d3444da26c4f126ed89e2ffa8be5676.png

答案:解

显然此曲线有垂直渐近线.又，.所以，此曲线有斜渐近线./star3/origin/6c9fb8025e030a0a269430813f6cc2a1.png

答案:证明

设函数，则.于是，对，有.

所以函数在上严格凹的.故对，且，有

.即

./star3/origin/e80b76f7af5b0f9d11e5277acc776dbf.png

答案:解

由于，.依题意，得解得

./star3/origin/85b21cb1255ada6c563833289c75a788.png

答案:解

由，.设，得.列表如下：凹拐点凸拐点凹所以，此函数的凸区间为，凹区间为.拐点为与./star3/origin/a78599b3855bffcfd8c46fe49034e142.png

答案:解

设曲线方程为，则有，且.由于，且，有.于是所求曲线方程为/star3/origin/b5dede246d1f9fe4524a978f0d8c4c1d.png

答案:解/star3/origin/565d5957aa5f0529d71c474afacd3f57.png

答案:解/star3/origin/4005f5cf8218b3306b5a84d691ac5493.png

答案:证明

当时，有；当时，有

；所以

.于是

./star3/origin/97fa346d9a7320a6f7f0395ea11b92f2.png

答案:解/star3/origin/c2fdbb3a484ce95c48a40decf422e8e4.png

答案:解/star3/origin/f028b0db92d1b560bcb6934840f128c6.png

答案:解/star3/origin/4d6aa79f270809989b8427f60331dcd8.png

答案:解/star3/origin/ce2a7f206dd753da18bdb6c83d4783d6.png

答案:解/star3/origin/4b70e79f76b23dd9f7c906cb2ca0f4c5.png

答案:解

由于，则/star3/origin/cd85fbebde1324b17e0092a10607e602.png

答案:解

设，则，.所以/star3/origin/ed97c39f1cb9aa0bb2799f97e19cb355.png

答案:解

设，则，.所以/star3/origin/bd811f3a2a57eac4a2dcfca8b67c1b70.png

答案:解

设，则，.所以/star3/origin/f490b37a6a2183529256a3fbacafd30a.png

答案:解

设，则，.所以/star3/origin/ec21a5f0359f7b5dfddde29814dad6bb.png

答案:解

设，则.所以/star3/origin/1e9d33f5d142591fb0f0530517799f2e.png

答案:解/star3/origin/3a0813ae993591176d03956d293ef6bb.png

答案:解

所以/star3/origin/6f2c73c75e6088c57a13a77886225e45.png

答案:解/star3/origin/33a2835824c7ed21bbbb12fd798fdacc.png

答案:解/star3/origin/eb63b67a6194836052973947539ceec1.png

答案:解

因为函数在上连续，由积分中值定理可知：存在，使.由于，则，所以

./star3/origin/56f340bed1c1a4d875dabcbd139f624d.png

答案:证明

设，则在上连续，且.由，得.因为，，则对，有.所以

./star3/origin/7c56cf24cbfb6fbb9d406efc4faaf2f2.png

答案:解

两积分值的大小是.事实上，当时，有，即；且函数与在上均连续，所以./star3/origin/2aa8797444944b175ae162c524469c6c.png

答案:解

由于定积分的几何意义是曲线与直线及轴所围区域的面积，如图虚线部分.所求面积为两直角边等于的直角三角形的面积之和，即

.

所以

./star3/origin/58e4eb2c6be1393688f7dd46f62972ab.png

答案:解

由于被积函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上可积.将区间等分，各分点为.小区间的长度为，取.所以，函数在闭区间上积分和.

因为，所以./star3/origin/c17422717b88c32d7810bbdefd77f89a.png

答案:证明/star3/origin/7abec92873cc55530c4bdc57732a2030.png

答案:解

由于函数是偶函数，则有/star3/origin/8dcfc01112fe3715799141fbfae03097.png

答案:解

由于

所以/star3/origin/c895c95639a489b2252a3a9d7d91b80d.png

答案:解

设，则，所以/star3/origin/1a306910a42b045ec54f618db75ded0a.png

答案:解/star3/origin/9491a785181eb249f236689def8a6c53.png

答案:解/star3/origin/d34c0996c6121c49e7ab4e8153d6f7ac.png

答案:解/star3/origin/0ffff2382f83b35dd9c9996cf9bdbeed.png

答案:解

方程两边对求导，得

.所以./star3/origin/05678c8263715d376b571b3edf130bd1.png

答案:解

所求面积为/star3/origin/7b0a9e49d1cd22ce2a5f382be94360a9.png

答案:解

如图，曲线与的交点为，

，则所求面积为/star3/origin/32e496fc6d7bf52375f311180f736c10.png

答案:解

如图，曲线与

的交点为，则

所求面积为/star3/origin/40addb1746b0dcbee7ceb5a639e102a8.png

答案:解

由于是瑕点，且，而，则瑕积分收敛./star3/origin/f0266c8a2e37ce864f003557f6c7a938.png

答案:解

如图（i）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为

（ii）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为/star3/origin/448935f763cac1cf602018041cff9fc6.png

答案:解

由于的周期为，且当时，.所以所求曲线段的弧长为/star3/origin/47d256b6f0a376c5ffe8939cc9fa62e7.png

答案:解

由于，则所求弧长为/star3/origin/b9ecdf153dc1c87b9edecfa298efd315.png

答案:解

由牛顿第一定律知：，其中是力，是质量，是加速度.

依题意，质点的速度为，加速度为，且，是比例常数.所以，所求方程为./star3/origin/d2bb25eb3ea6ac69c247626f5bae7577.png

答案:解

设曲线为，则曲线上点处的切线方程为.当时，；当时，.所以，所围三角形的面积为.故所求的微分方程为/star3/origin/fdd500e7656d739036c419995992d560.png

答案:解

由于

则所以函数是的解./star3/origin/9f0563cd2e965c7e19a2046aa2f1c4e9.png

答案:解

方程化为，两边积分，得.整理得方程的通解为.

又，代入得.所以，所求的特解为./star3/origin/4dd7132c97896cf8eec9f6d5a8723c34.png

答案:解

设则原方程化为.设，则，.所以方程转化为

.

分离变量，有，两边积分，得

.即.将代入有.所以所求方程的通解为，其中为任意常